本文作者何天成，在今年的第58屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO2017）獲得金牌。廣東華南師大附中2017屆畢業(yè)生，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2017級(jí)新生。本文發(fā)表于“數(shù)學(xué)新星網(wǎng)”。

作者非常詳細(xì)地闡述了參加各級(jí)競賽直至國家集訓(xùn)隊(duì)、代表國家參加IMO的各種心路歷程和學(xué)習(xí)方法，對(duì)于參加競賽的同學(xué)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用，光子輔導(dǎo)在此將分三期編輯，并分享給大家。

（本文約5800字，建議閱讀時(shí)間10分鐘）

今年七月，我有幸作為中國國家隊(duì)的一員參加了第 58 屆國際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（ IMO ) ，并獲得了一枚金牌?；仡櫫旮傎愔?，我從開始的一個(gè)懵懂無知的新人，一路上經(jīng)歷了不少挫折，走了不少彎路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一套學(xué)習(xí)競賽的方法，最后的結(jié)局也是幸運(yùn)的。而正是這份幸運(yùn)，讓我覺得有責(zé)任把自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競賽的經(jīng)驗(yàn)與心得分享出來，希望后來者能吸取我的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，找到自己的不足，并更好地看清未來。

引   言

對(duì)于一場考試，我喜歡用以下 3 個(gè)參數(shù)來衡量最終的分?jǐn)?shù)：最終分?jǐn)?shù)=實(shí)力分 x 運(yùn)氣分 x 狀態(tài)分。其中實(shí)力，運(yùn)氣，狀態(tài)均為非負(fù)實(shí)數(shù)。

這里，“實(shí)力”顧名思義，盡管不好量化，但是一般來說實(shí)力相差很大還是能看出來的。“運(yùn)氣”主要代表“題目是否對(duì)路”，比如一個(gè)擅長幾何的選手參加一場幾何送分的考試，當(dāng)然運(yùn)氣分較低；而參加一場幾何難度他剛剛好能做出來的考試，運(yùn)氣分就比較高了。當(dāng)然，運(yùn)氣分是取決于考試本身的，可以認(rèn)為主觀上不能改變它，但是在集訓(xùn)隊(duì)這樣的多次考試中，平均下來，運(yùn)氣會(huì)比較穩(wěn)定；并且，我們可以用比如“補(bǔ)短板”或者“狂刷一科”等方法改變運(yùn)氣分的波動(dòng)大小。另一方面的運(yùn)氣來自于改卷，即能不能得到預(yù)想中的分?jǐn)?shù)，這一點(diǎn)理論上來說也是不能自己操縱的，但是可以通過加強(qiáng)書寫等方法提升。

“狀態(tài)”源于自身，常見的影響狀態(tài)的因素有，比如考前一晚睡不著，考試很冷手凍僵了，旁邊的同學(xué)一直發(fā)出噪音等等。當(dāng)然，也可能會(huì)有狀態(tài)莫名超好的情況，但是我們不能控制自己超常發(fā)揮，只能期望盡量發(fā)揮正常?？偨Y(jié)下來，我們當(dāng)然要“提升實(shí)力”，但同時(shí)也要注意一些很容易被忽略的地方——提升運(yùn)氣和狀態(tài)。這看似很難處理，但實(shí)際上還是有跡可循的。

運(yùn)氣方面，一是之前說的“補(bǔ)短板”與“狂刷一科” 。補(bǔ)短板是實(shí)力進(jìn)階的必經(jīng)之路，我一直認(rèn)為，一名真正優(yōu)秀的選手并不一定要做出很多人都做不出的超難題，但是一定要做出有足夠多人能做出的題，這就需要了解不同的方法，覆蓋更多知識(shí)面，做真題。“狂刷一科”是實(shí)力不夠的情況下的賭博。比如就想聯(lián)賽做出倆題混一等獎(jiǎng)，然后狂刷代數(shù)與幾何之類的。我對(duì)這種方法不予評(píng)價(jià)，但反正我自己的經(jīng)歷是，凡是賭博的情況都必輸，實(shí)力不到說啥都沒用，不如按部就班的來，讀者可以自己考慮實(shí)力不夠的時(shí)候的做法。

