如果吳老師給大家一個(gè)三角形，你會(huì)想到什么？邊長(zhǎng)、角度、周長(zhǎng)、面積、三角形的穩(wěn)定性等等，這些都是大家很容易想到的地方。

如下圖：

現(xiàn)在我們把這個(gè)三角形的三邊換成橡皮圈，就構(gòu)成一個(gè)用橡皮圈材料組成的三角形。此時(shí)，我們對(duì)這個(gè)橡皮圈進(jìn)行拉升、扭轉(zhuǎn)等活動(dòng)，使它形成新的圖形，如四邊形、圓等等。

如下圖：

提醒大家：拉升、扭轉(zhuǎn)等等活動(dòng)一定要在橡皮圈的彈性范圍內(nèi)，這樣就防止橡皮圈不被弄斷或撕裂，保證橡皮圈的永遠(yuǎn)是一個(gè)“圈”。

我們?cè)诶蚺まD(zhuǎn)橡皮圈過程中，哪些量可能發(fā)生變化呢？如三角形變成四邊形，角度、長(zhǎng)度、面積、形狀等等都很可能發(fā)生變化。此時(shí)，我們要求大家“摒棄”這些常規(guī)度量的性質(zhì)（如長(zhǎng)度、面積、形狀等等這些），只考慮物體間的位置關(guān)系，而不考慮它們的形狀和大小，這時(shí)候大家又發(fā)現(xiàn)什么？

有些人可能有點(diǎn)迷茫，如果一個(gè)幾何圖形不去研究周長(zhǎng)、面積等等這些性質(zhì)，那剩下還能研究什么？就像這個(gè)橡皮圈，不去管拉升、扭轉(zhuǎn)之后可度量的周長(zhǎng)、面積等等變化，只專注于橡皮圈本身從三角形到四邊形，在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)，這就是拓?fù)鋵W(xué)。

同一個(gè)橡皮圈從三角形到四邊形，長(zhǎng)度、面積、形狀等等改變了，但在拓?fù)鋵W(xué)上不會(huì)去管這些變化，拓?fù)鋵W(xué)只研究和關(guān)注這個(gè)橡皮圈的“圈”上面。

在以前一篇文章當(dāng)中，本人講到“七橋問題”如何被解決，以及“七橋問題”對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)發(fā)展起到哪些影響等等。

18世紀(jì)初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島與河岸聯(lián)系起來。有個(gè)人提出一個(gè)問題，一個(gè)人怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn)。這個(gè)看起來很簡(jiǎn)單又很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個(gè)明確、理想的答案還不那么容易。

歐拉于1736年研究并解決了此問題，把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)幾何問題，他把問題歸結(jié)為的“一筆畫”問題，證明上述走法是不可能的。

歐拉解決這個(gè)問題最聰明地方就是把問題簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。歐拉在解決“七橋問題”的時(shí)候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)，這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問題的出發(fā)點(diǎn)。

因此，“七橋問題”就簡(jiǎn)化成，能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫出來，這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”。

歐拉在解決“七橋問題”過程中，就是拓?fù)鋵W(xué)最原始的“形態(tài)”，只不過在當(dāng)時(shí)這些問題被當(dāng)做一些孤立的問題來處理，隨著拓?fù)鋵W(xué)不斷發(fā)展，這些問題在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。

類似像“七橋問題”這樣拓?fù)鋵W(xué)“先聲”的事件，還有“四色問題”、“歐拉定理”等等。“四色問題”等拓?fù)鋵W(xué)經(jīng)典問題都向我們展現(xiàn)了拓?fù)鋵W(xué)的廣泛應(yīng)用以及它獨(dú)特的思考方式。

從以上簡(jiǎn)單的敘述中，大家應(yīng)該能“粗略”的了解到什么是拓?fù)鋵W(xué)，或拓?fù)鋵W(xué)主要是做什么工作。拓?fù)鋵W(xué)，直接點(diǎn)講就是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科。

大家一定要記住一點(diǎn)：拓?fù)鋵W(xué)只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。

拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨1679年提出的名詞。他在17世紀(jì)提出“位置的幾何學(xué)”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的說法。

