在國際單位制下，真空中的麥克斯韋方程組(微分形式)可以表示成:

介質(zhì)中的麥克斯韋方程組可以表示成:

另外，還有兩個輔助方程經(jīng)常用到:

其中，

, 是電通量密度(單位: 庫倫/平方米，C/m?);

, 是磁通量密度(單位: 特斯拉，T)，也稱磁感強度;

, 是電場強度(單位: 伏特/米，V/m);

, 是磁場強度(單位: 安/米，A/m);

, ρ是自由電荷體密度(單位: 庫倫/立方米，C/m?);

, 是自由電流面密度(單位: 安/平方米，A/m?);

, 是 真空介電常數(shù);

, μ是 真空磁導(dǎo)率; 0

, 是介質(zhì)的極化強度;

, 是介質(zhì)的介電常數(shù);

, 是介質(zhì)的相對介電常數(shù);

, 是介質(zhì)的磁化強度;

, μ是介質(zhì)的磁導(dǎo)率;

, μ是介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率。 r

[編輯] 麥克斯韋方程組的含義

第一個方程表示電場是有源的。(單位電荷就是它的源)

第二個方程表示變化的磁場可以產(chǎn)生電場。(這個電場是有旋的)

第三個方程表示磁場是無源的。(磁單極子不存在，或者說到現(xiàn)在都沒發(fā)現(xiàn)) 第四個方程表示變化的電場可以產(chǎn)生磁場。(這個磁場是有旋的)

第8章 麥克斯韋方程組

本章要點:

1. 電磁感應(yīng)定律及楞次定律

2. 動生電動勢和感生電動勢

*3. 自感與互感

*4. 磁場的能量

5. 麥克斯韋方程組

前面分別討論了靜電場和穩(wěn)恒磁場的基本屬性，以及它們和物質(zhì)相互作用的基本規(guī)律。隨著生產(chǎn)發(fā)展的需要，人們深入地研究了電磁現(xiàn)象的本質(zhì)，從而對電磁場的認(rèn)識有了一個飛躍。由實驗發(fā)現(xiàn)，不但電荷產(chǎn)生電場，電流產(chǎn)生磁場，而且變化著的電場和磁場可以相互產(chǎn)生，所以電場和磁場是一個統(tǒng)一的整體——電磁場。杰出的英國物理學(xué)家法拉第于1831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，被譽為電磁理論的奠基人。他的豐碩的實驗研究成果以及他的新穎的“場”的觀念和力線思想，為電磁現(xiàn)象的統(tǒng)一理論準(zhǔn)備了條件。1862年，英國的麥克斯韋完成了這個統(tǒng)一任務(wù)，建立了電磁場的普遍方程組，稱為麥克斯韋方程組，并預(yù)言電磁場以波動形式運動，稱為電磁波。它的傳播速度與真空中的光速相同，表明光也是電磁波。這個預(yù)言于1888年由德國的赫茲通過實驗所證實，從而實現(xiàn)了電、磁、光的統(tǒng)一，并開辟了一個全新的戰(zhàn)略領(lǐng)域——電磁波的應(yīng)用和研究。1895年俄國的波波夫和意大利的馬可尼分別實現(xiàn)了無線電訊號的傳輸??本章首先討論電磁感應(yīng)現(xiàn)象，引出渦旋電場，從而得到隨時間變化的磁場產(chǎn)生電場的基本規(guī)律;然后研究非穩(wěn)恒條件下電流連續(xù)性方程，引出位移電流，說明隨時間變化的電場產(chǎn)生磁場，從而得出在普遍情況下安培環(huán)路定理的推廣形式;最后總結(jié)出電磁場運動的普遍規(guī)律——麥克斯韋方程。

8.1 電磁感應(yīng)

8.1.1 電磁感應(yīng)現(xiàn)象

自從發(fā)現(xiàn)了電流產(chǎn)生磁場的現(xiàn)象以后，人們提出一個問題:電流既然能夠產(chǎn)生磁場，那么，能不能利用磁場來產(chǎn)生電流呢?下面先通過幾個實驗說明什么是電磁感應(yīng)現(xiàn)象，以及產(chǎn)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象的條件。