第二點(diǎn)大概就是關(guān)于過程的書寫，事實(shí)上，很多人對(duì)自己的過程非常有自信。如果你批改過其他人的過程，總會(huì)覺得“這啥意思啊？搞了半天都不知道想干啥”或者“這里一句話帶過根本就不顯然嘛”。一般來說，過程寫不好有兩種：如果你講都講不清楚，那么可能是語文學(xué)的不好，請(qǐng)回爐再造；如果跟別人講思路的時(shí)候別人可以理解，但是過程寫不好的話，可能是沒有掌握好寫過程的技巧。寫過程的主要目的有兩個(gè)：一是要準(zhǔn)確，不能讓老師誤解你的意思；二是要通俗易懂，節(jié)省老師的時(shí)間，讓老師能夠比較容易get到你的過程的脈絡(luò)。

所以針對(duì)第一點(diǎn)，要學(xué)會(huì)過程的“數(shù)學(xué)化”表達(dá)：比如很多組合問題，直接表達(dá)就像寫小說，如果可以換成集合或者圖論的語言，又或者把它代數(shù)化表示，就簡單很多了；另外，過程里的因果關(guān)系要清晰，至少要表達(dá)出“由什么推出什么”，這就需要多使用連詞：因?yàn)椋ㄓ捎?、注意到）＋所以、若＋則＋所以＋從而、我們斷言（證明）＋事實(shí)上，以及右箭頭“=>”。就算連詞使用不多樣，至少要達(dá)到的要求是：老師知道你的每一個(gè)結(jié)論是由那些結(jié)論推出的。

而第二點(diǎn)其實(shí)容易被忽視。我經(jīng)?？吹接行┻^程一路往下推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么；語言又完全用的是集合的方法，全都是定義和運(yùn)算，讓人摸不著頭腦。這時(shí)候，一旦出現(xiàn)一些筆誤，很有可能老師就“如釋重負(fù)”地圈起來給0分了。這就像寫一篇議論文，要是你一直舉例子不立論，當(dāng)然不會(huì)給高分。這就需要把證明的脈絡(luò)清晰地刻畫出來，常見的連詞有：證明分為如下幾步、下面證明一個(gè)引理（結(jié)論）、我們斷言（證明）以下結(jié)論、我們只需證明如下結(jié)論即可證明此題。這樣的好處是，如果你斷言的關(guān)鍵步驟恰好是答案中的步驟，或者老師知道是對(duì)的，那么老師就大致知道你做出來，只需驗(yàn)證一下細(xì)節(jié)即可；就算你的證明出現(xiàn)了一些漏洞，老師也能知道你做出了什么，會(huì)更容易得到步驟分。

當(dāng)然，還有一個(gè)大大增加可讀性的方法：畫圖。特別是組合題，很多組合題用代數(shù)語言表達(dá)很繁瑣，不易找到重點(diǎn)，也容易出現(xiàn)筆誤，那如何讓老師知道你想做什么呢？那就是畫圖。如果要把一個(gè)圖按照某種策略三染色，就畫一個(gè)示意圖，然后用 ABC 標(biāo)頂點(diǎn)，看上去就清楚多了嘛；就算幾何題是用復(fù)數(shù)算的，畫個(gè)圖，讓老師不用自己找圖，也不是什么難事吧？

