全等三角形 練習

一、填空題（每小題2分，共20分）

1.如圖，△ABC≌△DEB，AB=DE，∠E=∠ABC，則∠C的對應角為        ，BD的對應邊為        .

2.如圖，AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，則有△ABD≌△      ，理由是      ，△ABE≌△      ，理由是      .

         （第1題）           （第2題）                   （第4題）

3.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面積為18平方厘米，則EF邊上的高是

         cm.

4.如圖，AD、A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中BC與B′C′邊上的高，且AB= A′B′，AD= A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，請你補充條件       （只需填寫一個你認為適當的條件）

5. 若兩個圖形全等，則其中一個圖形可通過平移、        或           與另一個三角形完全重合.

6. 如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BC＝EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則∠ABC＋∠DFE＝___________度

           （第6題）                   （第7題）              （第8題）

7．已知：如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值為__________．

8．如圖，在△ABC中，∠B＝90^o，D是斜邊AC的垂直平分線與BC的交點，連結AD，若        ∠DAC：∠DAB＝2：5，則∠DAC＝___________．

9．等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90^o，BD平分∠ABC交AC于點D，若AB＋AD＝8cm，則底邊BC上的高為___________．

10．銳角三角形ABC中，高AD和BE交于點H，且BH＝AC，則∠ABC＝__________度．

  （第9題）            （第10題）                  （第13題）

二、選擇題（每小題3分，共30分）

11．已知在△ABC中，AB=AC，∠A=56°，則高BD與BC的夾角為（     ）

A．28°          B．34°          C．68°             D．62°

12．在△ABC中，AB=3，AC=4，延長BC至D，使CD=BC，連接AD，則AD的長的取值范圍為（     ）

A．1＜AD＜7     B．2＜AD＜14      C．2.5＜AD＜5.5     D．5＜AD＜11

13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于點E，且AB=6，則△DEB的周長為（     ）

A．4             B．6              C．8                D．10

14．用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如下，則說明

∠A′O′B′＝∠AOB的依據是

A．（S．S．S．）B．（S．A．S．）

C．（A．S．A．）D．（A．A．S．

15. 對假命題“任何一個角的補角都不小于這個角”舉反例，正確的反例是（   ）

   A.∠α=60o，∠α的補角∠β=120o，∠β>∠α

   B.∠α=90o，∠α的補角∠β=900o，∠β=∠α

   C.∠α=100o，∠α的補角∠β=80o，∠β<∠α

   D.兩個角互為鄰補角

16. △ABC與△A′B′C′中，條件①AB= A′B′，②BC= B′C′，③AC =A′C′，④∠A=∠A′，⑤∠B=∠B′，⑥∠C=∠C′，則下列各組條件中不能保證△ABC≌△A′B′C′的是（   ）

   A. ①②③　　B. ①②⑤     C. ①③⑤     D. ②⑤⑥

17．如圖，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于點O，AO交BC于點F，則圖中共有全等三角形（     ）

A．7對              B．6對         C．5對                 D．4對

18．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，若△DEB的周長為10cm，則斜邊AB的長為（     ）

A．8 cm             B．10 cm        C．12 cm           D． 20 cm

19．如圖，△ABC與△BDE均為等邊三角形，AB＜BD，若△ABC不動，將△BDE繞點B旋轉，則在旋轉過程中，AE與CD的大小關系為（     ）

A．AE=CD             B．AE＞CD          C．AE＜CD        D．無法確定

20．已知∠P=80°，過不在∠P上一點Q作QM，QN分別垂直于∠P的兩邊，垂足為M，N，則∠Q的度數等于（    ）

A．10°          B．80°        C．100°         D．80°或100°

三、解答題（每小題5分，共30分）

21.如圖，點E在AB上，AC=AD，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明.所添條件為                          ，

你得到的一對全等三角形是         .

                                                     （第21題）

22.如圖，EG∥AF，請你從下面三個條件中再選兩個作為已知條件，另一個為結論，推出一個正確的命題（只需寫出一種情況），并給予證明.①AB=AC，②DE=DF，③BE=CF，

已知：EG∥AF，      =      ，     =      ，

求證：                  證明：

（第22題）

23. 如圖，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件，請你在其中選擇3個作為題設，余下的1個作為結論，寫一個真命題，并加以證明.

 ①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF

                                                           （第23題）

24. 如圖，四邊形ABCD中，點E在邊CD上.連結AE、BF，給出下列五個關系式：

①AD∥BC；②DE=CE  ③. ∠1=∠2  ④. ∠3=∠4 . ⑤AD+BC=AB將其中的三個關系式作為假設，另外兩個作為結論，構成一個命題.

(1)用序號寫出一個真命題，書寫形式如：如果……，那么……，并給出證明；

(2)用序號再寫出三個真命題（不要求證明）；

（3）真命題不止以上四個，想一想就能夠多寫出幾個真命題

25.已知，如圖，D是△ABC的邊AB上一點,DF交AC于點E, DE=FE, AB∥FC. 問線段AD、CF的長度關系如何？請予以證明.

                                                                       （第25題）

26.如圖，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠C=90°.

