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我們習(xí)慣于把數(shù)學(xué)歸類于科學(xué)，實(shí)際上科學(xué)起源于數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)早于科學(xué)產(chǎn)生。5000多年前，四大文明古國(guó)和古希臘都產(chǎn)生了數(shù)學(xué)。公元前300年左右，古希臘數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展，產(chǎn)生了真正成體系的歐幾里得幾何學(xué)，簡(jiǎn)稱“歐氏幾何”。數(shù)學(xué)上，歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，基于點(diǎn)線面假設(shè)。數(shù)學(xué)家也用這一術(shù)語(yǔ)表示具有相似性質(zhì)的高維幾何。

歐式幾何的起源

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）把人們公認(rèn)的一些幾何知識(shí)作為定義和公理（公設(shè)），在此基礎(chǔ)上研究圖形的性質(zhì)，推導(dǎo)出一系列定理，組成演繹體系，寫出了著名的《幾何原本》，形成了歐氏幾何。

《幾何原本》全書共有13卷，465個(gè)命題。全書由6個(gè)定義，5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理組成一個(gè)完整的體系，涉及平面幾何內(nèi)容、算術(shù)（數(shù)論）、立體幾何等，以演繹（三段論）方法作為推理的主要手段，將數(shù)學(xué)內(nèi)容展現(xiàn)在世人面前。其中有9卷講述幾何學(xué)，包含了現(xiàn)今中學(xué)所學(xué)的平面幾何和立體幾何的全部?jī)?nèi)容。

歐式幾何的意義

《幾何原本》中的論證邏輯周密，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，但其意義卻絕不限于其內(nèi)容的重要，或者其對(duì)諸定理的出色證明，真正重要的是歐幾里德在書中創(chuàng)造的公理化方法，這種方法孕育出一種理性思維的精神，顯示了理性思維的力量（僅從幾條公理出發(fā)就能夠演繹出幾百條甚至幾千條定理）。人們受到了這個(gè)啟發(fā)，把理性思維運(yùn)用到其他領(lǐng)域。神學(xué)家，哲學(xué)家，政治家，所有真理追尋著都企圖效仿歐幾里得來(lái)建立起他們的理論。例如，牛頓力學(xué)，愛(ài)因斯坦相對(duì)論都是從幾條基本原則（原理）演繹出的理論體系。

歐式幾何的不足

公理化方法滲透于數(shù)學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了不可估量的影響，公理化結(jié)構(gòu)也已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要特征。而作為完成公理化結(jié)構(gòu)的最早典范的《幾何原本》，用現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量，在邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性上還存在著不少缺點(diǎn)。如一個(gè)公理系統(tǒng)都有若干原始概念（或稱不定義概念），如點(diǎn)、線、面就屬于這一類。歐幾里德對(duì)這些都做了定義，但定義本身含混不清。另外，其公理系統(tǒng)也不完備，許多證明不得不借助于直觀來(lái)完成。此外，個(gè)別公理不是獨(dú)立的，即可以由其他公理推出。

歐式幾何的完善

這些缺陷直到1899年德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）的在其《幾何基礎(chǔ)》出版時(shí)得到了完善。在這部名著中，希爾伯特成功地建立了歐幾里德幾何的完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓眢w系，即所謂的希爾伯特公理體系。這一體系的建立使歐氏幾何成為一個(gè)邏輯結(jié)構(gòu)非常完善而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀误w系，也標(biāo)志著歐氏幾何完善工作的終結(jié)。

歐式幾何的影響

《幾何原本》是發(fā)行最廣而且使用時(shí)間最長(zhǎng)的書，后又被譯成多種文字，共有二千多種版本，印刷量?jī)H次于“圣經(jīng)”，所以不少人稱《幾何原本》為數(shù)學(xué)工作者的“圣經(jīng)”。它的問(wèn)世是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上意義極其深遠(yuǎn)的大事，也是整個(gè)人類文明史上的里程碑。兩千多年來(lái)，這部著作在幾何教學(xué)中一直占據(jù)著統(tǒng)治地位，至今其地位也沒(méi)有被動(dòng)搖，包括中國(guó)在內(nèi)的許多國(guó)家仍以它為基礎(chǔ)作為幾何教材?！稁缀卧尽吩跀?shù)學(xué)史乃至人類思想史上均有著無(wú)比崇高的地位。

（責(zé)任編輯馬江，主編李志民）