最后我談?wù)勻_分。時(shí)間快到了的時(shí)候還是做不出題目，想爭取一些過程分的情況是常見的。但是我非常非常反對(duì)大家東扯西扯，然后說證畢——做不出來就做不出嘛，要承認(rèn)自己就是在混分，至于能給幾分就看你做了什么結(jié)論了；但總有一些人不會(huì)做就瞎搞一通然后證畢。這樣的人多了，就加大了老師判卷子的難度，就會(huì)連累一些“好人”。反正我覺得，要是明知道是錯(cuò)的還寫證畢，絕對(duì)是敗人品的行為。

狀態(tài)方面，我覺得有兩點(diǎn)：一是平時(shí)加強(qiáng)模擬考試——模擬考試絕對(duì)不僅僅指的是做一套題那么簡單！我覺得模擬考試要起到效果，必須完完全全地模擬真實(shí)的情況。特別是 4、5 小時(shí)的考試，很多人只是開始兩個(gè)小時(shí)上三板斧，然后消極怠工，這其實(shí)一點(diǎn)效果都沒有。真實(shí)考試有 4、5小時(shí)呢，要是平時(shí)這么模擬，真實(shí)考試的最后 2 個(gè)小時(shí)難道你就能繼續(xù)保持極高的做題狀態(tài)嗎？二是平時(shí)做題最好“認(rèn)真對(duì)待”，兩天的考試可以帶著一些心理負(fù)擔(dān)，這樣真正考 CMO這樣的考試萬一面對(duì)第一天考試失利，就不會(huì)心理太崩盤。

各級(jí)競賽

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽是高中競賽的第一步，但其實(shí)也是不確定性最大的一步。不同的省份有不同的聯(lián)賽的備考攻略。如果你來自一些超級(jí)聯(lián)賽強(qiáng)省，比如上海、浙江等，那么你的一試水平一定要過硬，因?yàn)檎５哪攴莺芸赡軙?huì)出現(xiàn)很多人二試并列拼一試的情況；但如果是中等的省份，就拿廣東舉例吧，在大部分年份二試 3 題＋ 一試 90 分可以進(jìn)省隊(duì)，并且二試 2 題的話幾乎進(jìn)不了省隊(duì)，所以其實(shí)只需要做“適當(dāng)”的一試練習(xí)，然后把重點(diǎn)放在二試上。

注意，這里的“ x 題”指的是最終得分，不同的省改卷嚴(yán)格程度不一，但是一般來說，被判錯(cuò)是少數(shù)，并且很有可能是自己的問題（有些人經(jīng)常寫偽證自己看不出來，或者寫過程水平太差確實(shí)沒法看，卻自我感覺良好），所以在備考的過程中要訓(xùn)練自己的書寫，要盡量寫的嚴(yán)謹(jǐn)、工整，避免被判錯(cuò)；但至于最終結(jié)果要是還是被判錯(cuò)了，也沒辦法啊，盡力而為，問心無愧。

由于聯(lián)賽的考場很多，并且各地規(guī)則不一，請(qǐng)盡量熟悉自己將去到的考場與考試細(xì)則，并在考前做好充足的準(zhǔn)備，避免出現(xiàn)考試之外的問題。筆者在參加聯(lián)賽的過程中曾經(jīng)遇到過以下問題（都是血的教訓(xùn)?。?:

考場偏僻，當(dāng)天起的很早趕赴考場，很疲倦；考場空調(diào)直吹，極冷；教室很大，老師發(fā)卷不及時(shí)，導(dǎo)致開考 5 分鐘才拿到卷子；考試要求換草稿紙（收一張給一張）；洗手間較少，要等很久等等。總之，在考試之前，一定要做好充分的準(zhǔn)備，聯(lián)賽畢竟沒幾次，要按照高考的規(guī)格對(duì)待，提前踩點(diǎn)，準(zhǔn)備充足的衣物、食物，避免因?yàn)榭记皽?zhǔn)備不充足痛失好局。聯(lián)賽與之后的比賽的最大的兩點(diǎn)區(qū)別就是：時(shí)間短，對(duì)書寫要求高。所以聯(lián)賽的模擬更注重踏踏實(shí)實(shí)地掐表做，并認(rèn)真寫過程，最好讓別人批改或者自己對(duì)著答案很仔細(xì)地檢查筆誤和寫的不好的地方。部分因?yàn)闀r(shí)間原因沒有做出的題目可以考試結(jié)束后再想，在考試的時(shí)候一定要保證“分?jǐn)?shù)最大化”，該跳過的題就跳過，這樣在真正的聯(lián)賽中才不容易手忙腳亂。

