文︳張新春

數(shù)論是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)問，包括初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論、丟番圖逼近論、超越數(shù)論等分支。初等數(shù)論以算術(shù)方法為主要研究手段。為了與數(shù)的四則運算這種算術(shù)進行區(qū)分，也有人把初等數(shù)論稱為高等算術(shù)。初等數(shù)論的最基本內(nèi)容一直是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。由于其概念多，概念之間的聯(lián)系緊密，并且很多時候都需要學(xué)生借助概念進行思維，對于以形象思維為主的學(xué)生來說，這部分內(nèi)容是難點。但正因為初等數(shù)論的這些特點，也使得它成為培養(yǎng)學(xué)生思維能力的絕好材料。

初等數(shù)論的研究對象主要是整數(shù)。整數(shù)指的是…，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，…。非負整數(shù)0，1，2，3，4，5，…稱為自然數(shù)，而非0自然數(shù)就稱為正整數(shù)。

整除有兩種定義方式，一種是用除法定義：如果整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），商是整數(shù)，且沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。還有一種是用乘法定義：稱一個整數(shù)a能被另一個整數(shù)b（b≠0）整除，如果存在第三個整數(shù)c，使得a=bc。

目前的教材在編寫時應(yīng)用了用乘法定義的“整除”的內(nèi)容而去掉了“整除”的名稱。比如：通過舉例2×6=12，我們把2和6都叫做12的因數(shù)，12則是6的倍數(shù)，也是2的倍數(shù)。這里就用了整除的乘法定義。

就我們習慣用除法定義整除的形式而言，若從較嚴格的角度考察，也還存在一些問題。比如最直接的是：任意兩個整數(shù)相除（當然除數(shù)不為0），都會存在一個商和一個余數(shù)（有時候為0）嗎？對確定的兩個整數(shù)而言，商和余數(shù)都是唯一的嗎？理由是什么呢？下面，我們就從較嚴格的角度考察數(shù)的整除。

如果把整數(shù)放到數(shù)軸上，那將是一些離散的點。

任何兩個整數(shù)進行加、減或乘，其結(jié)果仍是整數(shù)。這個顯然的特性，在數(shù)學(xué)上有一個專業(yè)的表述，叫做“整數(shù)集合對于加、減和乘法封閉”。但對于除法，情況就復(fù)雜一些。比如，兩個整數(shù)a，b的商b≠0），這時，商當然是有理數(shù)，但未必是整數(shù)（盡管有可能）。但如果把這個商放在數(shù)軸上，要么和某個整數(shù)重合，要么介于兩個相鄰的整數(shù)之間。兩種情況必居其一。不管出現(xiàn)哪種情況，以下表述所對應(yīng)的整數(shù)總是存在的，并且是唯一的：

不大于（可以等于），且離最近的整數(shù)。

事實上，如果本身是整數(shù)，那我們上述所指的整數(shù)就是本身：自己當然不大于自己，且離自己最近；如果不是整數(shù)，在數(shù)軸上，它一定位于某相鄰兩個整數(shù)之間，此時，其左邊那個就是。上述不大于就包括等于與小于兩種情況。

我們用一個專門的符號表示這個整數(shù)，就是[α]，這里的α可以是任意數(shù)。比如[2]=2，[-3]=-3，[π]=3，[-π]=-4。觀察以下圖示：

可以發(fā)現(xiàn)，以下的不等式是顯然成立的：[α]≤α＜[α]+1（左邊的=是考慮到α本身可能就是整數(shù)）。于是，對于任意兩個整數(shù)a，b（b≠0，在此，我們規(guī)定b＞0，這樣做的理由下面詳述），有也就是

考慮到b＞0，再乘上面的不等式，則有0≤ab[]＜b。

若記a-b]=r，則0≤r＜b，且a=b[]+r。

若用q表示這里的[]，上面的結(jié)果就是說：對任意的整數(shù)a，b（b＞0），必有兩個整數(shù)q，r，使得a=bq+r，0≤r＜b。這時，我們把q叫做a除以b的不完全商，而把r叫做a除以b的最小正剩余，也就是通常所說的余數(shù)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們習慣把a=bq+r記作以下的形式（當然，通常是在r不為0的情況下才這樣記）：a÷b=q……r。

