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看點(diǎn) 奧數(shù)是用來競(jìng)賽選拔的數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)難度較大，但大多數(shù)奧數(shù)題趣味性十足，需要學(xué)生找到好方法。當(dāng)孩子做奧數(shù)題時(shí)，他們學(xué)到的不只是一個(gè)“游戲”的取勝技巧，更重要的是學(xué)會(huì)如何分析問題、解決問題，同時(shí)找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。下文作者葛顥博士是北京大學(xué)國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心副教授，他認(rèn)為奧數(shù)適合那些學(xué)有余力，且對(duì)數(shù)學(xué)興趣很濃且有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生。家長(zhǎng)在給孩子選擇奧數(shù)班時(shí)，不可盲目跟風(fēng)，要根據(jù)自家孩子的情況，決定選學(xué)什么深度的內(nèi)容。 文 | 葛顥 編輯 | 李臻 我與奧數(shù)的淵源要追溯到小學(xué)四年級(jí)之后的那個(gè)暑假，1992年夏，我的父母從電視報(bào)中發(fā)現(xiàn)中央電視臺(tái)開辦了小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的系列輔導(dǎo)講座節(jié)目，他們知道我對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，就鼓勵(lì)我并陪我一起看講座，而后一起討論研究思考題。 新學(xué)期開學(xué)，我參加了學(xué)校組織的課外數(shù)學(xué)興趣小組。當(dāng)時(shí)市面上的參考書很少，內(nèi)容也不豐富，僅有的幾本，數(shù)學(xué)老師當(dāng)寶貝一樣收著呢。我有幸得到了兩本，記得自己那段時(shí)間每天晚上都很主動(dòng)地學(xué)習(xí)這些書本上的例題，并把所有習(xí)題都做了一遍。 在后來的一次全市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，我獲得了很不錯(cuò)的成績(jī)，使得自己對(duì)奧數(shù)的興趣與信心倍增。 上了初中、高中以后，由于升學(xué)的壓力，參加數(shù)學(xué)方面的培訓(xùn)與競(jìng)賽少了，雖說也拿到過一些名次，但總體來講僅屬于中上等，不是特別優(yōu)秀。但這并不影響我對(duì)優(yōu)美數(shù)學(xué)的喜愛，高中畢業(yè)，我毫不猶豫地報(bào)考了北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。 進(jìn)入北大以后，身邊是一群優(yōu)秀的數(shù)學(xué)尖子生，有許多都是國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的佼佼者，其中還有國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)的金牌得主，和他們共同學(xué)習(xí)和生活的經(jīng)歷是很愉快的。 許多年過去了，有一些同學(xué)已經(jīng)在國(guó)際數(shù)學(xué)的最前沿嶄露頭角，其中有四位已經(jīng)是美國(guó)第一流大學(xué)數(shù)學(xué)系的年輕教授、國(guó)際數(shù)學(xué)界冉冉升起的新星?；貞浧甬?dāng)年的奧數(shù)經(jīng)歷，他們也都是贊譽(yù)有加。 現(xiàn)今，我已在北大任教，也參與數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的本科招生工作，那些在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲得好名次的學(xué)生，往往是我們很關(guān)注的對(duì)象。多年來的數(shù)據(jù)也表明，他們?cè)诒究齐A段的表現(xiàn)往往也是非常好的。 奧數(shù)并不是數(shù)學(xué)的一個(gè)分類，奧數(shù)依然是數(shù)學(xué)，在中小學(xué)的各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中，所涉及的絕大部分都還是平時(shí)數(shù)學(xué)課堂上所教的知識(shí)，其間并沒有很明確的定義與界線。 但是奧數(shù)又明顯有別于普通的數(shù)學(xué)，兩者區(qū)別在哪兒呢？我們可以大致地描述一下。 