女兒上幼兒園小班后，想讓她早點學習下加減法。

和大部分孩子一樣，也是從掰手指開始學習計算的。數(shù)了近 1 個月手指后，有天晚上要求不用手指，嘗試下口算。
″1 2 是多少？″
″3″
″那 2 3 呢？″
女兒想了想回答說：″5 ″
不錯，充滿期待。
″3 4 呢？″
孩子脫口而出：″5″
……

淚奔之后，還得打起精神繼續(xù)教。

不過，同時發(fā)現(xiàn)，很多孩子都會卡在加減法這一關(guān)。
那是不是孩子年齡沒到，還是真沒數(shù)學天分呢，其實不必過于擔心，因為這一關(guān)本來就沒有你想得那么容易。

為什么女兒會毫不遲疑地得出一個錯誤答案呢？
這其實與心理學家維果斯基提出的″最近發(fā)展區(qū)″有關(guān)。維果斯基認為學生的發(fā)展有兩種水平：
一種是學生的現(xiàn)有水平，即獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是學生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)。

最后一個問題已超出了女兒當時的能力。
但為何她會回答的那么迅速呢。因為 2 3 在其能力范圍內(nèi)，愿意付出努力。而 3 4 她根本不知道從何入手，又何必為其費力，不如就隨便猜個數(shù)吧。和我們做單選題一樣，不知道答案就隨便蒙一個。

這個階段的孩子還是在用具體的實物點數(shù)解題。如 2 3，可能會在腦中想象為 2 個蘋果加 3 個蘋果，然后是點數(shù)：1、2、3、4、5，結(jié)論是 5 個蘋果。對于 5 以下的計算，具象思維就已足夠?？蓪τ?3 4 或者 5 6，數(shù)量一多，在腦中要操作具象的點數(shù)就沒那么簡單了。

既然是能力不足，那該怎么辦？

有的家長會說與其強求，不如等待，孩子大些了自然會懂，這也沒錯。不過，如果家長適當?shù)奶峁椭軒椭⒆釉凇遄罱l(fā)展區(qū)″中盡快上一臺階。

于是暗下決心，在對照了多本教材后，發(fā)現(xiàn)新加坡數(shù)學一年級的教法還是比較合適的。
相比國內(nèi)有的教材從數(shù)學拆合啟蒙，新加坡數(shù)學啟蒙側(cè)重理解加減概念和相關(guān)策略。

數(shù)軸，加法從這里起步

比如還是 3 4，先選擇其中較大的數(shù) 4。
從 4 開始再往后數(shù) 3 個數(shù)（較小的數(shù)）。
4、5、6、7，所以答案就是 7。

減法同樣依據(jù)數(shù)軸，但根據(jù)數(shù)字的不同，分為 2 種方式。
① 一個大數(shù)減一個較小的數(shù)，如 9-2，采用倒數(shù)的方式，從 9 開始，9、8、7，答案是 7。
② 對于兩個相近的數(shù)，如 9-7，則采用加法的方式，從 7 開始數(shù)，7、8、9，因為 7 后數(shù)了 2 個數(shù)，因此答案是 2。

新加坡數(shù)學的方式，算法直接依賴數(shù)軸，每次計算都能幫助孩子加深對加減本質(zhì)的認識。
孩子也會有自信心，第一次發(fā)現(xiàn)加減原來并不難，即便不會進退位算法，但只要能數(shù)的正確，他們同樣可以應付兩位甚至三位的加減題。
從計算量看，雖然只是簡單的將點數(shù)改為了數(shù)數(shù)，但因需要操作的數(shù)量相對減少，心算能力也會有明顯提升。

啟用新加坡數(shù)學后，進展順利。但此方法的局限開始慢慢顯現(xiàn)，畢竟一來不容易操作較大的數(shù)字，二來僅依賴該方法，很難在短期內(nèi)達到抽象思維。

幾個月后，為了應對進位加法，決心還是采用大多數(shù)教材的通用教法，拆數(shù)湊十。于是從湊十口訣開始。

1919好朋友，2828手拉手，3737真親密，4646一起走，5555一雙手。

背熟了口訣，下一步就是教如何拆數(shù)湊十。

有天，我拿出一個題目：4 8=？
沒等我開口，就聽女兒開始嘀咕。
″4 8=4 3 5，4 3=7，7 5=2 5 5，5 5=10，所以答案是12?！?br>很納悶，她怎么會自己想出這么個進位算法的？