有這種意義上的不完全商和最小正剩余的除法，就叫作帶余除法。這也說明，我們通常所謂的余數(shù)，是在整數(shù)除以整數(shù)，商也是整數(shù)的意義上說的，即一般不會說商是2.4，或余數(shù)是0.6之類。

我們之所以只考慮除數(shù)b＞0的情況，是因為如果除數(shù)b＜0的話，我們可以考慮，此時就轉(zhuǎn)化為除數(shù)大于0的情況了。

簡單地說，就是任意兩個整數(shù)相除（除數(shù)大于0），其商要么是整數(shù)，要么就可以找到一個比這個商小，但最接近這個商的整數(shù)。后一種情況下的商是不完全商，被除數(shù)減去除數(shù)與不完全商的積，得到的數(shù)是最小正剩余，即通常所說的余數(shù)，余數(shù)要比除數(shù)小。而前一種情況，就是我們所說的整除。即對于整數(shù)a和整數(shù)b（b≠0）來說，如果存在第三個整數(shù)c，使得a=bc，則稱整數(shù)a能被整數(shù)b（b≠0）整除。

如果一個整數(shù)a能被另一個整數(shù)b（b≠0）整除，我們記為b|a。顯然，對于任意的整數(shù)a，都有1|a。而對任意的b（b≠0），有b|0。對任意a≠0，有a|a。但通常不說0|0。盡管的確存在整數(shù)c，使得0=0·c。

事實上，對任意的c，上述等式都成立，也許正由于不唯一性，使得我們通常不認為0|0。不過也有例外的說法，U·杜德利在教材《基礎(chǔ)數(shù)論》中有一個練習題：“哪些整數(shù)整除零？”教材提供的答案是“所有整數(shù)”。（[美]U·杜德利.基礎(chǔ)數(shù)論[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1980）所有整數(shù)當然包括0。U·杜德利在定義整除時并沒有規(guī)定b≠0，這至少說明，承認0|0也不會出現(xiàn)邏輯上的問題。從而我們可以這樣認為，即討論0|0是否成立并不是一個本質(zhì)的問題。這個問題的答案取決于你如何定義整除。具體地說，就是你在定義整除時是否規(guī)定b≠0。不管規(guī)定b≠0還是不作這樣的規(guī)定，都能自圓其說，都不會對數(shù)學(xué)產(chǎn)生什么實質(zhì)性的影響。這也提醒我們，和小學(xué)生討論“0是不是整除0”這樣的問題是不恰當?shù)?，在小學(xué)生的作業(yè)或測試卷中出現(xiàn)這樣的問題也是沒有必要的、是不恰當?shù)?。若學(xué)生問到這類問題，可能的話，盡量把問題的相關(guān)背景告訴學(xué)生，不僅能保護學(xué)生的學(xué)習積極性，更重要的是讓學(xué)生逐步形成科學(xué)的數(shù)學(xué)觀。即逐步認識到數(shù)學(xué)“主要的應(yīng)被看成人類的一種創(chuàng)造性活動，也即是一個包含有猜測、錯誤與嘗試、證明與反駁、檢驗與改進的復(fù)雜過程”。（鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的理論與實踐[M].廣西教育出版社，2008）

在本章接下來的討論中，我們約定，若稱整數(shù)a能被整數(shù)b整除，就表明b≠0。

關(guān)于整除，以下的結(jié)論是顯然的。

若b≠0，c≠0，則

（1）若b|a，c|b，則c|a；

（2）若b|a，則bc|ac；

（3）若c|d，c|e，則對任意的m，n，有c|dm+en。

我們只證明（3）。

因為c|d，由整除的定義，存在整數(shù)g，使得d= cg。

同理，存在整數(shù)h，使得e=ch。

于是，對任意的m，n，dm+en=cgm+chn=c（gm+ hn）。即對于整數(shù)dm+en和整數(shù)c≠0，存在整數(shù)（gm+hn），使得dm+en=c（gm+hn）。

由整除的意義，上式就意味著c|dm+en。