來源：節(jié)選自《工程非線性振動》

作者：聞邦椿

非線性方程式的解與線性方程式的解在物理方面有本質(zhì)的區(qū)別， 主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

杜芬方程，即恢復(fù)力含有位移的三次方項(xiàng)的非線性方程，其固有頻率的近似值為：

對于分段線性的非線性系統(tǒng)，其固有頻率為：

或

從上面兩個式子可看出， 對于裝有硬彈簧的硬式非線性振動系統(tǒng)，固有頻ω隨振幅A的增大而增加； 而對于裝有軟彈簧的軟式非線性系統(tǒng)，固有頻率隨振幅A的增大而減小。圖1表示固有頻率與振幅的關(guān)系曲線。曲線1所示的是固有頻率ω隨振幅的增大而增加； 曲線2所示的是固有頻率隨振幅的增大而減??； 而直線3是線性振動系統(tǒng)的固有頻率，它是一個常量， 不隨振幅的變化而變化。

圖1 固有頻率與振幅的關(guān)系曲線

假如對某振動系統(tǒng)進(jìn)行振幅逐漸減小的衰減試驗(yàn)，測出其振動位移與時(shí)間的關(guān)系曲線，若當(dāng)振幅減小時(shí)，振動周期T隨振幅的減小而減小，則為硬式非線性系統(tǒng)；若振動周期隨振幅的減小而增大，則為軟式非線性系統(tǒng)；若振動周期不隨振幅大小而變化則為線性振動系統(tǒng)。如圖2所示，左圖為硬式非線性振動系統(tǒng)的試曲線，而右圖為軟式非線性的振動曲線。

圖2 試驗(yàn)得出的振動曲線

非線性振動系統(tǒng)的共振曲線，即振幅與頻率關(guān)系曲線(幅頻曲線)和相位與頻率的關(guān)系曲線(相頻曲線)和線性振動系統(tǒng)有本質(zhì)的區(qū)別。圖3中的a，b和c分別示出 在簡諧干擾力作用下硬式和軟式非線性系統(tǒng)的幅頻曲線及相頻曲線。

圖3  非線性振動系統(tǒng)的幅頻曲線與相頻曲線

a.)  幅頻曲線； b ) 相頻曲線

對于杜芬方程所示的非線性系統(tǒng)， 其一次近似解可由下式所示。

對于分段線性的非線性振動系統(tǒng)，其一次近似解可表示為：

如果阻力系數(shù)c很小，相位差角：

此時(shí)上式成為：

按照上式，可畫出f(e/A)與e/A的關(guān)系曲線，當(dāng)f(e/A)=0時(shí)，可求出上述代數(shù)方程的解。

由圖3a看出，共振曲線的頭部向右傾斜，此曲線為硬式非線性系統(tǒng)的共振曲線；圖3b所示的共振曲線的頭部向左傾斜，此曲線為軟式非線性系統(tǒng)的共振曲線。

對于非線性系統(tǒng)， 如果我們使激振力幅保持不變，而緩慢地增加激振頻率， 振動系統(tǒng)的振幅將沿著圖4箭頭所示的方向逐漸增大，當(dāng)增加至最大值時(shí)，將會出現(xiàn)降幅跳躍，接著振幅將逐漸減小。

反之，逐漸減小振動頻率，振幅將漸漸增大，增至某一點(diǎn)之后，又會出現(xiàn)增幅跳躍，此后，振幅將逐漸減小。

這種跳躍現(xiàn)象在線性振動系統(tǒng)中是不可能出現(xiàn)的。

由圖4看出，返回過程的跳躍總是落后于前進(jìn)過程的跳躍。這種現(xiàn)象，我們稱它為滯后現(xiàn)象，這種滯后現(xiàn)象在線性振動系統(tǒng)中也是不會出現(xiàn)的。

