初中幾何模型訓練05之輔助線添加

長沙7喜 2017-11-26

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其中幾何的難點之一是添加輔助線，輔助線的添加并非無規(guī)律可尋。今天周老師就以初二中常見的“半角模型”，教同學們如何利用旋轉思想，更快速更準確地添加輔助線，從而解決問題。

模版

手拉手模型

那么“手拉手模型”如何用旋轉全等變換、轉換線段來理解呢？

例2：（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由.
（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長.

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此題是我們經(jīng)常遇到的“手拉手模型”，第一問中兩個等腰三角形“大手拉小手”全等易證。而第二問我們需要去模仿，嘗試添加輔助線去構造另一個等腰直角三角形從而產生“手拉手模型”。

那么我們如何利用旋轉思想分析第二問呢？

【分析】

求線段長度多用勾股定理，BD不在直角三角形中無法直接求出。結合“AC=AD”，所以旋轉含有線段BD的△ADB。

利用“AD=AC”，起始位置AD，目標位置AC，將△ADB繞著點A順時針旋轉90°。故輔助線添加：作點B’使得AB’=AB且AB’⊥AB，易證△ABD≌△AB’C，得BD=B’C?！鰾’AB是等腰直角三角形求得BB’，最后證明△B’BC是直角三角形利用勾股定理求得線段長度。

答案：√107

練習3：如圖，△ABC是等邊三角形，三角形外有一點D，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，則CD的長為______.
【分析】
求線段長度多用勾股定理，CD不在直角三角形中無法直接求出。故轉換CD位置，選擇旋轉含有線段CD的△ADC。
利用“AC=AB”此天然條件，起始位置AC，目標位置AB，將△ADC繞著點A順時針旋轉60°。故輔助線添加：作點D’使得AD’=AD且∠DAD’=60°，證明△ACD≌△ABD’，得CD=BD’。由于60°的等腰三角形是等邊三角形，得AD=DD’。三條線段AD、BD、CD轉化到△BDD’中，證明△BDD’是直角三角形利用勾股定理求出線段長度。

【思考】
①我們利用“AC=AB”這個“共頂點等線段”的突破口將△ADC繞點A旋轉變化，那么同樣的，“AC=BC”，是否也可以利用這個“共頂點等線段”的條件將△ADC繞著點C旋轉呢？

②含有線段CD的還有△BDC，那么“BC=BA”，“BC=AC”，嘗試將△BDC分別繞著點B、點C旋轉，是否也是兩種不同的解法，同學們動手畫圖嘗試一下吧！

③更深入的思考，如果轉化AD、BD的位置，旋轉△BAD，“AB=AC”，“AB=CB”，這也是給旋轉提供了天然條件，此解法最后證明△CDD’為直角三角形，這里同學們需要去思考一下怎么證明哦。

綜合6種方法來看，最終我們都能成功轉化線段，并結合題意證明直角三角形求出線段長度。但是由于題目條件給了∠ADC=30°，并且目的是求CD，所以綜合條件與△ADC關系最為緊密，所以嘗試旋轉△ADC最具有目的性。

答案：4

練習4：如圖，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF。
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，當點D在線段BC的延長線上時，說明BD與CF之間的關系。
（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C. F不重合），并說明理由。
【分析】
第一問是我們常見的“手拉手模型”，利用全等易證。第二問中，條件相對分散無法直接求出∠ACB，嘗試將∠ACB轉化，含有∠ACB的是△ACD，那么正方形中邊長“AD=AF”，此“共頂點，等線段”創(chuàng)造了旋轉的天然條件。
起始位置AD，目標位置AF，將△ACD繞著點A逆時針旋轉90°。故輔助線添加：作點C’使得AC’=AC且AC’⊥AC，易證△ADC≌△AFC’，得∠ACD=∠AC’F。需要證明C’ 、F、C在同一直線上，那么△ACC’為等腰直角三角形，最后求出角度。