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乘法的簡(jiǎn)便計(jì)算 靈活、合理地應(yīng)用乘法的結(jié)合律、交換律、分配律在四則運(yùn)算中進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，是我們小學(xué)生必須掌握的基本技能。做到這一點(diǎn)，既能提高運(yùn)算速度，還能提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性。 例1 簡(jiǎn)算9999×9999。 例2 72×108+108×46-（118×142-118×134） 例3 73×64+27×65 例4 用簡(jiǎn)便方法計(jì)算： 125×24 例5 不要算出結(jié)果，比較下面兩個(gè)積的大小。 A=987654321×123456789 B=987654322×123456788 1．用簡(jiǎn)便方法計(jì)算 （1）51×391÷17 ?。?）45×204-45×4 ?。?）1111111111×9999999999 ?。?）（125×74+125×26）×8 2．勝利村共有村民2308人，1992年1月至6月人均收入為804元，人均存款是189元，求該村平均每月總收入及半年存款數(shù) 2．想一想，在括號(hào)內(nèi)填上合適的數(shù)。 （1） 12345679×9=111111111 12345679×18=（ ） 12345679×（ ）=444444444 12345679×（ ）=555555555 （2） 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=（ ） 11111×11111=（ ） 3．（1）觀察下面二道算式的因數(shù)有什么特點(diǎn)？計(jì)算方法是怎樣的？ ①76×74=56 24 ②39×31=1209 （2）根據(jù)上面的計(jì)算方法直接寫(xiě)出下面各題的得數(shù)。 43×47= 84×86= 51×59= 95×95= 不完整的算式 填補(bǔ)等式
乘法中的巧算(二)
玩一玩：看誰(shuí)最會(huì)拉！ 34567×11＝？ 456789×11＝？ 5。首同 尾“補(bǔ)”的兩位數(shù)相乘 一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)叫做首數(shù)，也叫做頭； 個(gè)位數(shù)在末尾我們叫它尾數(shù)，也叫尾。如：“58”和“52”這兩個(gè)數(shù)的首位 數(shù)相同，我們稱(chēng)首同，尾數(shù)之和是“10”也叫做尾數(shù)互為補(bǔ)數(shù) 就是尾“補(bǔ)”，這樣的兩個(gè)數(shù)相乘我們的巧妙方法是：一個(gè)首數(shù)加“1”后，頭×頭，尾×尾，兩數(shù)相連就是他們的積比如：58×52 一個(gè)首數(shù)5＋1＝6 ，頭×頭＝5×6＝30 ，尾×尾＝8×2＝16 30和16寫(xiě)在一起 ，答案就是：3016 再來(lái)玩玩吧：31×39 算3×4＝12 1×9＝9因?yàn)?小于10，所以“12”和“9”相聯(lián)時(shí)，在“9”的前面要添一個(gè)“0”，結(jié)果就是1209 孩子們會(huì)玩了嗎？ 請(qǐng)孩子們自己玩一玩吧：老師相信你比爸爸媽媽都會(huì)玩！加油哦 63×67＝？ 74×76＝？ 6。尾同 首“補(bǔ)”的兩位數(shù)相乘 就是尾巴相同，首數(shù)之和是“10” 方法是：頭×頭＋尾，與尾×尾連起來(lái) 。例如：72×32 頭×頭＋尾是7×3＋2＝23 尾×尾是2×2＝4 友情提醒：因?yàn)?小于10，所以23與4相連時(shí)，記得要在“4”前面補(bǔ)一個(gè)“0"哦。答案是：2304 你會(huì)玩了嗎？ 玩一玩：但別混淆了哦！ 68×48＝？ 46×66＝？ 7.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個(gè)特殊的等式：5×2=10 25×4=100 125×8=1000 試一試：你打算怎樣算：351×4×25 誰(shuí)的眼力好！ 125×2×8×25×5×4 125×2×8×34×25×5×4 他的朋友到哪里去了？幫幫忙吧 32×25＝ 125×5×16 8.仔細(xì)觀察，怎樣算最快 865×34＋865×66 再仔細(xì)哦 39×12+39×35＋39×52+39
