1 問題的提出

數(shù)學的發(fā)展史包含著數(shù)學思想和方法的積淀,當然數(shù)學本質(zhì)的飛躍要算數(shù)學思想方法的重大突破.所以[蘇]弗里德曼認為：“數(shù)學邏輯結(jié)構(gòu)的一個特殊、重要的要素就是數(shù)學思想，整個數(shù)學學科就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來.”

數(shù)學思想是發(fā)展數(shù)學能力的拱心石，正如日本數(shù)學教育家米山國藏所說：“我們所學的數(shù)學知識，如果沒有機會應用，時間一長，就會被忘掉，然而銘記在頭腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，卻長期在生活和工作中發(fā)揮重要的作用，受益終生.”因此，開發(fā)學校數(shù)學課程，必須加強數(shù)學思想與方法的滲透，強化數(shù)學思想方法，特別是數(shù)學模型思想方法的培養(yǎng)和訓練，全面提高學生的數(shù)學思維能力.

2 數(shù)學思想概述

當今數(shù)學教育中，“數(shù)學思想”是個核心概念，然而，什么是數(shù)學思想？學術(shù)界卻沒有統(tǒng)一的答案.但是從多角度去解釋數(shù)學思想，應該會更好.

張奠宙先生認為：數(shù)學思想尚不成為一種專有名詞，人們常用它來泛指某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富、體系相當完整的數(shù)學成就.當然，同一數(shù)學成就，當用它去解決別的問題時，稱之為方法，當論及它在數(shù)學體系中的價值和意義時，就稱之為數(shù)學思想.比如：M.克萊因的巨著《古今數(shù)學思想》，說的都是古今數(shù)學方法.但是從數(shù)學史角度看，人們在本巨著中，更加注重的是那些數(shù)學大師們的思想貢獻，文化價值，因而稱此巨著為《古今數(shù)學思想》.

丁石孫先生認為，數(shù)學思想就是人們對于數(shù)學的看法.但是，從數(shù)學教育的角度來看，數(shù)學思想就是對數(shù)學內(nèi)容、方法的本質(zhì)認識，也是分析、處理和解決數(shù)學問題的根本想法，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識.因此，數(shù)學思想貫穿于解決數(shù)學問題過程中的思維方法的普遍策略和規(guī)律.所以學生是能否有意識、主動運用數(shù)學思想解答數(shù)學問題，是衡量其數(shù)學能力和數(shù)學綜合素質(zhì)高低的重要標志.

3 數(shù)學思想之數(shù)學模型思想

建立模型思想是數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法之一.

“數(shù)學模型方法”就是把研究的對象或問題轉(zhuǎn)化為本質(zhì)同一的另一對象或問題，并加以解決的思想方法.它既是處理數(shù)學理論問題的思想，也是解決各種實際問題的方法.

在論述模型思想時要涉及“模型”與“原型”兩個基本概念.“模型”是相對“原型”而言的.原型是指在現(xiàn)實世界中的客觀事物，也通常指被研究的對象或問題.而“模型”則是對客觀事物本質(zhì)屬性的模擬，從而轉(zhuǎn)化成相對定型的、模擬化、結(jié)構(gòu)化的對象或問題.所謂數(shù)學模型——是指使用數(shù)學符號、式子、數(shù)學關(guān)系描述特定問題或具體實際事物關(guān)系的數(shù)學結(jié)構(gòu).數(shù)學模型是對原型作出的一種簡化而本質(zhì)的描摹.

在教學中，數(shù)學模型轉(zhuǎn)化為原型，我們應盡量選取學生所熟悉的生活實例來還原現(xiàn)實情景背后的數(shù)學，最終使學生感受到這些數(shù)學概念不是人為硬性規(guī)定的，而是與實際生活密切聯(lián)系的.所以從普遍意義上說，實際問題比模型化的純數(shù)學問題更符合問題的實質(zhì)，同時更能揭示數(shù)學知識的本質(zhì)，更易被學生接受.

反過來，把原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型.通過用數(shù)學知識來解決熟知的、貼近生活的實例，使學生體會到應用數(shù)學知識解決實際問題的愉悅感，從而體現(xiàn)數(shù)學的實際應用價值.這實際上也增強學生對數(shù)學知識的應用意識，使學生感受到數(shù)學不再是高深的理論、枯燥乏味的東西.至于原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的一個最典型的例子，要數(shù)歐拉把哥尼斯堡“七橋問題”轉(zhuǎn)化為歐拉回路一筆畫問題.

因此，數(shù)學模型與原型間的相互轉(zhuǎn)化，應該是教與學的根本思路.但是，所建立的模型必須真實反映原型的結(jié)構(gòu)、關(guān)系等數(shù)學本質(zhì)特征和變化規(guī)律.

當然，我們所學過的數(shù)學概念、公式、定理、法則、原理等，以及各類問題及其解答規(guī)律，都以不同程度地保留在我們的記憶之中，我們也稱之為數(shù)學模型.波利亞巨著《怎樣解題》中說到:“你以前見過它嗎？你是否見過相同的或形式稍有不同的問題？你是否知道與此有關(guān)的問題等？這樣在我們正要解答某數(shù)學問題時，把待解答的問題與已掌握的數(shù)學模型進行比較，解法也就自然有了.”這也表明波利亞在強調(diào)模型思想的重要性.

