實數(shù)的運算

百眼通 2017-10-08

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實數(shù)的概念

實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正實數(shù)，負(fù)實數(shù)和零三類。實數(shù)集通常用黑正體字母 R 表示。而表示 n 維實數(shù)空間。實數(shù)是不可數(shù)的。實數(shù)是實數(shù)理論的核心研究對象。

實數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。理論上，任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點的右邊是一個無窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實際運用中，實數(shù)經(jīng)常被近似成一個有限小數(shù)（保留小數(shù)點后 n 位，n為正整數(shù)）。在計算機(jī)領(lǐng)域，由于計算機(jī)只能存儲有限的小數(shù)位數(shù)，實數(shù)經(jīng)常用浮點數(shù)來表示。

實數(shù)的運算法則

1、加法法則：

（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把它們的絕對值相加；

（2）異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

可使用①加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變．即：

②加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或先把后兩個數(shù)相加，和不變．即：

2、減法法則：

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+(-b)

3、乘法法則：

（1）兩數(shù)相乘，同號取正，異號取負(fù)，并把絕對值相乘。

（2）n個實數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0；若n個非0的實數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個時，積為負(fù)。

（3）乘法可使用①乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．即：．

②乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變．即：。③分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加．即：．

4、除法法則：

（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。

（2）除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。即

（3）0除以任何數(shù)都等于0，0不能做被除數(shù)。

5、乘方：　所表示的意義是n個a相乘，即

正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．

乘方與開方互為逆運算。

6、實數(shù)的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。

實數(shù)計算的常見類型及方法

一、實數(shù)的運算

(1)加法

同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把絕對值相加；

異號兩數(shù)相加。取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。

(2)減法 a-b=a+(-b)

(3)乘法

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都得零．即

(4)除法

(5)乘方

(6)開方如果x2＝a且x≥0，那么＝x；如果x3=a，那么

在同一個式于里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減．有括號時，先算括號里面．

3．實數(shù)的運算律

(1)加法交換律 a+b＝b+a

(2)加法結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交換律 ab＝ba．

(4)乘法結(jié)合律 (ab)c=a(bc)

(5)分配律 a(b+c)=ab+ac

其中a、b、c表示任意實數(shù)．運用運算律有時可使運算簡便．

　　一、加法運算中的方法與技巧

　例1 計算：

分析：（１）題的關(guān)鍵是確定運算順序，有括號的還應(yīng)先計算括號內(nèi)的；

（2）題的關(guān)鍵是求出絕對值符號中式子的值，進(jìn)而求出整個式子的值．進(jìn)行有理數(shù)的混合計算時,小學(xué)學(xué)過的確定運算順序的方法仍然適用

　　【小結(jié)】巧用加法的交換律與結(jié)合律，以達(dá)到簡化的目的，同時注意交換加數(shù)位置時，一定要連同前面的符號一起移動.

　　實數(shù)加法運算中通常有以下規(guī)律：互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加—“相反數(shù)結(jié)合法”；符號相同的數(shù)先相加—“同號結(jié)合法”；分母相同的數(shù)先相加—“同分母結(jié)合法”；幾個數(shù)相加得到整數(shù)先相加—“湊整法”；整數(shù)與整數(shù)，小數(shù)與小數(shù)相加—“同形結(jié)合法”.

　　二、乘、除運算中的方法與技巧

　　例2：計算：

分析：（１）這里沒有用括號規(guī)定運算順序，所以我們應(yīng)先算乘方，再算除法，最后算除法．（2）用括號規(guī)定運算順序，所以應(yīng)先算括號內(nèi)的，再按順序進(jìn)行．另外也可以利用乘法對加法的分配律去掉括號，然后再按順序進(jìn)行．

點評：在進(jìn)行有理數(shù)的混合運算時，一要注意運算順序的正確；二要注意符號的變化；三要注意在運算性質(zhì)時不要出現(xiàn)錯誤．

　　三、冪的運算

　　【例3】計算：

　　【小結(jié)】表示4個-2相乘，負(fù)數(shù)的偶次方是正數(shù)，而表示的相反數(shù)，結(jié)果為負(fù)數(shù)，兩者意義不同，注意區(qū)別.同理，表示3個-2相乘，表示的相反數(shù)，表示3個相乘，表示除以5的商的相反數(shù)，兩者意義不同，注意觀察，當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，底數(shù)要加括號.

　　四、在混合運算中靈活運用運算律

　　【小結(jié)】此題利用分配律計算非常簡便，但同時是同學(xué)們在計算時容易出錯的地方.第一種方法是把括號中的式子看作和的形式，分別相乘，再相加.第二種方法是先定符號，后面注意整體思想.第三種方法，第一部分相乘時先定符號，后定值.

　　【小結(jié)】善于觀察，尋求解決問題的策略，是至關(guān)重要的.靈活使用交換律和分配律，使解決本題的步驟變得簡捷明快.

　　【小結(jié)】有理數(shù)的加減乘除混合運算中，如果有括號通常先算括號里面的，如果無括號，則按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行.此題，在將混合運算中的除法轉(zhuǎn)化為乘法后，運用乘法運算律簡化計算.同時注意多項式除以單項式可用分配律.單項式除以多項式不可用分配律，必須把除數(shù)作為一個整體來進(jìn)行計算.

五、二次根式的運算

例8：小東在學(xué)習(xí)了后, 認(rèn)為也成立, 因此他認(rèn)為一個化簡過程: 是正確的. 你認(rèn)為他的化簡對嗎? 說說你的理由。

分析：二次根式的化簡要根據(jù)其基本性質(zhì)進(jìn)行，對于性質(zhì)：，是有條件的即：，做題時應(yīng)注意這一點。

解答：他的化簡過程是錯誤的，這是因為：根據(jù)性質(zhì)：，應(yīng)有條件，

而該同學(xué)在的化簡過程中，顯然出現(xiàn)了違背條件的情況，與是沒有意義的，因此他的化簡過程是錯誤的。正確的應(yīng)是：

點評：運算性質(zhì)是運算的基礎(chǔ)，要準(zhǔn)確全面的把握運算性質(zhì)，不能斷章取義，在復(fù)習(xí)是要注這一點，對某一知識的掌握要全面、深刻而不能僅僅局限于了解、知道或模棱兩可，這是總復(fù)習(xí)中的大忌。

拓廣：

對于題目“化簡并求值：，其中,甲、乙人的解答不同．

甲的解答是：

乙的解答是：

誰的解答是錯誤的？為什么？

解：乙的解答是錯誤的，因為：，則，故有：