乘法的簡(jiǎn)便計(jì)算 靈活、合理地應(yīng)用乘法的結(jié)合律、交換律、分配律在四則運(yùn)算中進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，是我們小學(xué)生必須掌握的基本技能。做到這一點(diǎn)，既能提高運(yùn)算速度，還能提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性。 例1 簡(jiǎn)算9999×9999。 例2 72×108+108×46-（118×142-118×134） 例3 73×64+27×65 例4 用簡(jiǎn)便方法計(jì)算： 125×24 例5 不要算出結(jié)果，比較下面兩個(gè)積的大小。 A=987654321×123456789 B=987654322×123456788 1．用簡(jiǎn)便方法計(jì)算 ?。?）51×391÷17 ?。?）45×204-45×4 ?。?）1111111111×9999999999 ?。?）（125×74+125×26）×8 2．勝利村共有村民2308人，1992年1月至6月人均收入為804元，人均存款是189元，求該村平均每月總收入及半年存款數(shù) 2．想一想，在括號(hào)內(nèi)填上合適的數(shù)。 （1） 12345679×9=111111111 12345679×18=（ ） 12345679×（ ）=444444444 12345679×（ ）=555555555 （2） 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=（ ） 11111×11111=（ ） 3．（1）觀察下面二道算式的因數(shù)有什么特點(diǎn)？計(jì)算方法是怎樣的？ ①76×74=56 24 ②39×31=1209 （2）根據(jù)上面的計(jì)算方法直接寫(xiě)出下面各題的得數(shù)。 43×47= 84×86= 51×59= 95×95= 不完整的算式 填補(bǔ)等式
乘法中的巧算(二)
玩一玩：看誰(shuí)最會(huì)拉！ 34567×11＝？ 456789×11＝？ 5。首同 尾“補(bǔ)”的兩位數(shù)相乘 一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)叫做首數(shù)，也叫做頭； 個(gè)位數(shù)在末尾我們叫它尾數(shù)，也叫尾。如：“58”和“52”這兩個(gè)數(shù)的首位 數(shù)相同，我們稱(chēng)首同，尾數(shù)之和是“10”也叫做尾數(shù)互為補(bǔ)數(shù) 就是尾“補(bǔ)”，這樣的兩個(gè)數(shù)相乘我們的巧妙方法是：一個(gè)首數(shù)加“1”后，頭×頭，尾×尾，兩數(shù)相連就是他們的積比如：58×52 一個(gè)首數(shù)5＋1＝6 ，頭×頭＝5×6＝30 ，尾×尾＝8×2＝16 30和16寫(xiě)在一起 ，答案就是：3016 再來(lái)玩玩吧：31×39 算3×4＝12 1×9＝9因?yàn)?小于10，所以“12”和“9”相聯(lián)時(shí)，在“9”的前面要添一個(gè)“0”，結(jié)果就是1209 孩子們會(huì)玩了嗎？ 請(qǐng)孩子們自己玩一玩吧：老師相信你比爸爸媽媽都會(huì)玩！加油哦 63×67＝？ 74×76＝？ 6。尾同 首“補(bǔ)”的兩位數(shù)相乘 就是尾巴相同，首數(shù)之和是“10” 方法是：頭×頭＋尾，與尾×尾連起來(lái) 。例如：72×32 頭×頭＋尾是7×3＋2＝23 尾×尾是2×2＝4 友情提醒：因?yàn)?小于10，所以23與4相連時(shí)，記得要在“4”前面補(bǔ)一個(gè)“0"哦。答案是：2304 你會(huì)玩了嗎？ 玩一玩：但別混淆了哦！ 68×48＝？ 46×66＝？ 7.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個(gè)特殊的等式：5×2=10 25×4=100 125×8=1000 試一試：你打算怎樣算：351×4×25 誰(shuí)的眼力好！ 125×2×8×25×5×4 125×2×8×34×25×5×4 他的朋友到哪里去了？幫幫忙吧 32×25＝ 125×5×16 8.仔細(xì)觀察，怎樣算最快 865×34＋865×66 再仔細(xì)哦 39×12+39×35＋39×52+39 四則混合運(yùn)算 例1 120-（81+380÷19） 例2 28與4的積，減去35除以5的商，差是幾？
