我來(lái)從概率論的角度說(shuō)一下Borel集的意義吧。

首先回憶一下概率空間的定義，概率空間是一個(gè)三元組，樣本空間、事件的集合、概率。

我們的概率函數(shù)是定義在事件上的，而不是定義在樣本空間上的。

概率的定義必須滿足幾個(gè)性質(zhì)，也就是Kolmogorov公理：

當(dāng)樣本空間離散的時(shí)候，概率非常容易定義，只要分配給每一個(gè)結(jié)果一個(gè)概率值，其和等于1就好了。這個(gè)時(shí)候我們可以定義概率的所有事件的集合就是樣本空間的全部子集，沒(méi)毛病。

但是當(dāng)樣本空間不是離散的，比如說(shuō)是實(shí)軸R，那么概率的定義就比較麻煩了。我們發(fā)現(xiàn)，并不是R上的所有子集（事件）都可以被定義上概率，比如：

看，我們發(fā)現(xiàn)，如果嚴(yán)格按照概率函數(shù)的定義，并不是R上的所有子集（事件）都能被定義概率的。那么我們能不能把那些能定義概率的集合（事件）挑出來(lái)只對(duì)他們進(jìn)行研究呢？

當(dāng)然可以。但是挑出來(lái)的這些事件的集合必須有一些要求，比如：

1. 空集必須在這個(gè)事件的集合里面
2. 如果我們關(guān)心某個(gè)事件A，那么「事件A不發(fā)生」，也就是A的補(bǔ)集也必須在這個(gè)事件的集合里面
3. 如果我們關(guān)心一系列事件，那么這些事件同時(shí)發(fā)生、至少有一個(gè)發(fā)生的概率也必須能被研究。

這就誕生了所謂的σ-代數(shù)的概念。

那么我們?cè)趺丛赗上定義概率呢？這個(gè)時(shí)候我們需要引入分布函數(shù)了：

有了分布函數(shù)，我們可以先在區(qū)間上定義概率：

然后通過(guò)所謂的內(nèi)測(cè)度外測(cè)度定義出一些集合的概率函數(shù)。R上所有的區(qū)間所生成的最小σ-代數(shù)就是Borel σ-代數(shù)，Borel σ-代數(shù)的元素叫做Borel集。我們發(fā)現(xiàn)，剛好所有的Borel集都是可以被定義上概率的，而且是最符合我們直覺(jué)的（除非特意構(gòu)造，碰到的多數(shù)集合都是Borel集），所以我們就干脆只研究Borel集的概率算了。

所以它為什么重要？因?yàn)橥ㄟ^(guò)它，我們排除了那些不好的集合，限制了我們討論的范圍，把我們的問(wèn)題簡(jiǎn)單化了。

以上如果有看不懂的可以看這里：http://sijichun.pro/attachment/171801Math.Stats/Lec1_probability.pdf

我從近代數(shù)學(xué)使用的結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)來(lái)給出一個(gè)解釋。
數(shù)學(xué)大致可以分為四個(gè)結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、測(cè)度結(jié)構(gòu)。其實(shí)測(cè)度結(jié)構(gòu)某種意義上是前面三個(gè)的衍生，但用得多就單獨(dú)放出來(lái)了。
我們研究一個(gè)具有多個(gè)性質(zhì)的對(duì)象，當(dāng)然希望他的性質(zhì)是有聯(lián)系的。不然若各個(gè)性質(zhì)都不想關(guān)，都是獨(dú)立的，那就分開(kāi)討論各個(gè)性質(zhì)就行了。那樣過(guò)于簡(jiǎn)單，而且不能產(chǎn)生有價(jià)值的結(jié)論。比如拓?fù)淙?，要求群的運(yùn)算對(duì)于拓?fù)涫沁B續(xù)的。這樣就把代數(shù)結(jié)構(gòu)（群的運(yùn)算）和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（連續(xù)）聯(lián)系了起來(lái)。

看borel集的定義，一個(gè)拓?fù)淇臻g的開(kāi)集全體所生成的sigma代數(shù)就是borel集。
拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是用來(lái)刻畫映射的連續(xù)性的，而sigma代數(shù)式測(cè)度結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。borel集就這樣建立拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和測(cè)度結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，可以看出這個(gè)定義是十分自然的。自然和諧的定義往往來(lái)帶無(wú)法估量的價(jià)值，可能也是數(shù)學(xué)美得體現(xiàn)。馬上我們就有了一個(gè)我們需要的重要的結(jié)論：連續(xù)函數(shù)都是可測(cè)的。同時(shí)令所有連續(xù)函數(shù)可測(cè)的最小的sigma代數(shù)就是borel集。從中可以看出borel集不大不小，剛剛好，再多一個(gè)元素少一個(gè)元素都不行。

當(dāng)你遇到一個(gè)困難的問(wèn)題的時(shí)候，通常的策略是先考慮相對(duì)簡(jiǎn)單的特殊形式，而Borel sets對(duì)于某些問(wèn)題就是一個(gè)非常自然的候選：比如什么樣的集合滿足continuum hypothesis，比如什么樣的Gale-Stewart game的winnning set一定有一個(gè)必勝策略，以及實(shí)分析教科書里最常見(jiàn)的什么樣的集合外測(cè)度和內(nèi)側(cè)度相等，也就是可測(cè)？

如果不是borel集，可以構(gòu)造borel不可測(cè)集使得可數(shù)無(wú)窮下集合的極限等于樣本全集，且每一個(gè)子集概率都相等不交，就會(huì)引發(fā)矛盾（方法是利用有理數(shù)集合構(gòu)造等價(jià)類，取等價(jià)類一點(diǎn)作為等價(jià)類代表，然后利用有理數(shù)集可數(shù)性質(zhì)來(lái)構(gòu)造）。

對(duì)極限封閉