歐拉在1736年解決了七橋問題，給當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界引起很多思考；

歐拉在1750年發(fā)表了多面體公式；

在1833年，高斯在電動(dòng)力學(xué)中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。

在1847年，J.B.利斯廷根據(jù)希臘文τ?πο?和λ?γο?（“位置”和“研究”），提出Topology這一數(shù)學(xué)名詞，即拓?fù)鋵W(xué)。Topology，直譯是地志學(xué)，最早指研究地形、地貌相類似的有關(guān)學(xué)科。

之后在19世紀(jì)中期，即1851年左右，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼在復(fù)變函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強(qiáng)調(diào)為了研究函數(shù)、研究積分，就必須研究形勢(shì)分析學(xué)，從此數(shù)學(xué)界開始了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究。

拓?fù)鋵W(xué)可以說是一門非常抽象的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，同時(shí)也是幾何學(xué)一個(gè)分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)分支。但拓?fù)鋵W(xué)與通常的幾何學(xué)區(qū)別非常大，如我們熟悉的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)，而拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都沒有關(guān)系，它只在乎研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科。

因此，在拓?fù)鋵W(xué)里沒有不能拉升、扭轉(zhuǎn)、彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變，這也就是為什么說拓?fù)渥钪匾男再|(zhì)就是連通性與緊致性。

看到這里，大家是不是覺得拓?fù)鋵W(xué)很“任性”？

拓?fù)鋵W(xué)經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)人不斷努力的發(fā)展，它不僅僅是一門研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)的學(xué)科，更是一門在現(xiàn)代數(shù)學(xué)、自然科學(xué)以及社會(huì)科學(xué)等眾多領(lǐng)域中應(yīng)用極為廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科。

拓?fù)鋵W(xué)源于對(duì)周圍世界的直觀觀察，把生活數(shù)學(xué)化、大自然數(shù)學(xué)化、社會(huì)數(shù)學(xué)化等等，因此，我們學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)，就相當(dāng)于以一種獨(dú)特的視角去將世界數(shù)學(xué)化。

就像前面講的對(duì)于一個(gè)橡皮圈，我們?cè)谒膹椥苑秶畠?nèi)，任意進(jìn)行拉長(zhǎng)、扭轉(zhuǎn)等等“不人道”行為，但不能弄斷或撕裂，要保證橡皮圈永遠(yuǎn)是一個(gè)橡皮圈。那么我們?cè)诶?、扭轉(zhuǎn)等過程中，橡皮圈的長(zhǎng)度、形狀等發(fā)生改變，但在拓?fù)鋵W(xué)里，我們是不會(huì)去理會(huì)這些度量性質(zhì)上的變化，拓?fù)鋵W(xué)只專注于橡皮圈的“圈”上。

如我們把一個(gè)橡皮制的三角形，進(jìn)行任意的拉升、扭轉(zhuǎn)，得到另一形狀的四邊形，我們稱這兩個(gè)圖形，三角形和四邊形在拓?fù)渖鲜且环N“同胚”或“等價(jià)”的結(jié)構(gòu)。廣義的來說，在一個(gè)物體到另一個(gè)物體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果它是不間斷，又不重復(fù)，則在拓?fù)渖戏Q這個(gè)關(guān)系在兩物體間建立一個(gè)“同胚”變換。兩個(gè)物體間如果存在有這種關(guān)系，則稱它們?yōu)椤巴負(fù)渫摺?。從這個(gè)角度來講，拓?fù)鋵W(xué)可以說是探討同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)的一門學(xué)科。一個(gè)幾何圖形的性質(zhì)，經(jīng)由一拓?fù)渥儞Q作用后維持不變，該性質(zhì)稱為圖形的拓?fù)湫再|(zhì)。

拓?fù)鋵W(xué)完全不同于我們所學(xué)的其他數(shù)學(xué)課程，如高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)、解析幾何、常微分方程等等。 因此，基于拓?fù)鋵W(xué)這種特殊性，這門課程學(xué)起來就會(huì)顯得非常抽象，要求學(xué)習(xí)者具有較高的邏輯推理能力和抽象思維能力。