例3 列式并計(jì)算 ?。?）36除1728，再減去28，差是多少？ ?。?）1728除以36，再減去28，求差。 ?。?）1728縮小36倍后比28多多少？ （4）28比1728除以36的商小幾？ ?。?）把1728縮小36倍后再減去28，差是多少？ 例4 在下面的算式中添上運(yùn)算符號(hào)或括號(hào)，使它們的得數(shù)都等于100。其中，每一式子中的數(shù)字3，可以任意組成多位數(shù)，如33，333，…… 333333=100 3333333=100 33333333=100 333333333=100 3333333333=100 （1）36除1728，再減去28，差是多少？ 1728÷36－28＝20 ?。?）1728除以36，再減去28，求差。 1728÷36－28＝20 ?。?）1728縮小36倍后比28多多少？ 1728÷36－28＝20 （4）28比1728除以36的商小幾？ 1728÷36－28＝20 ?。?）把1728縮小36倍后再減去28，差是多少？ 1728÷36－28＝20 在下面的算式中添上運(yùn)算符號(hào)或括號(hào)，使它們的得數(shù)都等于100。其中，每一式子中的數(shù)字3，可以任意組成多位數(shù)，如33，333，…… 333333=100 3333333=100 33×3÷3×3+3÷3＝100 33333333=100 3333÷33－3÷3=100 333333333=100 33×3÷3×3×3÷3+3÷3＝100 3333333333=100 3333÷33－33÷33=100 年齡問(wèn)題 是一類(lèi)與計(jì)算有關(guān)的問(wèn)題，它通常以和倍，差倍或和差等問(wèn)題的形式出現(xiàn)，有些年齡問(wèn)題往往是和，差，倍數(shù)等問(wèn)題的綜合，需的加以解決。 解答年齡問(wèn)題，要靈活運(yùn)用一下三個(gè)規(guī)律： 1.無(wú)論是哪一年，兩人的年齡差總是不變的。 2.隨著時(shí)間的向前或向后推移，幾個(gè)人的年齡總是在減少或增加相等的數(shù)量。 3.隨著時(shí)間的變化，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系也會(huì)發(fā)生變化。 例1.爸爸今年43歲，兒子今年11歲，幾年后爸爸的年齡是兒子的3倍？ 例2.媽媽今年的年齡是小紅的4倍，3年前媽媽和小紅的年齡和是39歲。媽媽和小紅今年各幾歲？ 例3.今年小紅的年齡是小梅的5倍，3年后小紅的年齡是小梅的2倍，二人今年各幾歲？ 例4甜甜的爸爸今年28歲，媽媽26歲，再過(guò)幾年她的爸爸和媽**年齡和是80歲？ 例5小雨一家由小雨和她的爸媽組成。爸爸比媽媽大3歲。今年全家年齡總和是71歲，8年前年齡總和是49歲，今年3人各幾歲？ 線(xiàn)段長(zhǎng)度的總和 一條大線(xiàn)段上有若干點(diǎn)，而任意兩個(gè)點(diǎn)之間都可以認(rèn)為存在著一條線(xiàn)段，掌握了規(guī)律就很容易計(jì)算出所含線(xiàn)段的總數(shù)。 如一條線(xiàn)段包括兩個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)共有6個(gè)點(diǎn)，則包含的線(xiàn)段條數(shù)可如下計(jì)算： 5+4＋3＋2＋1＝（5＋1） ×5＋2＝15（條） 假如這6個(gè)點(diǎn)之間相鄰兩點(diǎn)的距離都知道，能不能方便地計(jì)算這15條線(xiàn)段的長(zhǎng)度總和呢？
例1 求下圖中的所有線(xiàn)段長(zhǎng)度的總和。單位：米
例2 一條大線(xiàn)段包括兩個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)共有21個(gè)點(diǎn)，它包含多少條線(xiàn)段？且知相鄰兩點(diǎn)距離都是4厘米， 那么所有線(xiàn)段長(zhǎng)度總和有多少？ 例3 下圖中有多少條線(xiàn)段？線(xiàn)段長(zhǎng)度總和為多少？圖中線(xiàn)段上相鄰兩點(diǎn)都相距5厘米。
1．下圖中的線(xiàn)段長(zhǎng)度總和是多少？單位：厘米
2．一條大線(xiàn)段上有9個(gè)點(diǎn)（包括兩頭的端點(diǎn)），相鄰兩點(diǎn)距離都是10厘米。它包含多少條線(xiàn)段？所有線(xiàn)段長(zhǎng)度總和有多少？ 3.圖7－5中，每條線(xiàn)段上相鄰兩點(diǎn)之距離都是8厘米。求各圖中所有線(xiàn)段長(zhǎng)度總和。
