數(shù)學(xué)

郭守敬參與制定的《授時(shí)歷》除了在天文數(shù)據(jù)上的進(jìn)步之外，在計(jì)算方法方面也有重大的創(chuàng)造和革新。主要特點(diǎn)有：

廢除上元積年：改用至元十八年（1281年）天正冬至（即至元十八年開始之前的那個(gè)冬至?xí)r刻，實(shí)際上在至元十七年內(nèi)）為其主要起算點(diǎn)。其他各種天文周期的歷元，均推算出與該冬至?xí)r刻的差距，稱為相關(guān)的“應(yīng)”。由此形成一個(gè)天文常數(shù)系統(tǒng)。在這個(gè)天文常數(shù)系統(tǒng)中，《授時(shí)歷》提出了七應(yīng)（氣應(yīng)、轉(zhuǎn)應(yīng)、閏應(yīng)、交應(yīng)、周應(yīng)、合應(yīng)、歷應(yīng)）。

以萬分為日法：古代的天文數(shù)據(jù)都以分?jǐn)?shù)形式來表示。但這種分?jǐn)?shù)方式難以立即比較數(shù)值的大小，在歷法計(jì)算中又需作繁雜的通分運(yùn)算，很不方便，而且隨著天文數(shù)據(jù)測定的進(jìn)步，古人實(shí)際上已逐漸明白，無法用一個(gè)分?jǐn)?shù)來完全準(zhǔn)確地表達(dá)這個(gè)數(shù)據(jù)的值。因此，從唐代開始就有人企圖打破分?jǐn)?shù)表達(dá)法的傳統(tǒng)。南宮說于唐中宗神龍?jiān)辏?05年）編的《神龍歷》即以百進(jìn)制為天文數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)。曹士蒍于唐德宗建中年間（780年—783年）編的《符天歷》更明確提出以萬分為日法。但《神龍歷》未獲頒行。《符天歷》只行于民間，被官方天文學(xué)家貶稱為小歷。到《授時(shí)歷》中始以宏大的革新精神，斷然采用以萬分為日法的制度，使天文數(shù)據(jù)的表達(dá)方式走上了簡潔合理的道路。

發(fā)明正確的處理三次差內(nèi)插法方法：自隋代劉焯以來，天文學(xué)家使用二次差內(nèi)插法來計(jì)算日、月等各種非均速的天體運(yùn)動(dòng)。但實(shí)際上唐代天文學(xué)家已發(fā)現(xiàn)，許多運(yùn)動(dòng)用二次差來計(jì)算是不夠精確的，必須用到三次差，但關(guān)于三次差內(nèi)插公式卻一直沒有找到，只能用一些近似公式來代替?！妒跁r(shí)歷》發(fā)明了稱之為招差法的方法，解決了這個(gè)三百多年未能解決的難題。而且，招差法從原理上來說，可以推廣到任意高次差的內(nèi)插法，這在數(shù)據(jù)處理和計(jì)算數(shù)學(xué)上是個(gè)很大的進(jìn)步。

發(fā)明弧矢割圓術(shù)：天文學(xué)上有所謂黃道坐標(biāo)、赤道坐標(biāo)、白道坐標(biāo)等等的球面坐標(biāo)系統(tǒng)。現(xiàn)代天文學(xué)家運(yùn)用球面三角學(xué)可以很容易地將一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)換算到另一個(gè)系統(tǒng)中去。中國古代沒有球面三角學(xué)，古人是采用近似的代數(shù)計(jì)算方法來解決問題的?！妒跁r(shí)歷》采用的弧矢割圓術(shù)，將各種球面上的弧段投射到某個(gè)平面上，利用傳統(tǒng)的勾股公式，求解這些投影線段之間的關(guān)系。再利用宋代沈括發(fā)明的會(huì)圓術(shù)公式，由線段反求出弧段長股關(guān)系的方法是完全準(zhǔn)確的。它們與現(xiàn)今的球面三角學(xué)公式在本質(zhì)上是一致的。

