如果賭博輸贏的概率是50%, 那為什么長久賭博的人多會傾家蕩產(chǎn)而不是收益均衡?

包羅萬項網(wǎng)天下 2017-08-12

展開全文

（1）

先從最簡單的問題開始：按照題主描述的規(guī)則，每賭博一次都是 50%輸：50%贏的概率分布。再假設(shè)，輸了要拿出自己的1塊錢，贏了可收別人的1塊錢（相當(dāng)于雙方賠率一致，游戲公平）。

那么，如果讓兩個人不斷地這樣互相賭博下去，會怎樣？

首先，結(jié)果肯定跟賭博占總資本的比例有關(guān)。

如果，兩個人一開始就是（ 1，1）的資本分布，那這個游戲只能進行一回合，因為第一回合結(jié)束，就變成了（0，2）或（2，0），其中一人已經(jīng)破產(chǎn)了，游戲結(jié)束。

點擊加載圖片

如果兩個人一開始是（2，2）的資本分部呢？

那么，到了第二回合，有兩種可能的分布；（0，4），（2，2）。所以說，有50%的概率就在第二回合結(jié)束，因為有一人破產(chǎn)。也有50%的概率回到一開始的狀態(tài)。繼續(xù)玩下去，有25%的概率在第四回合結(jié)束，八分之一的概率在第六回合結(jié)束，等等。反正遲早會結(jié)束的。

游戲平均長度（一般多久才有人破產(chǎn)），就是 2/2 + 4/4 + 6/8 + 8/16 + 10/32 + 12/64 ... = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + 6/32 ... = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ... = 4。

理論上，游戲可以無限進行，但是游戲?qū)嶋H平均長度是有限的。無限玩下去（沒人破產(chǎn)）的零概率的事?；蛘哒f總會有人連著輸兩次，或者連著贏兩次，然后結(jié)束。

那么，從（3，3）開始？也可以算游戲平均長度啊。三個回合之后沒人破產(chǎn)的概率是 3/4。剩下來的這些情況只能是（2，4）狀態(tài)，又均衡。所以，五個回合之后還沒人破產(chǎn)的概率是 9/16。七個回合之后還沒有人破產(chǎn)的概率是 27/64。。。游戲長度是 3(1-3/4) + 5(3/4-9/16) + 7(9/16-27/64)... = 3(1/4) + 5(3/16) + 7(9/64) + 9(27/256) ... = (1/4) * (3 + 5(3/4) + 7(9/16) + 9(27/64) ...) = (1/4) * (12 + 6 + 6(3/4) + 6(9/16) + 6(27/64) ...) = (1/4) * (12 + 24) = 9 回合。每個人從三塊錢資本開始，游戲還是會有限結(jié)束的。【如上，只是反復(fù)用 geometric series】

應(yīng)該沒人有耐心繼續(xù)推理（4，4），（5，5）的結(jié)果時間會怎樣。有興趣的可以自己試一下。反正很明顯，從（N，N) 開始，可預(yù)測游戲在 N^2 回合之內(nèi)結(jié)束，平均需要這么多步驟就有人破產(chǎn)。（其實用binomial distribution 也很容易證明這一點）

說明：兩個人這樣長期玩下去，遲早也有人會破產(chǎn)輸光所有的資本。其實用直覺，也很obvious，因為時間越長，某人【相對】連續(xù)贏很多次的概率就越來越高了。

這是很基本的一個原理。

---

（2）

如果不是玩固定1塊錢的下注量呢？因為雙方有一萬塊錢，也沒時間玩一塊錢一塊錢的游戲。

比方說，玩雙方資本的比例？（或者總資本的比例也行）。這個游戲結(jié)束時間當(dāng)然更快了。

比方說，從（A，B) =（x，x) 資本分部開始，然后雙方每回合下注 ratio * min(A,B)。（目前資本更少的人的半個資本）。這樣更現(xiàn)實一點；會怎樣？

也可以模擬一下：

點擊加載圖片

（這里規(guī)定兩位從一樣的資本開始，模擬一萬次，看多少回合才有人破產(chǎn)。。。這里破產(chǎn)結(jié)束的定義就是資本已經(jīng)擴大到一百倍，玩不下去了。這個假設(shè)還好，因為成功的一方走到了這一步，可能也沒興趣繼續(xù)玩，而且不太影響結(jié)論）

-- 每回合去賭剩下“弱者”資本的50%：

點擊加載圖片

平均21回合結(jié)束。

-- 每回合去賭剩下“弱者”資本的20%：

點擊加載圖片

平均100回合結(jié)束。

為了減少一些文字；這種更現(xiàn)實的玩法的結(jié)果。。。即使隨機，即使從雙方資本平等開始，迅速也會出現(xiàn)明顯破產(chǎn)的一方。（更快速，因為跟比例有關(guān)，所以是log）。

現(xiàn)實也是這么苦的。表面公平的規(guī)則只能導(dǎo)致越來越不公平的結(jié)果。其實我們生活當(dāng)中，每一個交易或風(fēng)險累積起來也就很像這么回事，是這種性質(zhì)的。