4．求下圖中包含的各個(gè)角的角度總和。
數(shù)長(zhǎng)方形 例1 下圖中包含多少個(gè)長(zhǎng)方形？ 位值原則 例一 一個(gè)兩位數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字掉換位置以后得到一個(gè)新的數(shù)，請(qǐng)問(wèn)這兩個(gè)數(shù)的差與數(shù)中的兩個(gè)數(shù)字有什么關(guān)系？ 例二 一個(gè)三位數(shù)，它的百位數(shù)字與個(gè)位掉換位置以后得到一個(gè)新的數(shù)，請(qǐng)問(wèn)這兩個(gè)三位數(shù)數(shù)的差與數(shù)中掉換的兩個(gè)數(shù)字有什么關(guān)系？ 例三 一個(gè)三位數(shù)，各位上數(shù)字的和為15，百位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小5；如果把個(gè)位和百位數(shù)字對(duì)調(diào)，那么得到的新數(shù)比原數(shù)的3倍小39。求原來(lái)的這個(gè)三位數(shù) 例四 一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位上是2，如果把這個(gè)數(shù)的個(gè)位上與百位上數(shù)字調(diào)換，原數(shù)就比新數(shù)的2倍多52。求這個(gè)數(shù)。 練習(xí) 1．有一個(gè)六位數(shù)，它的個(gè)位上數(shù)字是6，如果將6移至第一位前面時(shí)，所得到的新的六位數(shù)是原數(shù)的4倍，那么這個(gè)六位數(shù)是多少？ 2．一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)字是4，如果將這個(gè)數(shù)的個(gè)位上數(shù)字與百位上數(shù)字調(diào)換，則得到的新數(shù)比原數(shù)小297，原數(shù)是多少？ 3．一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)字是5，如果將個(gè)位上數(shù)字移作百位上數(shù)字，百位上數(shù)字移作十位上數(shù)字，十位上數(shù)字移作個(gè)位上數(shù)字，那么所成的新數(shù)比原數(shù)大342。原數(shù)是多少？ 4．一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上數(shù)字的2倍，如果把個(gè)位上數(shù)字與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，那么，所得的兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)小36，原來(lái)的兩位數(shù)是多少？ 5．一個(gè)三位數(shù)，十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字大2，個(gè)位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字大5，這個(gè)數(shù)在450至500之間。這個(gè)數(shù)是多少？
四年級(jí)上學(xué)期奧數(shù)班測(cè)試題（歸一、歸總、年齡、盈虧問(wèn)題） 1、某校安排宿舍，如果每間6人，則16人沒(méi)有床位；如果每間8人，則多出10個(gè)床位。問(wèn)宿舍有多少間？學(xué)生有多少人？（10分） 2、小明今年10歲，父親38歲，再過(guò)多少年后父親的年齡正好是小明年齡的3倍？（12分） 3、修一條公路，原計(jì)劃60人工作，80天完成?，F(xiàn)在工作20天后，又增加了30人這樣剩下的部分再用多少天可以完成？（14分） 4、媽媽今年的年齡是女兒的4倍，3年前，媽媽和女兒的年齡和是39歲。問(wèn)媽媽、女兒今年各是多少歲？（12分） 5、用繩子測(cè)量井深。如果把繩子三折垂到水面，余7米；如果把繩子5折垂到水面，余1米。求繩長(zhǎng)與井深。（12分） 6、修一條路，5人6天可以鋪300米，照這樣的速度，120人40天才能全部修完。由于工作需要，調(diào)走了20人，而每天每人要多鋪5米，這樣全程可提前幾天修完？（14分） 7、小紅家買(mǎi)來(lái)一籃橘子，分給全家人。