以上這些計(jì)算方法上的成就，主要應(yīng)當(dāng)歸功于王恂，但是，其他學(xué)者也為此付出了勞動(dòng)。特別由于郭守敬是《授時(shí)歷》的最后整理定稿者，使這些突出的天文學(xué)、數(shù)學(xué)成就得彰后世，故其功不可沒。

光學(xué)

郭守敬在創(chuàng)造的景符、仰儀等天文儀器中反復(fù)運(yùn)用了針孔成象原理，這在中國光學(xué)史上也是比較突出的成就，體現(xiàn)了中國古代較高的光學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力。

水利學(xué)

治水經(jīng)驗(yàn)

郭守敬治水成功的經(jīng)驗(yàn)有很多，主要有三方面：

郭守敬的正確指導(dǎo)思想，是治水成功的前提條件。郭守敬在治水過程中，始終貫徹灌溉、防洪、漕運(yùn)三位一體的指導(dǎo)思想，取得了良好的效果。

郭守敬躬行實(shí)踐的精神，是治水成功的決定條件。郭守敬一生從事興修水利事業(yè)，不畏艱難，注重調(diào)查，勤于實(shí)踐，為后人所推崇。

郭守敬執(zhí)著進(jìn)取的精神，是治水成功的重要條件。郭守敬在從事水利和建設(shè)過程中，具有不怕失敗、鍥而不舍、執(zhí)著進(jìn)取的精神，使他在水利工程建設(shè)上取得了顯著的成就。

西夏治水

至元元年（1264年），張文謙以中書左丞的身份巡視西夏，全面負(fù)責(zé)西夏治水工作，時(shí)任副河渠使的郭守敬隨其前往，視察水利。郭守敬來西夏后沿黃河兩岸勘察地勢水情，走訪百姓，繪制地圖，并提出“因舊謀新 、更立閘堰”的方案（即在疏浚舊渠故道的基礎(chǔ)上增開新渠、在渠首建閘壩）。忽必烈審批后付諸實(shí)施。郭守敬率領(lǐng)民工開挖、疏浚原有河道，修堤建壩，在不到一年的時(shí)間里，修復(fù)了長達(dá)四百余里的唐來渠和長達(dá)二百五十余里的漢延渠以及正渠十余條、大小支渠六十八條，同時(shí)更立閘壩，以有效控制進(jìn)渠水量，圓滿完成了疏浚修復(fù)河渠的任務(wù)。郭守敬堅(jiān)持不懈的努力，使西夏河渠皆通其利，數(shù)萬頃農(nóng)田得到了及時(shí)灌溉。西夏人民為了感謝郭守敬，在渠上建了郭氏生祠，并立碑記錄了此事。

至元二年（1265年），郭守敬自西夏返回中都途中，特地乘舟順河而下，經(jīng)四晝夜至東勝（今內(nèi)蒙古托克托），以自己親身試航成功證明了此段黃河可以漕運(yùn)。同時(shí)，他還考察了查泊、兀郎海（今內(nèi)蒙古烏梁素海）一帶，認(rèn)為這里的許多古渠修復(fù)后可以利用，并將此事上奏元世祖忽必烈，得到忽必烈的稱贊。至元四年（1267年），忽必烈采納郭守敬的建議，下令在中興州至東勝黃河段上設(shè)立了十處水上驛站。此段漕運(yùn)的開辟和水上驛站的設(shè)置，便利了西夏糧食外運(yùn)，改善了西夏與上都、大都間的交通，加強(qiáng)了西夏故地與元朝中央的聯(lián)系。

大都治水（設(shè)計(jì)通惠河）

元朝定都大都（今北京），為保證物資供應(yīng)，從南方調(diào)運(yùn)大批糧食到大都，大運(yùn)河是南北交通的重要水路。但大運(yùn)河只通到通州（今北京市通州區(qū)），從通州到北京，全靠陸路運(yùn)輸。在陰雨連綿的季節(jié)，人畜的疾病死亡和糧食霉?fàn)€糟踏非常嚴(yán)重，運(yùn)輸效率極低。因此，自金朝起，人們就力圖開鑿一條從通州直達(dá)京城的運(yùn)河，以解決運(yùn)糧問題。