1. 取一線圈A，把它的兩端和一電流計G連成一閉合回路圖8-1 (a)，這時電流計的指針并不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，這是因為在電路里沒有電動勢。再取一磁鐵，先使其與線圈相對靜止，電流計也不發(fā)生偏轉(zhuǎn)。但若使兩者發(fā)生相對運動，電流計的指針則發(fā)生偏轉(zhuǎn)。當(dāng)相對運動的方向改變時電流計指針偏轉(zhuǎn)的方向也發(fā)生變化。同時，相對運動速度越大，指針偏轉(zhuǎn)越大。

2. 前面講過，電流要激發(fā)磁場，一個載流螺線管相當(dāng)于一根磁棒。因此，如果我們?nèi)∫粋€載流螺線管B代替圖8-1實驗中的磁棒，則當(dāng)載流螺線管和線圈回路之間有相對運動時，發(fā)現(xiàn)電流計的指針也會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，說明閉合線圈回路中亦有電流圖8-1(b)。如果在線圈B中加進(jìn)一個鐵芯，則電流計指針的偏轉(zhuǎn)更大。

3. 將通電螺線管放入線圈中，調(diào)節(jié)可變電阻器的阻值R，觀察連接在線圈回路中的電流計指針圖8-1(c)，實驗發(fā)現(xiàn):當(dāng)R不變化時電流計指針不動，這表明線圈回路中沒有電流;當(dāng)R變化時，螺線管中的電流強度改變，電流計的指針發(fā)生偏轉(zhuǎn)，這表示線圈回路中有電流。當(dāng)R變化使螺線管中的電流強度增強時，電流計的指針向一側(cè)偏轉(zhuǎn)，而當(dāng)螺線管中的電流強度減弱時，電流計的指針向另一側(cè)偏轉(zhuǎn)，并且，螺線管中的電流改變得越快，這時電流計指針的偏轉(zhuǎn)角也越大，顯示出線圈回路中的電流強度也越大。

4. 在圖8-1(d)所示的均勻磁場中，電流計與一個Π形導(dǎo)線框相連，Π形導(dǎo)線框上放有一個可以垂直于磁場 B方向運動的導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒與Π形導(dǎo)線框保持良好接觸。

(a) (b) (c) (d)

圖8-1

實驗發(fā)現(xiàn):當(dāng)導(dǎo)體棒以一定速度向右或左移動(即改變導(dǎo)體回路面積)時，這時，回路中就有電流。雖然，回路內(nèi)各點的磁感強度B不改變，但穿過回路的磁通量卻在增加或減少。當(dāng)磁通量增加時，電流計指針向一個方向偏轉(zhuǎn);磁通量減少時，電流計指針向另一個方向偏轉(zhuǎn)。

進(jìn)一步的實驗還可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)體棒在磁場中運動得越快，磁通量改變(增加或減小)越快，電流計指針偏轉(zhuǎn)越大，表明回路中的電流也越大;反之，則越小。

上面四個實驗都是利用磁場產(chǎn)生電流，那么產(chǎn)生電流的條件是什么呢?如果分別考察每個實驗，似乎可有若干不同的說法。如果綜合分析上述各實驗，盡管情況各不相同，但有一點卻是共同的，即不論是B、S或θ改變，它們都要使穿過閉合回路的磁通量發(fā)生變化。那么利用磁場產(chǎn)生電流的共同條件可概括為:穿過閉合回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化。對實驗1和2，是由于閉合回路與磁鐵間的相對運動時，使回路包圍面積中磁感強度B發(fā)生變化而導(dǎo)致穿過閉合回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化;對于實驗3，是由于磁場中各點磁感強度的變化而導(dǎo)致穿過閉合回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化;對實驗4，則由于閉合回路所包圍面積的變化而導(dǎo)致穿過閉合回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化。