---

（3）

兩個人的情況，上面也說得比較清楚了。反復(fù)玩，不久有一方會輸光。。。

但是題主在問：“為什么這樣賭博的人反而是破產(chǎn)的居多”？

這也可以模擬啊，不難。而且結(jié)果差不多。

大家可以參考房間內(nèi)有 100 人，每人有 100 塊，每分鐘隨機給另一個人 1 塊，最后這個房間內(nèi)的財富分布怎樣？下面的答案。理論上，跟你的提問是完全一致的。。。隨機還錢的結(jié)果。

（不過我認(rèn)為，更接近現(xiàn)實經(jīng)濟的游戲方式，得考慮到資本比例這種下注規(guī)則，而不是每人每次都玩一塊錢的規(guī)則。。。當(dāng)然更加殘忍，如上）

大概可以這樣理解：

公平而隨機的資本游戲，平均資本是不變的，但是資本分布的標(biāo)準(zhǔn)差只會越來越大。每個玩家從一樣的狀態(tài)開始，也會漸漸形成一個越來越大的貧富差距。如果無限玩下去，所有錢遲早也會玩到一個人的手里。跟兩個人，是沒有區(qū)別的，甚至?xí)旄菀仔纬蓸O端分布。

就像你讓一萬個人扔10次硬幣。理論上，十次朝上的概率是1/1024，仍然會有十個這樣的人。那么多人去賭博，就算他們沒有任何客觀現(xiàn)實優(yōu)勢，自然也會有運氣很好的少數(shù)人。其他大多數(shù)人是做不到的。再說，他們只要在這個過程中遇到一次朝下多余朝上，這就相當(dāng)于破產(chǎn)了。之前成功了的人掌握了更多的生存和發(fā)展機會。

（另一方面，這種基本概率規(guī)律，跟迷信信仰有關(guān)，比如有個人做了一百個隨機預(yù)測，自然也有十個預(yù)測會中獎的，但是大家經(jīng)常習(xí)慣忽略剩下來九十個預(yù)測。或者有一百個人做一萬個隨機預(yù)測，自然也有某個人達到90%以上的準(zhǔn)確度，然后容易被當(dāng)做大神。老百姓的邏輯真是有趣的一件事。）

---

（4）

在這里，我們可以開始講一些更有趣的細(xì)節(jié)。

上面提到了現(xiàn)實經(jīng)濟“隨機帶來差距”的事情。

那么，如果有一些人在游戲中占優(yōu)勢，是不是更容易把這個差距拉大？

如果有，那這些優(yōu)勢是怎么體現(xiàn)出來的？

并不像很多人普遍認(rèn)為的“每次中獎”而發(fā)財，而是真的跟概率和回合數(shù)量有關(guān)。

比方說，其它規(guī)則不變，但是你知道這個硬幣有51%的概率會朝上，而不是50%。（或者你有能力稍微影響到這件事情的概率）。然后這種人輸贏的次數(shù)都非常多，表面上跟他人一樣。但是玩了一萬個回合，別人平均只贏了5000次，但是他平均贏5100次。這一百次也足以把他自己的利潤放大到別人的好幾倍，完爆任何運氣性效應(yīng)。

我之前公司也就是這么盈利的。或者可以轉(zhuǎn)換成這種理解：我們發(fā)現(xiàn)的那些概率50.1%或更高的事情，我們都去搶。更加科學(xué)一點的說法是；表面概率賠率為X%的事情，我們可能發(fā)現(xiàn)他的實際概率是X+0.1%或X-0.1%，然后可以選擇站在其中一邊。每天10-20萬個小交易，也有一半會輸。但是長期盈利保證在0.1%以上。（十萬個交易，每次下注都是一千塊錢，可圖價值只有一交易一塊錢。但是交易次數(shù)多了起來，隨機因素基本上都可以忽略，互相隨機贏輸差不多，沒影響。一天下來的最后穩(wěn)定利潤也就是那么十萬塊錢，符合自己的模型？就這么一點優(yōu)勢，也能通過自動化放大到這么一個程度）

所以，讀者可以想一想，有個人占有10%的能力優(yōu)勢。表面X%概率的事情，他知道有X+/-10%的真實概率。。。會怎樣？現(xiàn)實生活好多事情都這樣，而且形成一個超大的優(yōu)勢。50%翻倍概率的一件事，他有60%確定能掌握，能選擇。那么他這一次輸錢的概率也有40%，但是交易機會多了起來，百次、萬次、百萬次，他的優(yōu)勢實在是太大了，而且越來越明顯。長期下來，比起每次投資絕對10%利潤的交易，沒有任何本質(zhì)區(qū)別了。

任何賭場游戲，還有私人撲克麻將什么的，還有任何網(wǎng)絡(luò)賭博，任何彩票以及所有游戲，只要你算概率比大眾更加準(zhǔn)確；那你就是有這么一個優(yōu)勢的。很可能只有一回合0.1%的優(yōu)勢，因為能算牌，但是這個優(yōu)勢很容易被回合次數(shù)不斷地放大。