通州地勢低于大都。開運(yùn)河，只能從大都引水流往通州，沿途筑一系列牐壩，使南來的船逐級(jí)上駛。這樣，就必須在大都城周圍尋找水源以保證運(yùn)河的水量。金朝時(shí)曾從京西石景山北面的西麻峪村開了一條運(yùn)河，經(jīng)過中都注入通州城東的白河。但因渾河中泥沙極多，運(yùn)河很快淤積；加之夏、秋洪水季節(jié)，渾河水極其洶涌，極易泛濫，對(duì)運(yùn)河兩岸造成威脅。所以，開鑿了十五年之后又復(fù)把運(yùn)河上游的口子填塞了。由于金朝開挖的運(yùn)河，正流經(jīng)大都城墻的南面。以下往東到通州的一段完全可以利用，因此郭守敬所需解決的只是上游的水源。

早在元世祖中統(tǒng)三年（1262年）郭守敬初見忽必烈時(shí)所提的六項(xiàng)水利工程計(jì)劃中，第一項(xiàng)提的就是此事。他計(jì)劃把清河的上源中，從玉泉山涌出后東流，經(jīng)甕山（今萬壽山）南面的甕山泊（今昆明湖的前身）再向東的那一支流改道向南，注入高粱河，再進(jìn)入運(yùn)河。這項(xiàng)計(jì)劃曾經(jīng)實(shí)施。但因只是一泉之水，只能用于增加大都城內(nèi)湖池宮苑的用水量，對(duì)航運(yùn)則無裨益。

至元二年（1265年）以后，郭守敬從西夏回京，又提出了修運(yùn)河的第二個(gè)方案。這個(gè)方案是利用金人所開渾河的口子，只是另在金人運(yùn)河的上游開一道分水河，引回渾河。當(dāng)河水暴漲，危及下游時(shí)，就開放分水河閘口，解除對(duì)大都城的威脅。同時(shí)考慮到渾河水?dāng)y來的泥沙問題，他撤去了運(yùn)河上的閘壩，以使泥沙自然運(yùn)走。這種設(shè)想固然有其道理，但大都到通州運(yùn)河段的水位下降梯度，雖比大都以上的運(yùn)河段梯度較小，卻仍然是相當(dāng)大的，沒有閘壩控制，巨大的糧船就無法逆流而上。因此，這個(gè)方案在至元十三年（1276年）實(shí)施完成以后，只對(duì)運(yùn)河兩岸的農(nóng)田灌溉及放送西山砍伐木料的作業(yè)有所幫助。

此后，郭守敬總結(jié)了兩個(gè)方案失敗的教訓(xùn)，并在大都周圍仔細(xì)地勘測水文和地形起伏情況。只是由于他又被調(diào)去修《授時(shí)歷》，才將此事擱置。

至元二十八年（1291年），有人建議利用灤河和渾河溯流而上，作為向上都運(yùn)糧的渠道。忽必烈不能決斷，派郭守敬去實(shí)地勘查。郭守敬探測到中途，就已發(fā)現(xiàn)這些建議不切實(shí)際。他乘著報(bào)告調(diào)查結(jié)果的機(jī)會(huì)，提出了許多新建議。其中第一個(gè)就是他已籌劃多年的大都運(yùn)河新方案。

這個(gè)方案利用他第一次方案中鑿成的把甕山泊流出的一支清河上源引向南面高粱河的河道。為了進(jìn)一步擴(kuò)充水源，又把昌平縣神山（今稱鳳凰山）腳下的白浮泉水引入甕山泊。此后，河水并不徑直南下，而是反向西引到西山腳下，再沿西山往南，沿途攔截所有原來從西山向東流入沙河、清河的泉水，使匯成流量可觀的水渠，再經(jīng)高粱河進(jìn)入流向通州的運(yùn)河。因?yàn)檫@些都是清泉水源，泥沙很少，運(yùn)河下游可以無顧慮地建立船閘，使糧船平穩(wěn)上駛。郭守敬提出開挖大運(yùn)河的建議后很快就被忽必烈采納，于至元二十九年（1292年）春天動(dòng)工。

