物理學(xué)筆記（5）：信動量，得中子

一、從“牛二”到動量守恒

   上回說到：玻爾的定態(tài)躍遷理論通過初末定態(tài)的差量與輻射建立聯(lián)系，從而規(guī)避了過于復(fù)雜的內(nèi)部細(xì)節(jié)。這種“技巧”（還有類似的諸多數(shù)學(xué)手段）并不獨(dú)屬于量子力學(xué)，在經(jīng)典力學(xué)中也?！俺鰶]”——其中有一些在經(jīng)典力學(xué)中業(yè)已成熟（比如微分方程的本征值問題），另一些則是現(xiàn)代物理方法確立后引入的修正（比如狄拉克函數(shù)）。

   早期量子論的定態(tài)躍遷和經(jīng)典力學(xué)中的功能關(guān)系針對的都是能量或具有能量量綱的物理量。在力學(xué)中，除能量外，動量也是一個十分重要的狀態(tài)量（本文只討論線動量Linear Momentum）。我們對動量的處理仍然可以用初末態(tài)差量反映過程量，就規(guī)避復(fù)雜的動力學(xué)細(xì)節(jié)（比如某個作用過程的平均作用力）這一點(diǎn)而言，好處是明顯的。

   在牛頓理論體系中，“動量”或者說“運(yùn)動的量”（quantity of motion）是一個基本物理量，甚至可以說牛頓理論是圍繞動量展開的?！傲Α钡幕疚锢砹俊暗匚弧笔窃诜治隽W(xué)的靜力學(xué)體系中得到強(qiáng)化的。在成熟的分析力學(xué)體系（拉格朗日力學(xué)與哈密頓力學(xué)）中，能量以及具有能量量綱的拉格朗日函數(shù)和哈密度函數(shù)（作為動力學(xué)方程的首次積分）成為了基本物理量。

   今天絕大部分力學(xué)（高中物理、普通物理、理論力學(xué)）教材在引入“動量”的時候，一般都是直接用標(biāo)量m（質(zhì)量或慣性質(zhì)量）和矢量v（速度）做內(nèi)積：p=m·v ——牛頓本人在《原理》（《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》）中也是這么干的。按今天的視角：這種表述形式基于對慣性質(zhì)量的處理，即確定物體的慣性質(zhì)量與運(yùn)動無關(guān)，其值不隨時間變化。當(dāng)然這種表述也不適用于非相對論性變質(zhì)量（其實(shí)是“物質(zhì)的量”發(fā)生改變）物體的動力學(xué)問題，比如齊奧科夫斯基討論的火箭方程。

   在更普遍意義上理解動量，需要回溯到原始版的“牛二”——在他本人的“牛頓第二定律”表述中（見《原理》的英譯版：Newton, Isaac, Newton's Principia : the mathematical principles of natural philosophy, New York: Daniel Adee. 1846）：

     The alteration of motion is ever proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.（運(yùn)動的變化正比于外部所施加的力，變化方向沿外力作用線方向。）

    用數(shù)學(xué)公式可以表達(dá)為：dp=F·dt，整理得：

即：外力是動量隨時間的變化率。我們今天廣泛使用的“牛二”形式（F=m·a 或，可以稱為“歐拉形式”）是歐拉于1750年給出的——在慣性質(zhì)量不隨運(yùn)動時間變化的前提下，將p=m·v代入“牛頓形式”。

    “牛二”的“歐拉形式”是經(jīng)典動力學(xué)的基本方程，而“牛頓形式”則具有更普遍的適用性。后者的“奇妙”在于：它完全符合后來狹義相對論的要求，也就是說“歐拉形式”只適用于經(jīng)典力學(xué)，而原始的“牛頓形式”既滿足經(jīng)典力學(xué)，又滿足狹義相對論——費(fèi)曼在他的《講義》中把、洛倫茲力公式、牛頓萬有引力公式與麥克斯韋方程組并列為“經(jīng)典（非統(tǒng)計性）物理學(xué)基本規(guī)律”。