因?yàn)閵W數(shù)題中，尤其是在小學(xué)奧數(shù)題中，許多都帶有很強(qiáng)的趣味性和游戲性。這類奧數(shù)題，題面看似簡(jiǎn)單，幾乎人人都能看明白；題意生動(dòng)有趣，但很有迷惑性；求解的方法很多，絕大多數(shù)人只會(huì)用笨辦法做，麻煩、費(fèi)時(shí)，而正確快捷的解答方法往往簡(jiǎn)單巧妙。 例1：如圖，甲、乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，兩地距離是11千米。甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走5千米，甲帶著一條小狗，狗每小時(shí)跑12千米。這只狗同時(shí)同甲一起出發(fā)，當(dāng)它碰到乙后便轉(zhuǎn)回頭跑向甲；碰到甲又掉頭跑向乙……如此下去，直到甲、乙兩人相遇。問：小狗一共跑了多少千米？ 這也是小學(xué)數(shù)學(xué)里的行程問題，凡學(xué)過行程問題的人都能看懂題意。 中央電視臺(tái)曾經(jīng)有一檔節(jié)目專門討論奧數(shù)問題，其間主持人就舉出這個(gè)例題，他的本意是想通過這個(gè)例題來說明奧數(shù)題是多么荒誕和不可思議。 確實(shí)有些不可思議，想想看，這狗得來回跑多少趟呀！按常規(guī)，我們應(yīng)該一趟一趟地進(jìn)行計(jì)算，先計(jì)算狗第一次和乙碰面的時(shí)間和位置，然后再計(jì)算狗回頭和甲碰面的時(shí)間和位置，循此往下，直至甲、乙碰面，將狗跑的各段路程相加，得出結(jié)果。 這將是非常復(fù)雜的計(jì)算過程，沒有學(xué)過奧數(shù)的人基本就傻眼了。據(jù)說這還是一位外國(guó)朋友當(dāng)年給蘇步青教授做的題目，敢用來考大數(shù)學(xué)家，可見這道題該有多難，現(xiàn)在竟用如此難題考小學(xué)生，又該是多么荒誕。 其實(shí)這道題非常簡(jiǎn)單，完全在學(xué)生所學(xué)知識(shí)的范圍內(nèi)。 甲、乙兩人和狗在這個(gè)過程中所花的時(shí)間是完全一樣的，只要先計(jì)算出甲、乙兩人從出發(fā)到碰面所花的時(shí)間就行，而這對(duì)于學(xué)過行程問題的小學(xué)生來說是很簡(jiǎn)單的，甲、乙兩人步行1小時(shí)就會(huì)相遇。 已知了狗的速度，再求得狗所花的時(shí)間，那么狗跑的路程不就可以很簡(jiǎn)單地計(jì)算出來了嗎？很快就能算出狗跑了12千米。 沒見過這類題目的孩子，一開始肯定不會(huì)做，但一經(jīng)講解，就恍然大悟：“唉，我怎么沒想到！”這是一道典型的奧數(shù)題，起初的“難”與后來的“易”對(duì)比強(qiáng)烈，真是很奇妙，很有趣。 這個(gè)題目考查的就是能否很快抓住問題的實(shí)質(zhì)，將學(xué)過的知識(shí)靈活運(yùn)用。 做這樣的奧數(shù)題，我們不只是學(xué)到一個(gè)游戲的取勝技巧，更重要的是學(xué)會(huì)如何分析問題、解決問題，同時(shí)也利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。趣味性強(qiáng)是小學(xué)階段奧數(shù)的顯著特點(diǎn)。 2、奧數(shù)依然是數(shù)學(xué)，是課堂數(shù)學(xué)的拓展。 世界上最權(quán)威的分類法大概把數(shù)學(xué)分成了幾十個(gè)大類，一百多個(gè)小類。從小學(xué)高年級(jí)的一元一次方程開始算起，一直到高中畢業(yè)，在七八年的時(shí)間里，我們所涉及的數(shù)學(xué)類別也就是平面幾何、三角函數(shù)、線性方程（組）、解析幾何、立體幾何、集合論、不等式、數(shù)列等等。 作為數(shù)學(xué)教育，當(dāng)然應(yīng)該以這些內(nèi)容為主，因?yàn)樗鼈兪菙?shù)學(xué)的核心方法和領(lǐng)域，但是這些內(nèi)容就連初等數(shù)學(xué)的范疇也沒有完全覆蓋。 奧數(shù)中有我們平常數(shù)學(xué)課上所不講、也沒有時(shí)間去講的一些數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)內(nèi)容，比如圖論、組合數(shù)學(xué)、數(shù)論等等，還有很重要的數(shù)學(xué)思想，比如構(gòu)造思想、特殊化思想、化歸思想等等。 這些領(lǐng)域的基本方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用是不需要專門的數(shù)學(xué)工具的，其中所使用的數(shù)學(xué)方法和思路是平時(shí)課堂教學(xué)中較少涉及的，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生來說，涉獵這類知識(shí)，有利于培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，拓展他們的思維，增強(qiáng)思維的條理性，它們是對(duì)課堂教學(xué)的補(bǔ)充與擴(kuò)展。 