聯(lián)賽有一個(gè)不太好的地方：答題的區(qū)域非常小，尤其是二試第一題，要是想到了一個(gè)很復(fù)雜的方法，有可能要挖掉一大半第二題的空間才能寫下。因此在模擬的過程中也要注意這一點(diǎn)千萬千萬不能寫錯(cuò)！在考場上若是發(fā)現(xiàn)寫了－大半的過程都是錯(cuò)的，修正思路很長，真是欲哭無淚……不差這幾分鐘，要想好了再寫，多花點(diǎn)時(shí)間寫，表達(dá)盡量清楚，因?yàn)槁?lián)賽時(shí)間緊。還有一個(gè)問題就是如何快速寫出合要求的過程，這也是需要平時(shí)訓(xùn)練的。很可能最后留給一試最后一題的時(shí)間只有 5 分鐘了，如果你快速讀完題目后直接開始寫，抓得分點(diǎn)，說不定最后能有 10 分。

總之，模擬考試的最高境界就是“平時(shí)如考試，考試如平時(shí)”。平時(shí)訓(xùn)練的過程中一定要計(jì)時(shí)作答，做不出來的題也要寫上已得到的結(jié)論，完全模擬考試的狀態(tài)。同時(shí)，在一試二試都模擬完成之后，可以再回頭做做因?yàn)闀r(shí)間不夠沒有完成的題目，從各方面思考“如何做到更好”——總結(jié)新出現(xiàn)的題型與錯(cuò)誤的原因，總結(jié)考試的時(shí)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的時(shí)間分配。

先說一試。我的一試水平歷來都不算好，但是也不算差，大概就是所謂的“90分”標(biāo)準(zhǔn)。我個(gè)人認(rèn)為90分應(yīng)該是適當(dāng)訓(xùn)練可以達(dá)到的，而且在訓(xùn)練得當(dāng)?shù)那闆r下，基本可以保證拿到這個(gè)分?jǐn)?shù)。當(dāng)然，我的訓(xùn)練其實(shí)不多，（因?yàn)榍岸f的弱省原因），但是也不算少。首先，如果你剛學(xué)高中競賽，對(duì)一試的知識(shí)點(diǎn)掌握的還不透徹，那么大概還是需要把套路過一遍的——這個(gè)過程有點(diǎn)像準(zhǔn)備高考，但是要求更高。如果有教練當(dāng)然極好，讓教練幫著補(bǔ)補(bǔ)就好了；如果自學(xué)的話，大概需要做一些題。一試我能想到的問題大概是下面的這些東西：

解析幾何，其實(shí)來來回回方法就那么幾種：設(shè)直線方程配合韋達(dá)定理，設(shè)點(diǎn)，設(shè)參數(shù)方程；還有稍高級(jí)的方法，比如幾何法，曲線系，極坐標(biāo)，極線方程，仿射變換，等等。當(dāng)然，解析幾何看著容易，做起來卻沒那么簡單，需要很好的計(jì)算能力，也需要靈活變通，這就需要大量的練習(xí)了。做解析幾何題的時(shí)候要注意：真正比賽的解析幾何題目的答案一定不會(huì)太過于復(fù)雜。如果你在做題過程中發(fā)現(xiàn)比如求出的函數(shù)是無比困難的，很難求出最小值，那么可以考慮要么進(jìn)行一些代換，因?yàn)檫@個(gè)表達(dá)式里面理論上來說肯定可以提取一些局部，切勿暴力求導(dǎo)；也可以試圖先猜出特殊點(diǎn)，看看能不能直接證明大小關(guān)系。如果求出的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所要滿足的參數(shù)方程很復(fù)雜，無從下手。你可以嘗試在原來的圖形里猜出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件大致是什么——無非就是直線或者二次曲線之類的嘛，那么比如把 x , y 坐標(biāo)平方乘系數(shù)加加減減說不定就全部消掉了。當(dāng)然，做解析多了之后，要總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，在花了一定時(shí)間做不下去，一定要趕緊止損，換個(gè)方法，說不定不費(fèi)很大力氣就做出來了。最后，要記住，驗(yàn)證平行坐標(biāo)軸的情況。