連續(xù)性與離散性這對(duì)矛盾在自然現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在著，數(shù)學(xué)也可以粗略地分為連續(xù)性的與離散性的兩大門類。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推進(jìn)作用。例如，拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)工作者的常識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)的重要性，體現(xiàn)在它與其他數(shù)學(xué)分支、其他學(xué)科的相互作用。拓?fù)鋵W(xué)在泛函分析、實(shí)分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。

我們非常熟悉的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、歐拉定理、曲面、向量場(chǎng)、四色問題、結(jié)、覆蓋等等，都是拓?fù)鋵W(xué)研究的重要課題。

如計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是引用拓?fù)鋵W(xué)中研究與大小，形狀無關(guān)的點(diǎn)、線關(guān)系的方法。我們把網(wǎng)絡(luò)中的計(jì)算機(jī)、通信設(shè)備、工作站、服務(wù)器等網(wǎng)絡(luò)單元抽象為一個(gè)“點(diǎn)”，把傳輸介質(zhì)（電纜）等抽象為一條“線”，由點(diǎn)和線組成的幾何圖形就是計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)反映出網(wǎng)絡(luò)中各實(shí)體的結(jié)構(gòu)關(guān)系，是建設(shè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的第一步，是實(shí)現(xiàn)各種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議的基礎(chǔ)，它對(duì)網(wǎng)絡(luò)的性能，系統(tǒng)的可靠性與通信費(fèi)用都有重大影響。

拓?fù)湓谟?jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中即是指連接各結(jié)點(diǎn)的形式與方法。

經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展，拓?fù)鋵W(xué)由幾何學(xué)與集合論里發(fā)展出來的學(xué)科，研究空間、維度與變換等概念。從拓?fù)鋵W(xué)所衍生出來的知識(shí)已和近世代數(shù)、分析共同成為數(shù)學(xué)理論的三大支柱。

拓?fù)鋵W(xué)的最簡(jiǎn)單觀念產(chǎn)生于對(duì)周圍世界的直接觀察，直觀的說，關(guān)于圖形的幾何性質(zhì)探討，不“理會(huì)”它們的“度量”性質(zhì)(長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)、面積、體積等等)方面的知識(shí)，多數(shù)的討論都是圍繞在那些與大小、位置、形狀無關(guān)的性質(zhì)上。

拓?fù)鋵W(xué)不僅僅在數(shù)學(xué)世界發(fā)揮重要作用，更在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等方面起到重要作用。如拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法對(duì)物理學(xué)（如液晶結(jié)構(gòu)缺陷的分類）、化學(xué)（如分子的拓?fù)錁?gòu)形）、生物學(xué)(如DNA的環(huán)繞、拓?fù)洚悩?gòu)酶)都有直接的應(yīng)用何影響。

不管是拓?fù)鋵W(xué)在數(shù)學(xué)當(dāng)中的重要性有多高，還是它對(duì)其他學(xué)科所起到的影響力等等，單單是學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)就可以幫助我們進(jìn)行高層次的思維鍛煉，提高我們的思維高度等等，就值得我們認(rèn)真去學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)這一門學(xué)科。

大學(xué)期間拓?fù)鋵W(xué)的學(xué)習(xí)，主要分成兩部分內(nèi)容來學(xué)習(xí)：一般拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。

一般拓?fù)鋵W(xué)分為了八章，分別是：

集合論與邏輯、拓?fù)淇臻g與連續(xù)函數(shù)、連通性與緊致性、可數(shù)性公理與分離公理、Tychonoff定理、度量化定理與仿緊致性、完備度量空間與函數(shù)空間、Baire空間和維數(shù)論。

代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)分為了六章，分別是：

基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分類、 復(fù)疊空間分類、在群論中的應(yīng)用。

由于篇幅有限，一篇文章不能對(duì)拓?fù)鋵W(xué)進(jìn)行更加細(xì)致化的講解，不到之處，敬請(qǐng)諒解。后續(xù)本人將會(huì)對(duì)拓?fù)鋵W(xué)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行更多“淺薄”的講解，希望大家喜歡。