微積分的本質(zhì)這個問題，我在年輕的時候就做過長時間的思考。因?yàn)槲蚁朐谖易约旱难芯恐邪阉谋举|(zhì)思想融入進(jìn)去。除其形式外主要考慮的是其與物理世界的本質(zhì)聯(lián)系。想通這個本質(zhì)，就能理解為什么微積分在物理上有如此眾多的應(yīng)用。

先從定積分說起。它在形式上是乘積的累加然后取極限。這個乘積是函數(shù)值乘以一個區(qū)間的微小分割，有何物理意義？ 首先常數(shù)的乘法在物理上多可以用來表示一個強(qiáng)度乘以一個作用范圍(廣度)得出一個作用結(jié)果值。例如一個恒定力作用于一段距離，乘積為功。此時的強(qiáng)度是均勻作用于其廣度上的，因此計(jì)算用常數(shù)的乘法很簡單。但是考慮如果在一個可無限細(xì)分的廣度范圍內(nèi)，強(qiáng)度的作用是處處不一樣的，那么其作用結(jié)果怎樣計(jì)算？此時人們想到先求其近似值的一般形式: 也就是對此廣度作若干分割，分割比較細(xì)時，每個分割內(nèi)取一個強(qiáng)度值作為平均代表，乘以這個小的廣度值，得到一部分的作用結(jié)果近似值。然后再累加所有結(jié)果值的近似作用量得到近似的總量。最后利用極限的方法把近似和逼近到所謂的精確值。這個結(jié)果就是定積分。那么定積分的物理本質(zhì)意義就是可變強(qiáng)度在其作用廣度上的作用效果總值的極限精確計(jì)算。

微分和導(dǎo)數(shù)的意義可以反過來理解?？紤]一個廣度范圍上一個因可變強(qiáng)度累計(jì)作用而得的效果值，因廣度累計(jì)的不同，作用累計(jì)的值可以是非正比例的。那么求導(dǎo)數(shù)的過程和上面的相反，先細(xì)分一個小廣度區(qū)域，用兩個不同的累計(jì)值相減，得出一個小范圍的作用值，除以小范圍的廣度量，得出近似的平均強(qiáng)度值，再讓該小廣度范圍逼近0，取極限就得到該“點(diǎn)”上的真實(shí)強(qiáng)度值。所以導(dǎo)數(shù)的物理本質(zhì)是由累計(jì)效應(yīng)求出局部強(qiáng)度。速度是距離的強(qiáng)度，壓強(qiáng)是壓力的強(qiáng)度。都是例子。可以有作用量求導(dǎo)得出。而微分是導(dǎo)數(shù)再乘以小的廣度細(xì)分值(廣度的微分)，得出微化的局部近似作用總量。

這樣就有助于那些已經(jīng)學(xué)了微積分的人更好理解了。

然而筆者進(jìn)一步提出一個問題？作用值都是強(qiáng)度與廣度的代數(shù)乘積嗎？局部的作用效果的合成都是用加法計(jì)算嗎？物理學(xué)得好的同學(xué)可以直接回答不！例如電阻的并聯(lián)就不是加法。

因此筆者基于同樣的思想，嘗試把代數(shù)四則運(yùn)算和微積分都做進(jìn)一步上升，得到一個新的數(shù)學(xué)系統(tǒng)。我把它成為《同構(gòu)數(shù)學(xué)分析》。

有興趣的朋友可百度搜索《論廣泛四則運(yùn)算和同構(gòu)微積分》《論第二類同構(gòu)微積分》《論廣泛平均值和雙變量同構(gòu)凸函數(shù)》。

在此系統(tǒng)中，普通的微積分只是體系的一個特例，也就是強(qiáng)度和廣度各種作用的運(yùn)算是代數(shù)加減乘除的情形。在我的體系語言中稱為系統(tǒng)的相關(guān)同構(gòu)映射為y=x。選取不同的一維或n維或其組合的同構(gòu)映射例如對數(shù)映射，得到不同的同構(gòu)微積分。系統(tǒng)中牛頓萊布尼茲公式有兩種上升形式，要用到新創(chuàng)的符號來表示。兩者的特例之一都可以是牛萊公式。

另外上面說到了平均，這在新系統(tǒng)中是重要的概念。提出了函數(shù)的雙變量同構(gòu)平均值，又細(xì)分為5類函數(shù)的廣泛平均值。這樣就較好的統(tǒng)一了數(shù)學(xué)中常見的多數(shù)平均值，并給出部分比較法則定理。sinx在0到pi之間的的幾何平均值就是一個典型的特例，其值為1/2。這是多數(shù)人都不知道的極美而又極簡的結(jié)論！可以用excel驗(yàn)算！取180度范圍內(nèi)平均分布的一萬個sinx的值相乘開一萬次方就能得到近似值（0和180度處除外，相乘的過程要借助對數(shù)運(yùn)算，否則精度會丟失）。也可以用系統(tǒng)的定理法則來比較它是小于同區(qū)間的算術(shù)平均值的（2/pi）。

新的系統(tǒng)里還有很多新的有趣的概念和方法，有興趣的朋友可以下載論文來研究。希望可以成為初高等數(shù)學(xué)愛好者的一個新的研究平臺或方向。有興趣請關(guān)注我。tim。