數(shù)列技術(shù)含量稍高，不過絕大多數(shù)數(shù)列問題都是可以用局部不等式或者裂項(xiàng)做出來的。少數(shù)有高級(jí)技巧，比如積分估計(jì)，三角函數(shù)換元之類的。個(gè)人覺得數(shù)列其實(shí)難度很難估測，有的題目確實(shí)有難度。當(dāng)然，就聯(lián)賽的真題來看，數(shù)列題目并沒有很多模擬題那么難，需要注意的是一定不能著急的瞎放縮，要多變形）——絕大部分的數(shù)列都是用代數(shù)變形后裂項(xiàng)做出的。

大題里面可能還有一道求導(dǎo)的題目或者其他題目。這一類題目個(gè)人覺得沒啥技巧，簡而言之，練。代數(shù)的硬功夫是很重要的，這在之后做更難的代數(shù)題中會(huì)有用。

立體幾何對(duì)于自學(xué)的同學(xué)來說往往會(huì)比較頭疼，因?yàn)榇鸢傅淖鲚o助線方法有時(shí)候真的很匪夷所思。那就不這么麻煩吧！立體幾何有一個(gè)萬金油方法——算！由于近年都出的是填空題，所以其實(shí)很多細(xì)節(jié)都可以不用處理（這是權(quán)宜之計(jì)，我推薦大家多學(xué)其他方法，保不準(zhǔn)就出大題了……但如果想短時(shí)間提高的話，只會(huì)這樣算就好了）。自己查一下怎么算法向量，然后做幾個(gè)題，了解怎么算二面角、異面直線距離，然后做幾個(gè)題試試手感，之后就再也不會(huì)為立體幾何擔(dān)心啦！

剩下的題目，算是其他題目吧，其實(shí)套路也有不少，需要大量練習(xí)，通過練習(xí)逐漸學(xué)會(huì)一些技巧。每個(gè)人都是從 30 分做到100分的嘛，開始不要著急，如果遇到完全沒有辦法的題目可以適當(dāng)想想暫時(shí)跳過，記住答案里面的關(guān)鍵點(diǎn)，在下一次見到類似的方法時(shí)不要忘記就好。

一般來說，在經(jīng)過至多一年的學(xué)習(xí)，一試水平大概就可以達(dá)到“90分”目標(biāo)，偶爾能全對(duì)，但也可能算錯(cuò)很多題劃水。這個(gè)時(shí)候，基礎(chǔ)的東西都學(xué)會(huì)了，剩下的提分點(diǎn)就在考試的狀態(tài)上了。關(guān)于一試的時(shí)間分配，我個(gè)人的習(xí)慣是，30 分鐘做完填空題，然后一道一道地做大題（前兩個(gè)大題大約做10到 15分鐘，最后二個(gè)比較難的話就一直做），但是最后至少留下 10 分鐘檢查。我覺得在練習(xí)的過程中找到自己熟悉的節(jié)奏很重要，并且考試的時(shí)候要嚴(yán)格執(zhí)行之前的策略，不要為了貪最后一個(gè)題目放棄檢查（當(dāng)然，如果你的習(xí)慣是不檢查，也可以）。