如果其中兩人每人分3只，其余每人分2只，就多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺14只。問(wèn)：小紅家買(mǎi)來(lái)多少只橘子？小紅家共有幾人？（14分） 8、有甲、乙兩隊(duì)少先隊(duì)員去春游，甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的2倍。從甲隊(duì)調(diào)出10人到乙隊(duì)后，甲隊(duì)仍比乙隊(duì)多5人。甲隊(duì)原有多少人？（提示：畫(huà)線(xiàn)段圖分析）（12分） 數(shù)的數(shù)字和
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巧算面積（四年級(jí)） 巧解算式謎 算式謎是一類(lèi)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用我們學(xué)過(guò)的運(yùn)算法則，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行推理和判斷。下面結(jié)合教材中的幾個(gè)例題和同學(xué)們談一談如何巧妙地解答這類(lèi)問(wèn)題。 例1.在□里填上合適的數(shù)字。（九義六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊(cè)106頁(yè)）
解答這道題要運(yùn)用除法的運(yùn)算法則和乘、除法各部分間的關(guān)系。觀察可知：由商的最高位與除數(shù)個(gè)位6相乘的末位是2，根據(jù)乘法口訣可以判定商的最高位是2或7，又有商的最高位與除數(shù)□6相乘的積與400相接近，可以進(jìn)一步判定商的最高位只能是7。根據(jù)除數(shù)□6和7相乘積的首位是4，可以確定除數(shù)的十位是6，想一想，為什么？再看，由商的左起第二位和除數(shù)66相乘積的末位是4，根據(jù)乘法口訣可推出商的左起第二位是4或9，通過(guò)觀察可以看出：商的左起第二位和除數(shù)66相乘積的最高位不可能超過(guò)3，所以商的左起第二位只能是4。最后，根據(jù)除數(shù)和第三次被除的數(shù)很容易得出商的第三位是1。這樣把算式填完整就是：
從這道題可以看出先知道運(yùn)算法則還不夠，必須在適當(dāng)推理的基礎(chǔ)上進(jìn)行嘗試和驗(yàn)證，才能把算式補(bǔ)充完整。 有時(shí)算式中的□可以用字母或文字來(lái)代替。如： 例2：在右面的豎式中，a、b、c、s各代表什么數(shù)字？（九義六年制小學(xué)第九冊(cè)104頁(yè)）
我們先從整體上來(lái)分析，這是一道被乘數(shù)是四位數(shù)，乘數(shù)是9，積也是一個(gè)四位數(shù)的乘法豎式題；而且乘積各位上的數(shù)字的排列順序恰恰與被乘數(shù)各位上數(shù)字的排列順序相反。在這道題中哪一位上的數(shù)字是解題的突破口呢？因?yàn)槌藬?shù)是9，而且乘積與被乘數(shù)同是四位數(shù)，所以被乘數(shù)千位上a的范圍馬上便可確定了。 ?。?）a取什么數(shù)字，根據(jù)上面的分析可知：a＝1，這時(shí)算式變成：
?。?）s取什么數(shù)字，根據(jù)（1）的分析可知s×9的個(gè)位數(shù)是1，只有9×9＝81，所以s＝9。
當(dāng)然也可以由算式中的乘積觀察，乘積是四位數(shù)，說(shuō)明乘積千位上不可能向萬(wàn)位進(jìn)1，而被乘數(shù)的千位是1，乘數(shù)是9，所以s=9，這樣算式變成： ?。?）b取什么數(shù)字，因?yàn)樗闶街谐朔e的百位不能向千位進(jìn)位，否則乘積就該是五位數(shù)。所以b＜2，又因a=1，b只能取0， 則算式變成：
?。?）c取什么數(shù)字，由算式可以看出：c×9的個(gè)位應(yīng)取2，而只有8×9=72，所以c=8。最后算式變成：
從巧解運(yùn)算式謎的過(guò)程中可以看出，在分析時(shí)要從整體上把握題目，注意題目間的聯(lián)系，才能作出正確的判斷推理。 下面這道題會(huì)算嗎？試試看！ 求出豎式中a、t、v、s各代表什么數(shù)字。