這種人遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于非專業(yè)（幾百交易隨機運氣贏錢出來的人），但是他們的數(shù)學(xué)模型優(yōu)勢堅持了，永遠(yuǎn)會打敗所有那一類的人。

---

（5）

說個更實在的一點；普通人（對數(shù)學(xué)不敏感的人）之間可能很愛玩各種沒有明確概率市場的游戲。憑著感覺玩，甚至沒有具體賠率之說，雙方投入一樣規(guī)模的錢，贏了就拿走，相當(dāng)于翻倍?？墒钦嬲馁€博，真不是這樣的。

賭場是怎么盈利的？是因為給你一個49.9%概率的事情，讓你有個翻倍的機會。長期贏錢的是誰呢？當(dāng)然是他們那一方呀。跟上面描述的方式一樣，但是換了一個角度。他們并不需要開發(fā)自己的模型，只需要自己定一下規(guī)則。賭場那么多人那么多交易，隨機贏錢的人也會很多的，但是挖不起眼沒有聰明下注的人多。甚至可以說，聰明的人都不會選擇玩這種游戲（除非發(fā)現(xiàn)了某個漏洞，對某種概率判斷更加準(zhǔn)了）。因為稍微有點聰明去下注（去投資）的人，能夠算這個游戲的具體回報率和規(guī)則。

所以要理解賠率。無論什么游戲，賠率和下注利弊就是一個價格。可以直接跟概率匹配對比了。這才有了有價值無價值之說。數(shù)學(xué)超級重要。每個游戲都不一樣，但是愿意開發(fā)機會或公開這種游戲平臺的人，往往是比大多數(shù)人都更清楚詳細(xì)概率的，所以才開一些對大眾的賠率。

總之，去賭場場的99.9%的人，無論有沒有最后贏錢，也都是傻逼，因為明明都在投資負(fù)加值的東西。因為隨機因素比普通投資多了，所以很容易掩蓋一個人的計算本能。如果不相信，那也可以讓他們按照自己的邏輯繼續(xù)進行多一千倍的交易，客觀分析人家的返還率。

另外，或者更針對提問的說法是：世界上沒有人會愿意給你提供一個有利有價值的賠率。也沒人愿意跟你進行徹底隨機的游戲。除非是純玩耍性質(zhì)。他們的生意就是占你便宜。故意把規(guī)則弄得正確概率很模糊，或者很難以掌握。

說白了就是一種智商稅，欺負(fù)對概率不敏感的人。

（說現(xiàn)實，任何人平時買的任何東西，都是對買家更有力的價格，完全一樣的道理）

最搞笑的是彩票，因為你有9.99999%的概率損失一塊錢。0.00001%的概率掙一百萬塊錢?？陀^去分析這件事，都是負(fù)加值的。按概率算，投一千萬次彩票，才能掙回一百萬。但是老百姓對于這種形式的賭博，是最沒有價值概念的。誰能衡量千萬分之一和百萬回報的價值？還不如把這一塊錢花去投資任何其它賭博等產(chǎn)品，也是負(fù)價值。稍微宣傳或洗腦一下，真的很容易欺負(fù)和利用那些數(shù)學(xué)不好的大眾。

---

（6）

價值判斷，當(dāng)然就是這么重要的。

英國賭博方面最有錢的那個人，Bloom 是怎么做的？（雖然他并不喜歡公開自己的財產(chǎn)規(guī)模）。

Bloom就是在全世界范圍，比如在網(wǎng)上，看看各個運動比賽的賠率。其他公司團隊算出來的概率或賠率。然后什么時候價值高于3-5%，就直接投。而且方式很土，投資的對象次數(shù)不多，完全沒有自動化或反應(yīng)素的優(yōu)勢可言，但是他相信自己的信息，也相信他這個量化出來的模型。10%順利概率的東西（翻十倍），他認(rèn)為有13%概率，也會去投。每次投個好幾千萬，還經(jīng)常去跟中國亞洲這邊的人對賭。。。親身經(jīng)歷。能力非常過硬。他幾乎每天都是輸?shù)米疃嗷蜈A得最多的賭博客戶。但是他長期盈利幾十億英鎊，也就是這么一個原理。

必須把價值算得清清楚楚。其他方面，各種游戲，各種投資，這種用數(shù)理看待世界的人，全都是人生贏家。

他們才不會去投資這種簡單投硬幣的游戲。因為這是零價值。50%概率輸X，50%概率贏X。平均回報是零，誰還愿意?。?/p>

---

（7）

回答重點在于最后這一段。

給大家提供一個不可缺少的秘密吧。

其實很多人可能多有在統(tǒng)計課程學(xué)過，但是很少有人認(rèn)真運用。甚至完全忽略。

Kelly Criterion（凱里投注核心規(guī)則）

其實，我覺得，Kelly 一樣值得引入到投資領(lǐng)域。

因為不僅要考慮到賠率和具體價值量化匯報，也要考慮到具體下注的量。如何最高化自己多次投資的長期的財產(chǎn)增長？

K = (q - p) / (1 - p)

p 是目前的賠率（或成功下的預(yù)測回報率），比如漲五倍，那就是 20%。