   以動量為態(tài)函數(shù)處理具體問題時，規(guī)避復(fù)雜動力學(xué)細(xì)節(jié)的辦法主要是使用“動量守恒定律”：根據(jù)“牛二”的原始形式，當(dāng)外力F=0時，物體動量隨時間的變化率為0，即物體動量在個過程中為常量——在僅有兩個質(zhì)點(diǎn)相互作用的簡單模型中，費(fèi)曼用“牛二”和“牛三”給出了一個十分簡單的構(gòu)造方法（見《講義》）：

推廣到質(zhì)點(diǎn)組模型中，即普遍的動量守恒定律。

   在分析力學(xué)中，根據(jù)諾特定理（Noether’s theorem）：每一種對稱操作對應(yīng)于一個物理量的守恒，動量守恒實(shí)質(zhì)是“機(jī)械能對空間平移具有對稱性”——在穩(wěn)恒場中的簡單機(jī)械運(yùn)動情況下，機(jī)械能E=E(x,v_x)，重力勢能V=V(x)，則

   正如機(jī)械能守恒有其適用條件，動量守恒亦然。許多教材把動量守恒的條件記為：質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)組不受外力或所受合外力為零。應(yīng)當(dāng)說，這個條件在理論上是準(zhǔn)確的，但在實(shí)際應(yīng)用中往往達(dá)不到：

   我們知道加速度作為速度隨時間的變化率（速度關(guān)于時間的一階導(dǎo)數(shù)，即速度變化快慢），在某個時刻（不是一段“時間間隔”）并不能反映速度的變化。類似地，合外力作為動量關(guān)于時間的一階導(dǎo)數(shù)，不能直接導(dǎo)致動量的改變。合外力必須在一段時間上做積分（即力在時間上的累積）才能改變態(tài)函數(shù)動量，這個積分被定義為一個過程量——沖量，對同一個物體或研究對象有：

即所謂的“動量定理”。

   在實(shí)際問題中使用動量守恒時，合外力為零的情況極其罕見。動量守恒成立的條件應(yīng)“弱化”為：合外力產(chǎn)生的沖量為零——它的“操作性”定義為：質(zhì)點(diǎn)間相互作用的時間間隔足夠小，以至于合外力產(chǎn)生的沖量近似為零（這種境況下一般意味著內(nèi)部相互作用力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于合外力）。例如碰撞、爆炸、反沖等物理過程中，在整個時間間隔內(nèi)，合外力一般不為零（特別是重力存在的情況下），如果時間間隔足夠?。谡Z表達(dá)的“瞬間”，意味著物理變化過程十分劇烈），我們可以認(rèn)為合外力的沖量近似為零，故在這個“瞬間”使用動量守恒。

   使用動量守恒或沖量定理都可以從初末態(tài)函數(shù)入手，盡量避免討論質(zhì)點(diǎn)間復(fù)雜的動力學(xué)過程。這個優(yōu)勢在兩個質(zhì)點(diǎn)相互作用情況下倒還不十分明顯，但如果你面對的是質(zhì)點(diǎn)組，即多個物體間的相互作用過程，它可以幫你盡量避免陷入“萬劫不復(fù)”的“N體運(yùn)動”——如果簡單的方法能達(dá)到效果，千萬不要“舍近求遠(yuǎn)”。比如一道很經(jīng)典的運(yùn)動學(xué)問題：兩個人分別勻速相向而行，一只蒼蠅以勻速率在他們中間做往復(fù)運(yùn)動，要求蒼蠅運(yùn)動的總路程?！皞髡f”（只是傳說！），馮·諾依曼被問到的時候是用“級數(shù)求和”的辦法快速“心算”出結(jié)果的（這也不是常人能達(dá)到功力，甚至極有可能是諾依曼本人的“調(diào)侃”），而實(shí)際上，只要抓住三者整個運(yùn)動時間相同，用最基本的運(yùn)動學(xué)公式就能快速求解——現(xiàn)在，這個題估計小學(xué)生就會遇到。

二、查德威克：信動量，得中子！

   上帝總是不斷地拋出“蘋果”，但不是所有人都接得到！

   1920年，玻爾的“大師兄”盧瑟福在確定質(zhì)子存在后，預(yù)言了一種來自原子核的電中性“輻射”。

   1931年到1932年，普朗克的高足瓦爾特·博特（W.Bothe）與其弟子赫伯特·貝克（H.Becker），出身顯赫的“小居里夫婦”（約里奧—居里夫婦，the Joliot-Curies）的關(guān)注焦點(diǎn)都集中在了氦核轟擊鈹原子的反應(yīng)：