?。ň帕x六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第九冊(cè)116頁(yè)） 加法原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 從甲城到乙城，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)，還可以坐輪船，一天中火車(chē)有4班，汽車(chē)有3班，輪船有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲城到乙城，共有多少種不同的走法？ 分析：我們把乘坐不同班次的火車(chē)、汽車(chē)、輪船稱(chēng)為不同的走法。一天中乘火車(chē)有4種走法，乘汽車(chē)有3種走法，乘輪船有2種走法。每種走法都可以從甲城到乙城，所以一天中從甲城到乙城只有4＋3＋2=9（種）不同走法。 總結(jié)以上規(guī)律得到加法原理：如果完成一件任務(wù)有幾類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同方法……，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同方法。那么完成這件任務(wù)共有N＝m1＋m2＋m3＋……＋mn種不同的方法。 再看下面兩例： 例1 一個(gè)口袋中裝有8個(gè)小球，另一個(gè)口袋中裝有5個(gè)小球，所有這些小球的顏色各不相同。從兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球，共有多少種不同的取法？ 分析：在兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球有兩類(lèi)辦法，第一類(lèi)辦法是從裝有8個(gè)小球的口袋中任取一個(gè)，可以有8種取法。第二類(lèi)辦法是從裝有5個(gè)小球的口袋中任取一個(gè)，可以有5種取法。根據(jù)加法原理，得到不同取法的種數(shù)是N=5＋4=9（種） 答：從兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球可以有9種不同的取法。 例2 如圖從甲村到乙村有2條路可走，從乙村到丙村有3條路可走， 從甲村到丙村有4條路可走，問(wèn)甲村到丙村共有多少種不同的走法？ 分析：從甲村到丙村可按兩類(lèi)辦法完成，第一類(lèi)辦法是從甲村經(jīng)過(guò)乙村到達(dá)丙村，這類(lèi)辦法是分兩個(gè)步驟進(jìn)行的：第一步從甲村到乙村有2種走法；第二步由乙村到丙村有3種走法，這兩步缺一不可，根據(jù)乘法原理，這類(lèi)辦法中共有2×3＝6（種）走法。第二類(lèi)辦法是從甲村直接到達(dá)丙村，有4種走法，于是根據(jù)加法原理得到從甲村到達(dá)丙村的不同走法的種數(shù)是N＝2×3＋4＝10（種）。 答：從甲村到達(dá)丙村共有10種不同的走法。 練習(xí)： 1.書(shū)架上有6種不同的語(yǔ)文書(shū)、5本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，8種不同的故事書(shū)，從這三種書(shū)中任選一本，共有多少種不同的取法？ 2.用0、1、2、3四個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)能被3整除的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（參考答案：1.19種 2.10個(gè)） 合理分類(lèi) 正確解題 在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有一類(lèi)被稱(chēng)作“數(shù)字問(wèn)題”的題目，與同學(xué)們?cè)跁?shū)本上學(xué)到的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題相比，似乎“不太規(guī)則”，有的數(shù)學(xué)課外參考書(shū)稱(chēng)它為“雜類(lèi)問(wèn)題”。解答這類(lèi)題目要求同學(xué)們要認(rèn)真審題，悉心研究題意，關(guān)鍵是做到合理分類(lèi)，這樣才能正確解題。 例1 在1～1999內(nèi)，是3的倍數(shù)，不是5的倍數(shù)的數(shù)一共有多少個(gè)？為什么？ [分析與解]這道題要求3的倍數(shù)有多少個(gè)，但有兩個(gè)條件限制：（1）規(guī)定在1～1999內(nèi)；（2）只是3的倍數(shù)，但不是5的倍數(shù)。