（1）操作并觀察，如圖，將三角板的45°角的頂點與點C重合，使這個角落在∠ACB的內部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點，然后將這個角繞著點C在∠ACB的內部旋轉，觀察在點E、F的位置發(fā)生變化時，AE、EF、FB中最長線段是否始終是EF？寫出觀察結果.

（2）探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形？如果能，試加以證明.

四、探究題 （每題10分，共20分）

27.如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形.請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F.請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；

（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

28.如圖a，△ABC和△CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C，連接AF和BE.

　　(1)線段AF和BE有怎樣的大小關系?請證明你的結論；

　　(2)將圖a中的△CEF繞點C旋轉一定的角度，得到圖b，(1)中的結論還成立嗎?作出判斷并說明理由；

　　(3)若將圖a中的△ABC繞點C旋轉一定的角度，請你畫山一個變換后的圖形(草圖即可)，(1)中的結論還成立嗎?作出判斷不必說明理由；

(4)根據以上證明、說理、畫圖，歸納你的發(fā)現）.

　　                                      圖a                      圖b

參考答案

一、1.∠DBE，   CA  2.△ACE，   SAS，    △ACD，    ASA（或SAS）3. 6

4.CD=C′D′（或AC=A′C′，或∠C=∠C′或∠CAD=∠C′A′D′）5.平移，翻折 6.  90

7. 10   8. 20o  9. 10. 45

二、11. A   12. D  13. B   14.A   15.C  16.C  17.A 18.B  19.A  20.D

三、21.可選擇等條件中的一個.可得到△ACE≌△ADE或△ACB≌△ADB等.

22.結合圖形，已知條件以及所供選擇的3個論斷，認真分析它們之間的內在聯系

可選①AB=AC，②DE=DF，作為已知條件，③BE=CF作為結論；

推理過程為：∵EG∥AF，∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA，∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，

∴∠B=∠BGE∴BE=EG，在△DEG和△DFC中，∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，而EG=BE，∴BE=CF；

若選①AB=AC，③BE=CF為條件，同樣可以推得②DE=DF，

 23.結合圖形，認真分析所供選擇的4個論斷之間的內在聯系

由④BE=CF還可推得BC=EF，根據三角形全等的判定方法，可選論斷：

①AB=DE，②AC=DF，④BE=CF為條件，根據三邊對應相等的兩個三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，進而推得論斷③∠ABC=∠DEF，

同樣可選①AB=DE，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF為條件，根據兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，進而推得論斷②AC=DF.

24. （1）如果①②③，那么④⑤

證明：如圖，延長AE交BC的延長線于F  因為AD∥BC 所以 ∠1=∠F

又因為∠AED =∠CEF ，DE=EC所以△ADE ≌△FCE，所以AD=CF,AE=EF

因為∠1=∠F ,∠1=∠2 所以∠2=∠F所以AB=BF.所以∠3=∠4

所以AD+BC=CF+BC=BF=AB

（2）如果①②④，那么③⑤;如果①③④，那么②⑤;如果①③⑤，那么②④.

(3) 如果①②⑤，那么③④;如果②④⑤，那么①③;如果③④⑤，那么①②.

25. （1）觀察結果是：當45°角的頂點與點C重合，并將這個角繞著點C在重合，并將這個角繞著點C在∠ACB內部旋轉時，AE、EF、FB中最長的線段始終是EF.
　?。?span lang="EN-US">2）AE、EF、FB三條線段能構成以EF為斜邊的直角三角形，證明如下：

在∠ECF的內部作∠ECG=∠ACE，使CG=AC，連結EG，FG，∴ΔACE≌ΔGCE，∴∠A=∠1，同理∠B=∠2，∵∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，

∴∠EGF=90°，EF為斜邊.

四、27.（1）FE與FD之間的數量關系為FE=FD

（2）答：（1）中的結論FE=FD仍然成立

                     圖①                 圖②

證法一：如圖1，在AC上截取AG=AE，連接FG

∵ ∠1=∠2，AF=AF，AE=AG  ∴ △AEF≌△AGF

∴ ∠AFE=∠AFG，FG=FE∵ ∠B=60°,且AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線

∴ ∠2+∠3=60°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°

∴ ∠CFG=60° ∵ ∠4=∠3，CF=CF，

證法二：如圖2，過點F分別作FG⊥AB于點G，FH⊥BC于點H

∵ ∠B=60°,且AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線

∴ ∠2+∠3=60° ∴ ∠GEF=60°+∠1,FG=FH

∵ ∠HDF=∠B+∠1  ∴ ∠GEF=∠HDF∴ △EGF≌△DHF  ∴ FE=FD

28. （1）AF=BE. 　　

　  證明：在△AFC和△BEC中，　∵△ABC和△CEF是等邊三角形，

∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60.∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE. 　　

(2)成立. 　 理由：在△AFC和△BEC中， ∵△ABC和△CEF是等邊三角形，

　    ∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°. ∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB.

　 　 即∠ACF=∠BCE. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.　

(3)此處圖形不惟一，僅舉幾例.　　　

 如圖，(1)中的結論仍成立.　　

　　　 　　　　　 (4)根據以上證明、說明、畫圖，歸納如下：

如圖a，大小不等的等邊三角形ABC和等邊三角形CEF有且僅有一個公共頂點C，

則以點C為旋轉中心，任意旋轉其中一個三角形，都有AF=BE.