數(shù)的概念的發(fā)展

教學(xué)目的

　　1.使學(xué)生了解數(shù)是在人類社會的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，了解虛數(shù)產(chǎn)生歷史過程；

　　2.理解并掌握虛數(shù)單位的定義及性質(zhì)；

　　3.掌握復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的分類．

教學(xué)重點(diǎn)

　　虛數(shù)單位的定義、性質(zhì)及復(fù)數(shù)的分類．

教學(xué)難點(diǎn)

　　虛數(shù)單位的性質(zhì)．

教學(xué)過程

　　一、復(fù)習(xí)引入

　　原始社會，由于計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)的概念，隨著文字的產(chǎn)生和發(fā)展，出現(xiàn)了記數(shù)的符號，進(jìn)而建立了自然數(shù)的概念。自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集.

　　為了表示具有相反意義的量引進(jìn)了正負(fù)數(shù)以及表示沒有的零，這樣將數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集

　　有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結(jié)果，無法用有理數(shù)表示，為解決這種矛盾，人們又引進(jìn)了無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集．

　　數(shù)的概念是人類社會的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，數(shù)學(xué)理論的研究和發(fā)展也推動著數(shù)的概念的發(fā)展，數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會生活和科學(xué)技術(shù)時刻離不開的科學(xué)語言和工具．

二、新課教學(xué)

(一)虛數(shù)的產(chǎn)生

　　我們知道，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，解方程 是無能為力的，只有把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集才能解決．對于復(fù)數(shù) （a、b都是實(shí)數(shù)）來說，當(dāng) 時，就是實(shí)數(shù)；當(dāng) 時叫虛數(shù)，當(dāng) 時，叫做純虛數(shù)．可是，歷史上引進(jìn)虛數(shù)，把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進(jìn)虛數(shù)的呢？

　　16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”．他是第一個把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成 ，盡管他認(rèn)為 和 這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40．給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)’'與“實(shí)的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來．

　　數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星——虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)．德國數(shù)學(xué)家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”．瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（1707—1783）說：“一切形如 ， 習(xí)的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因為它們所表示的是負(fù)數(shù)的平方根．對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻．”然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地．法國數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾（．1717—1783）在 1747年指出，如果按照多項式的四則運(yùn)算規(guī)則對虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么它的結(jié)果總是 的形式（a、b都是實(shí)數(shù)）（說明：現(xiàn)行教科書中沒有使用記號 而使用 ）．法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了 ，這就是著名的探莫佛定理．歐拉在 1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式 ，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位．“虛數(shù)”實(shí)際上不是想象出來的，而它是確實(shí)存在的．挪威的測量學(xué)家未塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視．

　　德國數(shù)學(xué)家高斯（1777—1855）在 1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實(shí)數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點(diǎn)來表示．在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對應(yīng)實(shí)數(shù)a的點(diǎn)A，縱軸上取對應(yīng)實(shí)數(shù)b的點(diǎn)B，并過這兩點(diǎn)引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點(diǎn)C就表示復(fù)數(shù) ．象這樣，由各點(diǎn)都對應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來又稱“高斯平面”．高斯在1831年，用實(shí)數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù) ，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實(shí)數(shù)一樣地“代數(shù)化”．他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合．統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)—一對應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)—一對應(yīng)．高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間—一對應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法．至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了．

　　經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵．虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實(shí)數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集．

　　隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)．

(二)、虛數(shù)單位

1.規(guī)定i叫虛數(shù)單位，并規(guī)定：

(1)

(2)實(shí)數(shù)與它進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立

2.形如 ( )的數(shù)叫復(fù)數(shù)，常用一個字母z表示，即 ( )

注：(1)  ( )叫復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；

(2)以后說復(fù)數(shù) 都有 ；

(3)a叫復(fù)數(shù) ( )的實(shí)部記作 ；b叫復(fù)數(shù) ( )的虛部，用 表示；

(4)全體復(fù)數(shù)的所成的集合叫復(fù)數(shù)集用C表示．

例1.指出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部：

(1    (2)    (4)   (5)   

(6)    (7)   (8)10

3. 復(fù)數(shù) ( )當(dāng) 時z是實(shí)數(shù)，當(dāng) 時,z是虛數(shù)．

　　例2. ( )取什么值時，復(fù)數(shù) 是（　）

　　(1) 實(shí)數(shù)    (2) 純虛數(shù)  (3)    零

　　解：∵ ，∴ ，

　　(1)z為實(shí)數(shù)，則 解得： 或

　　(2) z為實(shí)數(shù)，則 解得：

　　(3)z為零，則 解得：