整個(gè)工程只用了一年半時(shí)間，全長一百六十多華里的運(yùn)河連同全部閘壩工程就完成了。這條運(yùn)河被命名為通惠河。而自昌平到甕山泊的一段又特稱白浮堰。從此以后，南來的船舶可直駛到大都城中，作為船舶終點(diǎn)碼頭的積水潭上登時(shí)桅檣如林，熱鬧非凡。通惠河不但解決了運(yùn)糧問題，而且促進(jìn)了南貨北銷，繁榮了大都城的經(jīng)濟(jì)。

通惠河工程從技術(shù)上來說最突出的是白浮堰線路的選擇。白浮泉的發(fā)源地海拔約六十米，高出大都城地勢最高的西北角約十米。但因兩者之間隔有沙河和清河兩條河谷地帶，它們的地勢都在五十米以下，甚至還不到四十五米。因此，如從白浮泉直線南下，則泉水勢必沿河谷東流而下，進(jìn)不了運(yùn)河。如果用架渡槽的辦法，則也只能引白浮一泉之水，起不了多大作用，卻費(fèi)工甚巨。而郭守敬所選的線路，雖然迂回，卻保持了河道較小的水位落差梯度，且可攔截沿途所經(jīng)的諸多水源，使流入運(yùn)河中的水能有較大的水量。因?yàn)閺纳裆降酱蠖汲堑闹本€距離有六十多華里（三十多公里），在這么長的路程上地形有幾米的起伏那是很微小的。從這里可以看出，郭守敬的地形測量技術(shù)實(shí)在是很高超的。當(dāng)代許多地理學(xué)家考察了白浮堰線路之后，對(duì)郭守敬的成就無不交口贊譽(yù)。

天文學(xué)

編制《授時(shí)歷》

天文觀測

郭守敬運(yùn)用他改進(jìn)、創(chuàng)造的天文儀器，進(jìn)行了許多精密的天文觀測，從而使《授時(shí)歷》的編制有了可靠的觀測基礎(chǔ)。他所從事和領(lǐng)導(dǎo)的觀測項(xiàng)目甚多，如冬至?xí)r刻、二十八宿距度和星表、四海測驗(yàn)、黃赤交角以及一些歷元時(shí)刻的測定，其中大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是中國古代歷法史上最精確的，或近于最佳的。其中較為知名的即為四海測驗(yàn)。

四海測驗(yàn)

郭守敬從上都（今多倫）、大都（今北京）開始?xì)v經(jīng)河南轉(zhuǎn)抵南海跋涉數(shù)千里，親自參加了這一路的測驗(yàn)。在其中的6個(gè)地點(diǎn)，特別測定了夏至日的表影長度和晝、夜的時(shí)間長度；測出的北極出地高度平均誤差只有0.35；新測二十八宿距度，平均誤差還不到5'；測定了黃赤交角新值，誤差僅1'多；取回歸年長度為365.2425日，與現(xiàn)今通行的公歷值完全一致。這些觀測的結(jié)果，都為編制全國適用的歷法提供了科學(xué)的數(shù)據(jù)。

編制歷法

在《授時(shí)歷》創(chuàng)作中，郭守敬雖然有專業(yè)分工，他負(fù)責(zé)制器和測驗(yàn)，但與整個(gè)創(chuàng)作中的其他部分以及總體工作，并非全然無關(guān)?！妒跁r(shí)歷》的編制是一件規(guī)模較大的集體工作。工作中既有專人分工負(fù)責(zé)，也有重大問題的集體討論。《元史》作者除了在王恂、郭守敬的列傳中記敘了改歷之事外，還在許衡、楊恭懿等人的列傳中也作了相當(dāng)篇幅的敘述。這些敘述中都透露出《授時(shí)歷》編撰工作的集體性。按照當(dāng)代科學(xué)史家錢寶琮的觀點(diǎn)，甚至可認(rèn)為，早在劉秉忠、張文謙、張易等人同學(xué)的時(shí)代，他們就對(duì)歷法問題有過許多探討。

