抽象數(shù)學概念的直觀想象，是從最基本的概念開始，用已經(jīng)習慣的具象，層層堆積建造而成。物理是描述現(xiàn)實的世界，其中的概念都經(jīng)事例反復喻解，而能直觀想象，任何認知的偏差，都以事實為依據(jù)來糾正。數(shù)學研究邏輯建構(gòu)的抽象世界，在那里公理和定義是最終的依據(jù)，定理是可信的構(gòu)件。數(shù)學為了強調(diào)邏輯推理是求證的唯一手段，防止學生誤用事實和想象作依據(jù)，多數(shù)課文故意剝離抽象概念來源的事例來避免過度想象，一切通過定義和邏輯證明。這樣的數(shù)學訓練嚴謹了，學生卻往往失去了有用的直觀。對于數(shù)學概念和定理，直觀想象因人而異使用的邊際不同，都不足為憑求真，只有邏輯證明才是可靠的，但有了它能將繽紛的美色編織成圖案，會指引你在這抽象世界里行走。正確的想象是由基礎(chǔ)概念和定理累積而成的，它必須在自己頭腦中通過邏輯證明的反復糾偏淬煉才有價值。

這篇用列向量和矩陣的具象，讓讀者回顧學過線性代數(shù)的基本概念，建立起基本圖像。這里常對一個概念從不同角度做不同的解讀，用心的讀者可從不同的方向看到圖像的不同側(cè)面。這些都是非?；镜?，大多是你已經(jīng)熟悉的，但也可能有你過去忽略的視角。

2.1列向量和矩陣

解析幾何告訴我們，幾何空間中一個點可以用它的坐標，也就是用一組數(shù)來表示。這組數(shù)也表示，從原點到這點的矢量分解在各坐標軸方向上的分量。用幾何的語言來說，坐標值即是向量在坐標軸上投影的長度；向量是坐標軸單位向量的線性組合，這線性組合的系數(shù)是這些投影分量的長度；包含著這些向量的幾何空間叫做向量空間。豎排著坐標值的一組數(shù)，稱為列向量，或統(tǒng)稱為向量；數(shù)組中每個數(shù)稱為它的分量。

列向量相加等于對應的分量相加；數(shù)乘等于它乘以向量的每個分量。用n個實數(shù)表示列向量的線性空間通常記為Rⁿ，其內(nèi)積等于兩個向量對應分量乘積后的總和，它是向量投影與投向向量長度的乘積。

用一個數(shù)組的列向量表示n維線性空間中向量，以此類比三維物理空間的矢量，從三維的物理空間來推想多維的線性空間；用列向量的內(nèi)積計算向量對另一個向量方向的投影長度，想象向量方向間的夾角；矩陣乘列向量，得到另一個列向量，這表示了線性算子的映射作用，不難用計算來驗證這個映射是線性的。

2.2矩陣運算

列向量和矩陣是線性代數(shù)中抽象概念的具體表達和運算手段。列向量可以看成僅有一列的矩陣，它的運算規(guī)則可以歸納在矩陣中來介紹。

矩陣是排列成矩形的一組數(shù)，m*n矩陣是m行n列的矩陣，m*n矩陣A=(a_ij)_mn和B=(b_ij)_mn相加是矩陣中相同位置的各元素相加，A+B=(a_ij+b_ij)_mn；數(shù)乘c則是c乘以矩陣A中的每一個元素cA=(ca_ij)_mn.

顯然，m*n矩陣相加及與數(shù)相乘仍然是m*n矩陣，這叫做對線性運算封閉，即m*n矩陣構(gòu)成了一個線性空間。一行數(shù)組是1*n的矩陣，稱為行向量；一列數(shù)組是m*1的矩陣，稱為列向量，它們分別也構(gòu)成了線性空間。雖然矩陣也構(gòu)成線性空間，一般我們都把線性空間的元素表示成向量的形式，而用矩陣表示線性空間中的線性算子。這是在向量和算子的坐標表示中，形成的約定。

m*n矩陣A與n*k矩陣D相乘AD是一個m*k的矩陣G=AD，其中G第i行第j列元素定義為A中第i行與D中第j列的內(nèi)積，G=(g_ij)_mk， 。

任意的矩陣相乘未必都有定義，相乘的矩陣，左邊矩陣的列數(shù)必須等于右邊矩陣的行數(shù)。在有定義的矩陣乘法中，顯然乘法的交換律是不成立的，但多個矩陣相乘，結(jié)合律是成立的。矩陣與向量的相乘可以看作矩陣相乘的特殊情況。