所以《普通高中數(shù)學課程標準實驗》明確提出，數(shù)學課程要求把數(shù)學探究、數(shù)學建模思想等，以不同的形式滲透在各模塊或?qū)ｎ}內(nèi)容之中.因此，為了數(shù)學教育能夠適應現(xiàn)代社會對人才的需求，需將數(shù)學“雙基”發(fā)展成“四基”，即基本知識、基本技能、基本數(shù)學思想、基本活動經(jīng)驗.所以形成數(shù)學思想，能用數(shù)學模型的思維來解決問題，歷來都是中學數(shù)學課程教學目標之一.

4 數(shù)學模型思想應用舉例

為更好強調(diào)數(shù)學建模思想在數(shù)學教與學中的重要價值，現(xiàn)列舉幾個數(shù)學教學實例：

實例1上面所提的哥尼斯堡“七橋問題”，數(shù)學家歐拉顯示出大數(shù)學家的智慧，把原型問題簡化，去掉不必要因素，比如橋的長度，從而把被河流隔開的四塊區(qū)域縮成4個點，七座橋就被看成連接4個頂點的七條邊.這就得到一個數(shù)學模型，即為4個頂點、7條邊的圖，原問題即被抽象成：能否找到一條起點與終點重合，并且經(jīng)過每條邊一次且僅一次的一條回路.從而這就極大方便了此問題解決.這就是1736年歐拉所貢獻的圖論中最基本的歐拉回路問題，體現(xiàn)出了數(shù)學模型思想在數(shù)學創(chuàng)新中的巨大作用.

實例2近幾年高考題目更加突顯出其應用性和問題設(shè)計的新穎性和創(chuàng)造性，方興未艾的新課改在時時刻刻提醒著我們“思路決定出路”.2011年廣東高考數(shù)學試題(理科)第13題：某數(shù)學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，則該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為_____cm.這個普通的生活問題其實就是一道一元線性回歸分析問題，我們的解答思路是將這生活原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進行解答.

面對上面這一實際問題，我的思路是：在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量數(shù)據(jù)（X與Y）間，我們通過相關(guān)圖可觀察出所有數(shù)據(jù)點都分布在某條直線的附近，這樣的直線可以畫出許多條，而我們希望其中的一條最好反映出X與Y之間的關(guān)系，即我們所要找出的那條直線“最貼近”已知的數(shù)據(jù)點.這直線就是回歸模型直線，因為模型中有殘差，并且殘差無法消除，所以就不能用二點確定一條直線的方法來得到直線方程.但是要保證盡量多的實測點都聚集在所要的回歸直線l上，這就需要數(shù)據(jù)點到直線l的距離的平方和最小.所以，只要有了這樣思想，所要的最好的擬合直線l就不難找到吧.

實例3經(jīng)假設(shè)、簡化、抽象、計算等手段,對變速運動與曲邊梯形面積（原型）的研究，創(chuàng)立了微積分這個數(shù)學模型,并用此模型,解決了諸如變速運動的速度、曲線的切線和弧長、曲邊平面圓形的面積以及不規(guī)則幾何體的體積等一系列的現(xiàn)實問題.可以說，微積分這個數(shù)學模型,開創(chuàng)了研究變量數(shù)學的新紀元,微積分的發(fā)明本身也是數(shù)學建模思想成功的一個光輝典范.

當然，中小學的列方程解應用題；構(gòu)成函數(shù)模型來研究實際問題；《線性規(guī)劃》中由實際問題列出約束條件得線性方程組，由此再討論由問題得到的目標函數(shù)的最值，從而達到原問題所要的最優(yōu)化設(shè)計；等等這些均是現(xiàn)實原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的思想的具體表現(xiàn).

實例4聚會總?cè)藬?shù)超過或等于6人，證明：其中至少有3人互相認識，或者互相不認識.（1947年匈牙利數(shù)學競賽題）

有數(shù)學思想的人與沒有數(shù)學思想的人之間有截然不同之處，前者能把一個說起來模模糊糊的問題變成一個非常清楚、確切的問題.現(xiàn)就把原問題（原型）抽象化：6個人用6個點表示，每兩個人之間的關(guān)系用連接點的不同顏色的線表示，不妨設(shè)紅線h表示認識，藍線l表示不認識.這樣就得到了由這6個頂點，且每兩個頂點之間用h或者l連接的共15條線構(gòu)成的圖.從而原問題自然就變成：證明這個圖中至少存在一個三邊同色的三角形.通過這個圖就把原問題變成每個人都能聽清楚的確切的數(shù)學問題.

實例5德摩根定理是集合論中一個非常重要的定理，在隨機事件的概率計算中，有著十分重要的作用，但學生對定理的理解、記憶都不是很輕松，若構(gòu)造直流電路圖輔助說明，把數(shù)學模型轉(zhuǎn)換為原型，既直觀又淺顯，方便學生記憶理解.

（1）；（2）.用A表示用電器A正常工作，用B表示用電器B正常工作.對于（1），A∩B表示串聯(lián)電路通電，表示串聯(lián)電路斷電，等價于A斷電或B斷電，即.對于（2），A∪B表示并電路通電，表示并聯(lián)電路斷電，等價于A斷電且B斷電，即.

總之，數(shù)學思想是解決數(shù)學問題的心智，它總是指向問題的變換，最終達到掌握問題對象的數(shù)學特征、關(guān)系結(jié)構(gòu)等目的.因此數(shù)學創(chuàng)新、解題的思維過程其實是數(shù)學問題轉(zhuǎn)變的過程，也是數(shù)學原型與數(shù)學模型之間的相互轉(zhuǎn)變過程.

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中圖分類號：G642

文獻標識碼：：A

文章編號：：1673-260X（2017）03-0011-02

收稿日期：2016-11-27

基金項目：云南省教育廳科學研究基金項目資助（2014Y499）