在估價(jià)集體工作的體制下郭守敬的作用時(shí)，應(yīng)注意的是：一方面，郭守敬所分工負(fù)責(zé)的任務(wù)一定會(huì)吸收別人的智慧和勞動(dòng)。例如，關(guān)于全天恒星星表的測定就不是哪一個(gè)人所能獨(dú)力完成的。至于在測定七應(yīng)的工作中，也離不開歷法的推算和對(duì)數(shù)據(jù)的處理。另一方面，則應(yīng)該肯定在整個(gè)歷法的創(chuàng)新和改革中，也凝結(jié)著郭守敬的貢獻(xiàn)和智慧。在新歷頒行后不久主要骨干王恂等人因先后去世或辭歸，唯剩下郭守敬繼續(xù)工作，一人整理了《授時(shí)歷》全部文稿。因此郭守敬功不可沒。這也就是后人把《授時(shí)歷》的成就都?xì)w于郭守敬的重要原因。

《授時(shí)歷》推算出的一個(gè)回歸年為365.2425天，即365天5小時(shí)49分12秒，與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的實(shí)際時(shí)間只差26秒鐘，和現(xiàn)在世界上通用的《格里高利歷》（俗稱的陽歷）的周期一樣，但《格里高利歷》是1582年（明萬歷十年）開始使用，比郭守敬的《授時(shí)歷》晚三百多年，在國際上產(chǎn)生了一定的影響。

地理學(xué)

郭守敬在西夏水利工程結(jié)束后曾溯黃河之流而上，探尋黃河的發(fā)源地。由此他成為以科學(xué)考察本身為目的，專程探求黃河河源的先驅(qū)者。他的探查結(jié)果沒有記載流傳下來。現(xiàn)今傳世的第一部河源考察成果專著為都實(shí)所撰的《河源記》，此是至元十七年（1280）都實(shí)奉忽必烈之命專程考察河源的紀(jì)實(shí)。先前郭守敬的考察對(duì)都實(shí)肯定有相當(dāng)?shù)挠绊憽?/p>

改制發(fā)明

天文儀器制造

而在創(chuàng)編《授時(shí)歷》工作前后，郭守敬還制造并創(chuàng)作了一些天文儀器，其中多數(shù)是計(jì)時(shí)器或與計(jì)時(shí)器有關(guān)的儀器。工作前后制作的儀器有：

寶山漏。

大明殿燈漏（又稱七寶燈漏）。

靈臺(tái)水運(yùn)渾天漏。

柜香漏。

屏風(fēng)香漏。

行漏。

其中的大明殿燈漏是中國第一架與天文儀器相分離的獨(dú)立的計(jì)時(shí)器，在中國鐘表發(fā)展史上具有重要的意義。

綜觀郭守敬一生制造的天文儀器，大多具有設(shè)計(jì)科學(xué)、結(jié)構(gòu)巧妙、制造精密、使用方便的特點(diǎn)，而且絕大多數(shù)都注意到儀器安裝的校正裝置。他的創(chuàng)作博得同時(shí)代和后世的高度贊揚(yáng)。王恂是很高傲的人，每見到郭守敬的新創(chuàng)作，皆為之心服。他所制造的部分儀器，后又于清初運(yùn)回北京。后來在十八世紀(jì)康熙、乾隆年間的幾次工程中，把郭守敬的作品都當(dāng)作銅材熔毀。

其它

郭守敬在簡儀上設(shè)計(jì)的赤道經(jīng)緯儀是世界上最早的赤道裝置，歐洲直到公元1598年才由丹麥天文學(xué)家第谷發(fā)明類似的裝置。

郭守敬在簡儀中使用了滾柱軸承，以使簡儀南端的動(dòng)赤道環(huán)可以靈活地在定赤道環(huán)之上運(yùn)轉(zhuǎn)。西方的類似裝置是在二百年后才由意大利科學(xué)家達(dá)·芬奇發(fā)明的。