比如：3×5=15，15是3的倍數(shù)，但它同時(shí)又是5的倍數(shù)，不符合題目要求，所以在1999內(nèi)，15以及15的倍數(shù)都不能算進(jìn)去。這樣在1～1999內(nèi)就把3的倍數(shù)分為兩類(lèi)：一類(lèi)是3的所有倍數(shù)；一類(lèi)是15以及15的倍數(shù)。然后從3的所有倍數(shù)的個(gè)數(shù)中減去15以及15的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，即為題目所求的問(wèn)題。有三種解法： 解法（一） 在1～1999內(nèi)3的倍數(shù)共有：1999÷3=666……1。余1，不到3的1倍，可以不考慮。在1～1999內(nèi)15的倍數(shù)共有：1999÷15=133……4。余4，不到15的1倍，也不考慮。兩者相減，便是所求的問(wèn)題：666-133=533（個(gè)）。 解法（二） 在1～1999內(nèi)3的倍數(shù)共有666個(gè)，那么，666中又包含多少個(gè)5的倍數(shù)呢？666÷5=133……1。余1，比5小，可以不考慮。兩者相減，便是所求的問(wèn)題：666-133=533（個(gè)）。 解法（三） 把數(shù)字分段來(lái)考慮：比如在1～30中，3的倍數(shù)有10個(gè)，但要去掉同時(shí)能被3、5整除的數(shù)2個(gè)，還剩10-2=8（個(gè)）。1999÷30=66……19。余數(shù)19，19÷3=6……1。余數(shù)1比3小，不考慮，但要注意，在最后的6個(gè)3的倍數(shù)中，有一個(gè)是5的倍數(shù)（1995），應(yīng)去掉。每段8個(gè)，共有：8×66+（6-1）=533（個(gè)）。 例2 43位同學(xué)，他們身上帶的錢(qián)從8分到5角，錢(qián)數(shù)都各不相同，每個(gè)同學(xué)都把身上帶的全部錢(qián)各自買(mǎi)了畫(huà)片，畫(huà)片只有兩種，3分一張和5分一張，每人都盡量多買(mǎi)5分一張的畫(huà)片。問(wèn)所買(mǎi)的3分畫(huà)片的總數(shù)是多少?gòu)垼?/font> [分析與解]先來(lái)分析一下題目的要求： ?。?/font>1）從8分到5角就是以“分”為單位，從8到50的43個(gè)連續(xù)自然數(shù)，這正好與43個(gè)同學(xué)一一對(duì)應(yīng)。 ?。?/font>2）每個(gè)同學(xué)都把身上帶的全部錢(qián)各自買(mǎi)畫(huà)片，就是每人都不許有余錢(qián)。 ?。?/font>3）每人既要把錢(qián)花光，又要盡量多買(mǎi)5分一張的畫(huà)片。 我們把錢(qián)數(shù)是5的倍數(shù)（0、15、20、25、30、35、40、45、50）的九個(gè)人分為一類(lèi)。他們不能買(mǎi)3分一張的畫(huà)片。 錢(qián)數(shù)被5除余3分（8、13、18、23、28、33、38、43、48）的九個(gè)人分為另一類(lèi)。他們可以買(mǎi)1張3分的畫(huà)片，9人共買(mǎi)9張。 錢(qián)數(shù)被5除余1分（11、16、21、26、31、36、41、46）的八個(gè)人分為第三類(lèi)。因?yàn)樗麄兩砩纤嗟腻X(qián)數(shù)不是3的倍數(shù)，只好退下一個(gè)5分與余數(shù)1分合成6分，這樣每人可以買(mǎi)2張3分畫(huà)片，8人共買(mǎi)：2×8=16（張）。 用同樣的方法，把錢(qián)數(shù)被5除余2分的8個(gè)人再分為一類(lèi)，每人可買(mǎi)3分畫(huà)片4張，共買(mǎi)：4×8=32（張）。 把錢(qián)數(shù)被5除余4分的9個(gè)人也分為一類(lèi)，他們每人可買(mǎi)3分畫(huà)片3張，共買(mǎi)：3×9=27（張）。 因此，他們所買(mǎi)3分畫(huà)片的總數(shù)共是： 9+16+32+27=84（張）。 簡(jiǎn)單的倍數(shù)問(wèn)題 小朋友們，你見(jiàn)過(guò)關(guān)于倍數(shù)的問(wèn)題嗎？那么，你知道什么是倍數(shù)問(wèn)題嗎？倍數(shù)問(wèn)題是指已知一個(gè)數(shù)或者幾個(gè)數(shù)的和（差）及相互之間的倍數(shù)關(guān)系，求其中一個(gè)數(shù)或者幾個(gè)數(shù)的問(wèn)題。它包括求1倍數(shù)或幾倍數(shù)問(wèn)題、和倍問(wèn)題、差倍問(wèn)題等?，F(xiàn)在我們就來(lái)學(xué)習(xí)這三類(lèi)比較簡(jiǎn)單的倍數(shù)問(wèn)題。 典型例題 一、 求1倍數(shù)或幾倍數(shù) 例【1】 果園有蘋(píng)果樹(shù)1200棵，梨樹(shù)的棵數(shù)比蘋(píng)果樹(shù)的2倍多80棵。梨樹(shù)有多少棵？ 分析 根據(jù)題意，可以畫(huà)出線(xiàn)段圖：