圖4  強(qiáng)迫非線性振動系統(tǒng)出現(xiàn)的跳躍現(xiàn)象和滯后現(xiàn)象

a) 硬式非線性振動系統(tǒng)的幅頻曲線；b) 軟式非線性振動系統(tǒng)的幅頻曲線；c) 非線性振動系統(tǒng)的相頻曲線

在簡諧干擾力作用下的非線性振動系統(tǒng)，共振曲線中有穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)。共振曲線上的兩次跳躍之間的線段是不穩(wěn)定的，而其它部分的線段是穩(wěn)定的。對于線性振動系統(tǒng)，當(dāng)阻尼為正時(shí)，振動通常是穩(wěn)定的。當(dāng)阻尼為零時(shí)，僅在共振條件下振動是不穩(wěn)定的。

圖5 非線性振動系統(tǒng)共振曲線上的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)

在簡諧激振力作用下的非線性系統(tǒng)，其強(qiáng)迫振動不一定是簡諧振動，其響應(yīng)的波形通常由各次諧波組成，這些波形除了與激振力頻率相同的諧波外，還含有頻率為激振頻率Ω的幾分之一，即頻率Ω/n為的次諧波響應(yīng)及頻率為激振頻率Ω的整數(shù)倍，即頻率mΩ為的超諧波響應(yīng)(n，m為正整數(shù))。

次諧波振動和超諧波振動在性質(zhì)上有兩點(diǎn)不同，即

• 超諧波響應(yīng)在一般的非線性系統(tǒng)中或多或少是存在的，而次諧波響應(yīng)則只在一定條件下才產(chǎn)生。

  
  

• 當(dāng)系統(tǒng)中存在阻尼時(shí)，阻尼只影響超諧波振動的振幅，但對于次諧波振動，只要阻尼大于某一定值，就會阻止次諧波振動的出現(xiàn)。

由于存在次諧波與超諧波振動，非線性系統(tǒng)共振頻率的數(shù)目將多于系統(tǒng)的自由度。

當(dāng)激振頻率接近于系統(tǒng)固有頻率的整數(shù)倍，例如等于固有頻率的3倍時(shí)，該系統(tǒng)將出現(xiàn)振幅較大的而頻率等于固有頻率的次諧波共振；而當(dāng)激振頻率接近系統(tǒng)固有頻率的幾分之一，例如三分之一時(shí)，則該系統(tǒng)將出現(xiàn)振幅較大的其頻率等于固有頻率的超諧波共振。

圖6  非線性振動系統(tǒng)的次諧波振動與超諧波振動

作為例子，某系統(tǒng)作用有兩個激振力為F1cosΩ1t和F2cosΩ2t，則該系統(tǒng)不僅會出現(xiàn)頻率為Ω1，Ω2，2Ω1，2Ω2，3Ω1，3Ω2，···，而且會出現(xiàn)頻率等于兩個激振頻率之和或之差的組合頻率的振動，即

例如：|Ω1±Ω2|，|2Ω1±Ω2|，|Ω1±2Ω2|等。

在某些情況下，組合頻率的振動較其它頻率的振動要多得多，現(xiàn)在我們舉例說明組合頻率振動的產(chǎn)生過程。

假設(shè)某一非線性振動系統(tǒng)作用有兩個頻率的激振力，其運(yùn)動微分方程式如下：

方程的一次近似解為：

代入以上方程：

我們可以利用以下三角函數(shù)表示上式的右邊部分

將這些項(xiàng)代入前式，我們可以求出含有以下各種頻率的振動響應(yīng)， 除了Ω1和Ω2外，還有高次諧波3Ω1t和3Ω2，以及組合頻率2Ω1+Ω2，2Ω2+Ω1，|2Ω1-Ω2|和|2Ω2-Ω1|。

下面舉例說明，若

按照前面的公式，會出現(xiàn)以下各種頻率的振動：

20，80，100，120，140，220，300，320，340和360 1/sec。

在求解線性振動問題時(shí)，我們普遍采用疊加原理， 但對于非線性振動系統(tǒng)，不能應(yīng)用疊加原理。如有以下線性方程：

可將上面的方程分解成以下兩個方程：

原方程的解x(t)是由上面兩個方程的解x1(t)和x2(t)疊加而成即：

對于線性微分方程式，以下的疊加是成立的。

如果方程不是線性的，而是非線性方程，由于高次項(xiàng)存在，因此疊加原理是不適用的，即出現(xiàn)了以下不等式

如果在非線性系統(tǒng)中應(yīng)用疊加原理，所得結(jié)果就會和實(shí)際的結(jié)果出現(xiàn)較大的差異，而其結(jié)果往往是錯誤的。