他們分析的結(jié)果表明：觀測到的中性輻射n是一種輻射——他們已經(jīng)“看見”了中子，但并沒有“抓住”它！——最終便宜了“英國佬”！

   閱讀了小居里夫婦發(fā)表的論文后，盧瑟福的高足查德威克（James Chadwick）在不到一個月的時間內(nèi)完成了一系列實(shí)驗(yàn)(不能忽視盧瑟福打下的基礎(chǔ)！)，并于《自然》上發(fā)表了一篇簡短的文章《中子可能存在》（Possible Existence of a Neutron，Nature, p.312 ，F(xiàn)eb. 27, 1932）。更系統(tǒng)的工作發(fā)表在當(dāng)年的《皇家學(xué)會通報》（Proceedings of the Royal Society A — Mathematical, Physical & Engineering Sciences），題目去掉了possible（底氣十足?。臑椤吨凶拥拇嬖凇罚╰he Existence of a Neutron，Proc. R. Soc. Lond. A，vol.136, p.692~708, 1932）——這兩篇文章今天被視為“中子”的“準(zhǔn)生證”！

   其實(shí)“英國人”并不比“德國人”或“法國人”高明多少。

  十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初，同志們見識了太多令人眼花繚亂的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論推導(dǎo)——連玻爾都一度認(rèn)為，被大家奉為“鐵律”的能量或動量守恒只有在統(tǒng)計平均的意義上才是守恒的——宗師也有“跑偏”的時候啊！

   查德威克同志（算是玻爾的師弟）的工作表明：眼花繚亂的時候，不要急于構(gòu)造“新理論”。他在兩篇文章中明確地闡述了自己的基本思路：

   Up to the present, all the evidence is in favour of the neutron, while the quantum hypothesis can only be upheld if the conservation of energy and momentum be relinquished at some point.（Possible Existence of a Neutron）

     直到目前, 所有的現(xiàn)象都有利于中子假設(shè), 而量子假設(shè)（即輻射的光量子）只有在廢除能量與動量守恒才成立。

   It is evident that we must either relinquish the application of the conservation of energy and momentum in these collisions or adopt another hypothesis about the nature of the radiation. If we suppose that the radiation is not a quantum radiation, but consists of particles of mass very nearly equal to that of the proton, all the difficulties connected with the collisions disappear,.......(the Existence of a Neutron)

     實(shí)驗(yàn)表明：在這些碰撞過程中，我們要么放棄應(yīng)用能量與動量守恒，要么采用另一個關(guān)于輻射本質(zhì)的假設(shè)。如果我們假定這一輻射并非量子輻射，而是質(zhì)量與質(zhì)子幾乎相等的粒子組成的，那么所有關(guān)于碰撞的困難都會消失......

  所謂查德威克的“基本思路”，其實(shí)就是繼續(xù)相信動量守恒（包括能量守恒）——而博特和約里奧—居里夫婦很可能根本沒有意識到這個問題，這導(dǎo)致他們?nèi)狈Σ榈峦四菢痈?xì)地分析，對送到眼前的中子“視而不見”。在實(shí)驗(yàn)的意義上，他們的工作都相當(dāng)精彩，倒是查德威克對動量守恒的堅持顯得技高一籌——在更廣泛的意義上驗(yàn)證了列昂·庫珀（Leon Cooper）的說法（也是物理學(xué)的共識之一）：動量守恒定律是一個極為深刻的規(guī)律，甚至當(dāng)牛頓力學(xué)已經(jīng)不再適用時，它仍然成立。......假定動量守恒定律是原始公設(shè)之一，就可以把整個物理學(xué)建立起來。（見《物理學(xué)的意義與結(jié)構(gòu)導(dǎo)論》An Introduction of the Meaning and Structure of Physics）

  其實(shí)對理論家而言，現(xiàn)成的實(shí)驗(yàn)或觀測事實(shí)總是不夠的。當(dāng)上帝把“蘋果”送到你面前時，問題的關(guān)鍵在于你信什么或者不信什么。

   問：你怎么知道你選擇的相信的不會將你引入歧途？

   答：賭一把唄......