因而有如下結(jié)論:當(dāng)通過一個閉合回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化(增加或減少)時，不管這種變化是由于什么原因所引起的，回路中就有電流產(chǎn)生。這種現(xiàn)象叫電磁感應(yīng)現(xiàn)象。在回路中所產(chǎn)生的電流叫做感應(yīng)電流。在磁通量增加和減少的兩種情況下，回路中感應(yīng)電流的流向相反。感應(yīng)電流的大小則取決于穿過回路中的磁通量變化快慢。變化越快，感應(yīng)電流越大;反之，就越小。回路中產(chǎn)生電流，表明回路中有電動勢存在。這種在回路中由于磁通量的變化而引起的電動勢，叫做感應(yīng)電動勢。

8.1.2 電磁感應(yīng)定律

現(xiàn)在我們對上節(jié)中由實驗所得到的結(jié)論，作進(jìn)一步的分析，以便了解電磁感應(yīng)的基本規(guī)律。

法拉第對電磁感應(yīng)現(xiàn)象作了詳細(xì)分析，總結(jié)出感應(yīng)電動勢與磁通量變化率之間的關(guān)系，這個關(guān)系就是法拉第電磁感應(yīng)定律，它的內(nèi)容是:不論任何原因，當(dāng)穿過閉合導(dǎo)體回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變Φm

dΦm化時，在回路中都會出現(xiàn)感應(yīng)電動勢ε，而且感應(yīng)電動勢的大小總是與磁通量對時間t的變化率成正idt比。

dΦm用數(shù)學(xué)公式可表示為 ε= ki dt

式中，k是比例系數(shù)，在國際單位制中，ε的單位是伏特，Ф的單位是韋伯，t的單位是秒，則有k = 1。im

如果再考慮到電動勢的“方向”，就得到法拉第電磁感應(yīng)定律的完整表示形式，即:

dΦm ε=, (8-1) i dt

應(yīng)當(dāng)指出，式(8-1) 是針對單匝回路而言的。如果回路是由N匝密繞線圈組成的，而穿過每匝線圈的磁通量都等于，那么通過N匝密繞線圈的磁通量則為= NФ。我們常把稱為磁通鏈。 ΦΨΨm

若導(dǎo)體回路是閉合的，感應(yīng)電動勢就會在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流;若導(dǎo)線回路不是閉合的，回路中仍然有感應(yīng)電動勢，但是不會形成電流。

如果閉合回路的電阻為R，則回路中的感應(yīng)電流為

dΦ1mI,, (8-2) iRdt

dqI,利用上式以及，可計算出由于電磁感應(yīng)的緣故，在時間間隔,,,ttt內(nèi)通過回路的電量。設(shè)21dt

在時刻t穿過回路所圍面積的磁通量為Ф，在時刻t穿過回路所圍面積的磁通量為Ф。于是，在時,t1m12m2間內(nèi)，通過回路的電量為

tΦ211m2qIdtd,,,,,ΦΦΦ() (8-3) mmm12,,tΦm1RR1

比較式(8-2)和式(8-3)可以看出，感應(yīng)電流與回路中磁通量隨時間的變化率有關(guān)，變化率越大，感應(yīng)電流越強;但回路中的感應(yīng)電量則只與磁通量的變化量有關(guān)，而與磁通量的變化率(即變化的快慢)無關(guān)。在計算感應(yīng)電量時，式(8-3)取絕對值。

8.1.3 楞次定律

現(xiàn)在來說明式(8-1)中負(fù)號的物理意義。

1833年楞次提出一種直接判定感生電流方向的方法:感應(yīng)電流的方向總是要使感應(yīng)電流所產(chǎn)生的磁場阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化。這就是楞次定律。具體步驟是:首先要判明通過閉合回路的原磁場B的方向，其次確定通過閉合回路的磁通量是增加還是減少，再者按照楞次定律來確定感應(yīng)電流所激發(fā)的磁場B′的方向(磁通量增加時B′與B反向，磁通量減少時B′與B同向)，最后根據(jù)右手螺旋法則從感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場B′方向來確定回路中感應(yīng)電流的方向。

(a) (b)

圖8-2 楞次定律確定回路中感應(yīng)電流的方向

在上述實驗(a)中，當(dāng)磁鐵棒以N極插向線圈或線圈向磁棒的N極運動時，通過線圈的磁通量增加，感應(yīng)電流所激發(fā)的磁場方向則要使通過線圈面積的磁通量反抗線圈內(nèi)磁通量的增加，所以線圈中感應(yīng)電流