在奧數(shù)里面，特別是小學(xué)中低年級(jí)奧數(shù)中，還有很多內(nèi)容是來自中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著的方法和思想，比如“盈虧問題”，比如“雞兔同籠”；還有如小學(xué)高年級(jí)或中學(xué)奧數(shù)中要介紹的“中國(guó)剩余定理”等等。 這其中凝聚了中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的超凡智慧，并且與西方的數(shù)學(xué)方程思想很不一樣，獨(dú)辟蹊徑，自成一派，這也是中華優(yōu)秀文化遺產(chǎn)的一部分。但這些內(nèi)容在常規(guī)的數(shù)學(xué)教學(xué)中也很少講解。 既然是為競(jìng)賽服務(wù)，當(dāng)然應(yīng)該有難度才行，它們是普通課堂內(nèi)容的深化和提高，不同的試題有多種不同的視角，需要有較深入的分析才可解答，這類考題可以考查學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度。 既然奧數(shù)是課堂數(shù)學(xué)的拓展，奧數(shù)競(jìng)賽是考查和選拔學(xué)生的重要手段，那么么，“難”就是必然的，這種“難”，不是基礎(chǔ)知識(shí)都還沒完全搞懂的“難”，更不是因?yàn)檫€沒有學(xué)過相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的“難”，而是雖然已經(jīng)學(xué)過并搞懂了基礎(chǔ)知識(shí)，但由于題目的巧妙、迷惑、曲折，使你很難發(fā)現(xiàn)很難想到的那種“難”。 現(xiàn)在我們可以大致地歸納一下：奧數(shù)就是有趣味的數(shù)學(xué)、有較大難度的數(shù)學(xué)、有好方法解決的數(shù)學(xué)、用來競(jìng)賽選拔的數(shù)學(xué)。 有專家學(xué)者對(duì)奧數(shù)的概念作了重要補(bǔ)充，據(jù)說他們經(jīng)過研究，只有5%左右的學(xué)生——學(xué)有余力，對(duì)數(shù)學(xué)興趣很濃且有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生——適合學(xué)習(xí)奧數(shù)，所以?shī)W數(shù)是只適合“少部分學(xué)有余力的學(xué)生”學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)。 這個(gè)說法應(yīng)該沒錯(cuò)，奧數(shù)確實(shí)比較難，也需要投入更多的時(shí)間，少數(shù)學(xué)有余力的學(xué)生，因?yàn)樗麄兝斫饽芰?qiáng)，學(xué)習(xí)的效率高，有多余的時(shí)間和精力可以投入奧數(shù)學(xué)習(xí)。 但是我們認(rèn)為有必要對(duì)專家學(xué)者的補(bǔ)充再補(bǔ)充一下：奧數(shù)的難度其實(shí)是有難有易、有深有淺的，需要投入的時(shí)間也是可多可少可以酌情掌握的，最適合的才是最好的。 作為家長(zhǎng)，應(yīng)該請(qǐng)懂奧數(shù)的人幫助判斷教材的難易，了解不同培訓(xùn)班的教學(xué)進(jìn)度，然后根據(jù)自家孩子的情況，決定選學(xué)什么深度、什么進(jìn)度的奧數(shù)。 這就像體操運(yùn)動(dòng)，少數(shù)有天賦的孩子可以學(xué)吊環(huán)、鞍馬、平衡木、高低杠等高難度運(yùn)動(dòng)，一般的孩子可以練習(xí)倒立、劈叉、簡(jiǎn)易的自由體操等等，“運(yùn)動(dòng)細(xì)胞”特別缺乏的孩子，學(xué)學(xué)廣播體操，做做前滾翻后滾翻也是會(huì)有收益的。 奧數(shù)也是一樣，所以從這個(gè)意義上講，只要掌握得好，奧數(shù)也是適合相當(dāng)一部分學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)。 注：本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自公眾號(hào)“北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心BICMR”（ID：BICMR-PKU）。 |
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