算籌，一個厲害的半具象工具

當時女兒熟練雖然掌握了點數(shù)和數(shù)數(shù)，能應付簡單的計算，但仍處于具象運算階段，利用數(shù)字直接進行抽象運算的能力尚弱。再說，像 8 8 這樣，要準確數(shù)數(shù)也并不容易。

從具象運算過渡到抽象運算，期間最好增加一個半具象的過程。而我國古代所采用的算籌，就是半具象的最好工具，也是算盤的前身。
在古代就是一把刻得整齊的竹棍，用算籌表示數(shù)，在縱式中，縱擺的每根算籌都代表 1，表示 6~9 時，則上面擺一根橫的代表 5。

算籌兼具了具象和抽象的特點。
抽象，是因為每個數(shù)字都對應了一個特定的擺放方式，可以像 8、八、eight 一樣實現(xiàn)數(shù)字與符號的一一對應。
同時算籌也是具象的，4 就是 4 根竹棍，6 就是 5 1 根竹棍，可以直接用于點數(shù)計算。正是算籌這種半具象的特點，孩子能很快突破抽象思維。

用算籌作媒介后，計算難度會明顯下降，女兒的進度再次加快。

但每種工具都有盲點，算籌也不例外，比如上述的 4 8，用算籌只能轉(zhuǎn)化為 4 3 5，還是不能立即得出答案。
這也是我當時準備教女兒湊十法的原因，畢竟將 4 拆成 2 2，4 8=2 2 8，僅用一次拆分就能完成計算。

但女兒可能想不了這么多，她不過是將題目看成算籌的拆合游戲看待。先將 8 拆成 3 5，看不出答案，那就再將 4 和 3 組合成 7。7 還可拆成 2 5，這時發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)了能力范圍內(nèi)的 5 5=10，于是順利完成。

在那個階段，算籌充當了女兒的學步車，擁有抽象思維能力后，對算籌的依賴度逐漸越來越低。
短短幾個月，女兒學會了 20 內(nèi)的加減。

既然最難的第一步已成功突破，再攻克多位數(shù)加減，就不是大難題了。

位值，豎式算法的基礎(chǔ)

多位數(shù)加減，傳統(tǒng)的豎式計算最為簡便高效。豎式是程序性算法，步驟記憶是關(guān)鍵。
經(jīng)過一個多星期的折騰，基本學會了豎式計算，一個多月后已能應對三位數(shù)的加減。

不過沒想到的是，有一個月因為重心轉(zhuǎn)向?qū)W英語，沒有再練習，等回過頭再練習時發(fā)現(xiàn)各種錯誤，和沒學一樣。
原來，傳統(tǒng)豎式，雖高效簡潔，不過不方便理解。另外，女兒年齡小，認知也不足，因為面對多位數(shù)加減，既需要運用位值原理，又考驗計算能力，還要牢記豎式解題步驟。任何一方面的基礎(chǔ)不穩(wěn)，都容易產(chǎn)生各種錯誤。

既然豎式算法刷題也不管用，決定不如將多位數(shù)加減的目標，拆解成小任務，降低學習難度。

隨后，我?guī)捉?jīng)反復，選擇了美國 UCSMP 的小學數(shù)學教材-Everyday Mathematics和相應練習冊。
美國數(shù)學教學進度不快，直到 3 年級才出現(xiàn)豎式計算。可其對于基本概念相當重視，所有概念都有反復的單項訓練，而這正是女兒所需要的。

正確計算的關(guān)鍵，在于位值原理的掌握和基本的數(shù)字運算。位值的特點，是同一個數(shù)字由于它所在的位置不同而表示不同的值。例如在 Everyday Mathematics 中，位值的題目包括下面兩種形式。
① 456 中的 4、5、6 的數(shù)值各是多少。
② 個位為 1，百位為 5，十位為 0 的數(shù)是哪個。

經(jīng)過數(shù)月的專項訓練，女兒的位值概念漸漸清晰，女兒的心算能力慢慢提升。不依賴豎式，也能口算完成大部分加減題目。
還會用類比方法解題，從 2 位到 3 位，再到 4 位加減，基本都能在沒有例題的情況下，依靠原有知識獨立推斷完成。

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終于，可以長嘆一口氣啦，掌握加減法并不容易。
父母在遇到問題時，不妨多試試有沒有更合理、更簡單的方式幫助孩子，有時，合理的方法和堅持同等重要。
教育之路，就是不斷出現(xiàn)問題，解決問題的過程吶。