所產(chǎn)生的磁感應(yīng)線的方向與磁棒的磁感應(yīng)線的方向相反[圖8-2(a)]。再根據(jù)右手螺旋法則，可確定線圈中的感應(yīng)電流為逆時針方向。當(dāng)磁鐵棒的N極拉離線圈或線圈背離磁棒的N極運動時，通過線圈的磁通量減少，感應(yīng)電流所激發(fā)的磁場則要使通過線圈面積的磁通量去補償線圈內(nèi)磁通量的減少，因而，它所產(chǎn)生的磁感應(yīng)線的方向與磁棒的磁感應(yīng)線的方向相同[圖8-2(b)]，則線圈中的感應(yīng)電流方向與(a)的相反，為順時針。

其他幾個實驗也可以用同樣的分析方法來確定感應(yīng)電流的方向，讀者可自行分析。

現(xiàn)介紹用法拉第電磁感應(yīng)定律的表達(dá)式(8-1)中的負(fù)號來判定感應(yīng)電動勢的方向，我們規(guī)定:先選定回路的繞行正方向，再用右手螺旋法則確定此回路所圍面積的正法線n的方向如圖8-3所示;然后確定通過回路面積的磁通量Ф的正負(fù):凡穿過回路面積的B的方向與正法線方向相同者為正，相反者為負(fù);最后m

dΦdΦmm再考慮Ф的變化，從式(8-1)來看，感應(yīng)電動勢ε的正、負(fù)只由決定。若,0，ε為負(fù)值。即miidtdt

dΦmε的方向與規(guī)定的繞行正方向相反。若,0，則ε為正值，即ε方向與繞行正方向相同。 iiidt

dΦm圖8-3 (a)中，因B與n —致，故Ф,0;且知磁通量隨時間增加，即,0，故依上面的規(guī)定，εmidt

為負(fù)值。即感應(yīng)電動勢ε方向與繞行正方向相反。 i

dΦm圖8-3 (b)中，因B與n —致，故Ф,0;但磁通量隨時間而減小，即,0，這時ε應(yīng)是正值。即midt

ε方向與繞行正方向相同。 i

圖8-3(c)中，因B與n相反，故Ф,0;當(dāng)磁通量隨時間增加時，相對正法線方向則是減少，因此，m

dΦm,0，這樣ε是正值。即感應(yīng)電動勢ε方向與繞行正方向相同。 iidt

圖8-3(d)中，因B與n相反，故Ф,0;當(dāng)磁通量隨時間減少時，即相當(dāng)于沿正法線n方向增加，m

dΦm因此，,0，很易確定感應(yīng)電動勢ε方向與繞行正方向相反。 idt

用這種方法確定感應(yīng)電動勢的方向和用楞次定律確定的方向完全一致，但在實際問題中用楞次定律來確定感應(yīng)電動勢的方向比較簡便。

楞次定律是符合能量守恒定律的。這里以在勻強磁場中導(dǎo)線框上活動的導(dǎo)線在磁場中運動時的能量轉(zhuǎn)換來說明?；顒訉?dǎo)線移動時受到的磁場力總是反抗導(dǎo)線運動的。也就是說，要使導(dǎo)線移動，就需要外力作功，這樣就使其它形式的能量(如機(jī)械能)轉(zhuǎn)化為感應(yīng)電流通過回路時的電能。而由式(8-1)中負(fù)號決定的感應(yīng)電動勢方向和楞次定律所確定的方向一致，這就恰恰說明了法拉第電磁感應(yīng)定律式(8-1)中的負(fù)號所表明的感應(yīng)電動勢的方向與能量守恒定律有著內(nèi)在的聯(lián)系。

例8-1在時間間隔(0，t )中，長直導(dǎo)線通以I = k t的變化電流，方向向上，式中I為瞬時電流，k0

是常量，。在此導(dǎo)線近旁平行地放一長方形線圈，長為b，寬為a，線圈的一邊與導(dǎo)線相距為d，0tt,,0

μ設(shè)磁導(dǎo)率為的磁介質(zhì)充滿整個空間，求任一時刻線圈中的感應(yīng)電動勢。