解 1200×2＋80 ＝2400＋80 ＝2480（棵） 答：梨樹(shù)有2480棵。 例【2】 果園有梨樹(shù)2480棵，梨樹(shù)的棵數(shù)比蘋(píng)果樹(shù)的2倍多80棵。蘋(píng)果樹(shù)有多少棵？ 分析 根據(jù)題意，可以畫(huà)出線(xiàn)段圖：
解 （2480－80）÷2 ＝2400÷2 ＝1200（棵） 答：蘋(píng)果樹(shù)有1200棵。 小結(jié) 解答求1倍數(shù)或幾倍數(shù)的問(wèn)題時(shí)，特別要注意分清是屬于求幾倍數(shù)的題，還是求1倍數(shù)的題。求幾倍多幾或幾倍少的量，都要先求出幾倍數(shù)，然后再加或減，即先乘再加或減。反之，已知幾倍多幾或幾倍少幾的量，而求1倍數(shù)，應(yīng)先減或加，求出幾倍的對(duì)應(yīng)量，再除以倍數(shù)。 二、 和倍問(wèn)題 例【3】 學(xué)校圖書(shū)館有科技書(shū)和文藝書(shū)共2400本，文藝書(shū)的本數(shù)是科技書(shū)的4倍。兩種書(shū)各有多少本？ 分析 根據(jù)題意，可以畫(huà)出下面線(xiàn)段圖：
從圖中可以看出，把科技書(shū)的本數(shù)作為1倍數(shù)，文藝書(shū)的本數(shù)就是它的4倍，那么2400本就相當(dāng)于科技書(shū)本數(shù)的（1＋4）倍，由此可以先求出科技書(shū)的本數(shù)，然后再求出文藝書(shū)的本數(shù)。 解 科技書(shū)的本數(shù)： 2400÷（1＋4） ＝2400÷5 ＝480（本） 文藝書(shū)的本數(shù)： 480×4＝1920（本） 或2500－480＝1920（本） 以上解答對(duì)不對(duì)呢？可以檢驗(yàn)嗎？ 檢驗(yàn)：1920＋480＝2400（本）……和 1920÷480＝4……倍數(shù) 答：科技書(shū)有480本，文藝書(shū)有1920本。 例【4】 體育室有足球和籃球共76只，足球的只數(shù)比籃球的3倍還多4只，足球和籃球各有多少只？ 分析 把籃球的只數(shù)看作1份，那么足球的只數(shù)就相當(dāng)于籃球的3份還多4只。足球和籃球共76只，可以看作籃球的4份就是76－4＝72（只），這樣籃球的只數(shù)是; （76－4）÷（3＋1）＝18（只） 足球的只數(shù)有兩種方法求得： 一種方法是知道足球和籃球共76只，籃球18只?？汕蟪鲎闱虻闹粩?shù)：76－18＝58（只） 另一種方法是知道足球的只數(shù)比籃球的3倍多4只，籃球18只，可求出足球的只數(shù)：18×3＋4＝58（只）
例【5】 兩箱雞蛋共重72千克，如果從第一箱取出13千克放入第二箱，那么第二箱雞蛋的重量是第一箱的2倍。原來(lái)第一箱和第二箱各有雞蛋多少千克？ 分析 不管是從第一箱取出雞蛋放入第二箱，還是從第二箱取出雞蛋放入第一箱，兩箱雞蛋的總重量為72千克，當(dāng)從第一箱取出13千克放入第二箱后，第二箱雞蛋的重量是第一箱的2倍時(shí)，第一箱雞蛋的重量是72÷（2＋1）＝24千克，原來(lái)第一箱雞蛋重量就是：72÷（2＋1）＋13＝37（千克） 原來(lái)第二箱雞蛋的重量就是：72－37＝35（千克） 小結(jié) “和倍問(wèn)題”的特點(diǎn)是：已知兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少。解答時(shí)，我們采用代換的思路，用1倍數(shù)去代替幾倍數(shù)，看和相當(dāng)于1倍數(shù)的幾倍，即除以幾，先求出1倍數(shù)，然后再求出幾倍數(shù)。解題公式是： 和÷（倍數(shù)＋1）＝1倍數(shù) 1倍數(shù)×幾倍＝幾倍數(shù) 或 和－1倍數(shù)＝幾倍數(shù) |
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