在線性振動系統(tǒng)中，如果同時(shí)存在頻率為Ω和ω0兩個簡諧振動，則當(dāng)這兩個頻率比較接近時(shí)，會產(chǎn)生拍振。兩個頻率相差越小，拍振周期越大。當(dāng)兩個頻率相等時(shí)，拍振才消失，兩個振動就合成為一個簡諧振動。

在非線性振動系統(tǒng)中，則并不如此。例如，自激振動系統(tǒng)以頻率ω0自振時(shí)，若受到頻率為Ω的，且和ω0相接近的激振力的作用，則只出現(xiàn)一個頻率的振動，即頻率ω0和Ω進(jìn)入同步，這一現(xiàn)象稱為“頻率俘獲”。能產(chǎn)生頻率俘獲現(xiàn)象的頻帶，稱為頻率俘獲區(qū)域。

在工程中已得到廣泛應(yīng)用的由兩臺感應(yīng)電機(jī)分別驅(qū)動的激振器激勵的自同步振動機(jī)，就是利用頻率俘獲原理而進(jìn)行工作的。

圖6示出Ω和|Ω-ω0|的關(guān)系。對于線性系統(tǒng)， 此二個參數(shù)之間的關(guān)系是：只當(dāng)Ω=ω0時(shí)，|Ω-ω0|才等于零。對于非線性系統(tǒng)，例如對自激振動系統(tǒng)，當(dāng)|Ω-ω0|小于某一定值時(shí)， 頻率Ω和ω0將吻合而出現(xiàn)頻率俘獲現(xiàn)象。圖中的Δω為頻率俘獲區(qū)。

在工程中， 頻率俘獲現(xiàn)象已得到廣泛的應(yīng)用， 由兩臺感應(yīng)電動機(jī)分別驅(qū)動的并裝于同一振動系統(tǒng)中的兩個偏心轉(zhuǎn)子激振器， 就是利用這一原理而進(jìn)行工作的。目前在工業(yè)部門中應(yīng)用的數(shù)以萬計(jì)的自同步振動機(jī)基于這一原理。圖7表示了雙激振電機(jī)(轉(zhuǎn)軸上帶有偏心塊的電動機(jī)，作激振器使用)驅(qū)動的振動機(jī)的示意圖。試驗(yàn)曾指出， 當(dāng)兩臺激振電動機(jī)單獨(dú)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其轉(zhuǎn)數(shù)分別為962轉(zhuǎn)/分和940轉(zhuǎn)/分，而當(dāng)同時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其轉(zhuǎn)數(shù)同為950轉(zhuǎn)/分，這就是所謂的頻率俘獲。

圖7 |Ω-ω0|和Ω的關(guān)系

圖8  由兩臺振動電機(jī)驅(qū)動的自同步振動機(jī)的工作原理圖

在線性系統(tǒng)中自由振動總是衰減的，嚴(yán)格的周期運(yùn)動只可能在周期干擾力的作用下產(chǎn)生的強(qiáng)迫振動。而在非線性振動系統(tǒng)中， 即使存在阻尼，也可能是周期運(yùn)動。能量的損失可以由輸入該系統(tǒng)的能量得到補(bǔ)償，輸入能量的時(shí)間和大小由振動系統(tǒng)本身進(jìn)行調(diào)節(jié)，這就是自激振動。

混沌的發(fā)現(xiàn)是20世紀(jì)科學(xué)技術(shù)的偉大成就之一，繼相對論和量子力學(xué)之后的又一重大發(fā)現(xiàn)?；煦鐚W(xué)的出現(xiàn)是現(xiàn)代科學(xué)與技術(shù)，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展。非線性振動系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌運(yùn)動?；煦绗F(xiàn)象對于研究轉(zhuǎn)子故障或利用混沌作為轉(zhuǎn)子故障的一種診斷手段， 這是具有實(shí)際價(jià)值的。