我推薦在至少離考試還有 2 個(gè)月的時(shí)候開始進(jìn)行一試模擬訓(xùn)練，大概每 2 到 3 天做一套計(jì)時(shí)的一試題。開始的時(shí)候肯定狀態(tài)不會(huì)太好，容易算錯(cuò)，但是經(jīng)過比較長的熟悉之后，在離考試將近一個(gè)月左右的時(shí)候應(yīng)該問題就不大了。但是狀態(tài)還是要繼續(xù)保持，如果突然出現(xiàn)狀態(tài)特別差，不要疲勞作戰(zhàn)，可以先休息調(diào)整一下再仔細(xì)分析在考試過程中出現(xiàn)的時(shí)間分配問題（錯(cuò)的多的情況往往是因?yàn)榛诉^多時(shí)間做難題導(dǎo)致時(shí)間分配不均）。

聯(lián)賽不確定性最大的地方，大概就在于二試。

我認(rèn)為聯(lián)賽二試是數(shù)學(xué)競賽中最不容易穩(wěn)定發(fā)揮的考試。時(shí)間太短導(dǎo)致隨機(jī)性很大，盡管題目一般本質(zhì)不算太難，卻也都有關(guān)鍵的步驟。從二試到之后的“大題”訓(xùn)練是數(shù)學(xué)競賽的重點(diǎn)，不過好在聯(lián)賽二試的題目，說難也不難，相對(duì) CMO 等之后的考試而言套路比較少。個(gè)人認(rèn)為有集訓(xùn)隊(duì)實(shí)力的同學(xué)應(yīng)該做聯(lián)賽二試的題目不會(huì)很困難，具體的專題訓(xùn)練寫在之后了。

這里只提一點(diǎn)聯(lián)賽二試要注意的問題：聯(lián)賽二試時(shí)間確實(shí)很緊，平均每題半小時(shí)多，很容易因?yàn)榛艔埢蛘邥r(shí)間不夠發(fā)揮失誤。所以萬一遇到不對(duì)路的題目，在做了一段時(shí)間之后，要選擇果斷跳過。這里的分寸也是要在模擬考試中慢慢總結(jié)出來的，因?yàn)橛械臅r(shí)候盡管題目本身可能不難，如果思路陷入“死循環(huán)”，再浪費(fèi)一個(gè)小時(shí)很可能還是做不出來。再者，如果最后還剩下 1 個(gè)小時(shí)，并且還剩兩個(gè)題目，最好的做法是讀題之后選一個(gè)做，不要來回跳（剩下多個(gè)題目也是類似的）。在時(shí)間不足的情況下靜下心來想題也是一種能力。

關(guān)于具體的答題，我覺得最要注意的就是不能“超綱”了。有些人在培訓(xùn)中得到了很多很強(qiáng)的結(jié)論和性質(zhì)，但是在聯(lián)賽中，要謹(jǐn)慎使用，最好給出證明（也可以留個(gè)空位，看情況，有時(shí)間最后補(bǔ)）。特別的，幾何題非常不推薦用復(fù)數(shù)法，重心坐標(biāo)！不到萬不得己，不要采用這幾個(gè)方法（當(dāng)然，要是真的不行就死馬當(dāng)活馬醫(yī)吧）。

反正，要是有分，你要慶幸；要是沒分，不要怨改卷老師。這些“高級(jí)”方法或多或少需要用到一些考綱外的性質(zhì)．可能會(huì)扣分；并且計(jì)算法解幾何出現(xiàn)筆誤其實(shí)很正常。聯(lián)賽幾何，一般來說最好算的方法是三角，可以多練練三角計(jì)算（當(dāng)然，純幾何也是要練習(xí)的）。

（未完待續(xù)......)

光子輔導(dǎo)——寒假競賽課程（針對(duì)二試強(qiáng)化）