乘法的交換律不成立，這在矩陣乘法算法定義下導出，也許人們不覺為奇，但是把矩陣看成是一個數(shù)學的實體，看成是線性算子的數(shù)值表示，用一個字母符號代表它，解讀成一個物理變量，相乘交換律不成立，就與長期直觀形成標量的代數(shù)運算相沖突。這是矩陣給經(jīng)驗數(shù)學之人第一個深刻的習慣改變。如果你不經(jīng)意，錯誤的習慣會在以后繼續(xù)迷惑你。量子力學奠基人之一海森堡創(chuàng)立矩陣力學時，曾為此苦惱過，物理學者當時難以接受也因不習慣于此。

抽象代數(shù)運算，原則上可以定義不同的矩陣乘法，例如在m*n矩陣間定義同下標的元素相乘，實際上這種乘法在支持矩陣計算的軟件中，叫做元素運算（Element-Wise Operations），非常有用。但是通常的矩陣乘列向量的算法定義，來自線性方程組中算子對向量作用的表達，約定的矩陣乘法定義來自復合算子的表達，這個約定乘法的設(shè)計，構(gòu)建了線性代數(shù)的大廈。

2.3 基本圖像

歷史中，矩陣來自解線性方程組。往下看個具體的例子。

這是一個線性方程組。將方程左邊的系數(shù)，未知數(shù)和方程右邊的數(shù)，由矩陣乘法的定義，可以寫成矩陣的形式，則是：

分別用 A, x, b，記這三個矩陣。方程用這些符號可以表示如下：

列向量這一組數(shù)表示線性空間中一個向量，方程式子 表示矩陣A將向量x變成向量b。矩陣A的作用如同函數(shù)，實現(xiàn)一個映射，在空間中稱為算子。這是方程、矩陣和空間中向量間最基本的關(guān)系。

矩陣乘列向量，是矩陣作為一個線性算子把這列向量映射成另一個列向量，線性方程組用計算的細節(jié)反映了這種關(guān)系。注意方程的個數(shù)未必要等于未知數(shù)的個數(shù)，即它表示成的矩陣不一定是方陣。這個方程右邊的向量未必在映射算子的值域中，即解未必存在。即使它在值域中，也許它不只是一個映射的像，即解即使存在也未必是唯一的。你要從中學習慣的特殊情況中走出來。

從另一個角度，線性方程組的每一行對應著一個行向量與向量x的內(nèi)積計算，方程的右邊是內(nèi)積的值。它表示著向量間的投影關(guān)系。

兩個矩陣相乘既可以看成兩個線性算子的復合，也可以看成用右邊矩陣的列向量為線性組合的系數(shù)，在左邊矩陣的列向量上構(gòu)造出了一組的列向量，形成的另一個矩陣。

矩陣是數(shù)據(jù)的一種形式表示，其加法和乘法對應著它們元素間按它的規(guī)則運算。矩陣中的元素通常是一個數(shù)，但不限于此，它可以是任何數(shù)學實體，如矩陣、算符等，只要相應的元素間運算有意義。我們可以把矩陣分塊表示和運算，這有時可以帶來運算方便和解釋意義。例如上面的方程可以用分塊矩陣形式表示為：

     其中  

它表示方程右邊的向量是向量A₁，A₂，A₃的線性組合，x是這線性組合系數(shù)的那組數(shù)。把矩陣看成是排成一行的一組列向量，它乘右邊的列向量，相當于用右邊列向量的那組數(shù)把矩陣中的列向量線性組合成一個向量。解線性方程組可以看成求這個線性組合的系數(shù)。

2.4計算工具

從計算的角度，矩陣是排列成矩形的一組數(shù)，它們打包起來用一個數(shù)學符號代表以便于批量計算和引用。其加法和數(shù)乘來自向量空間的線性，而乘法的定義則為了適用于線性組合的表示。

矩陣在計算機里是個數(shù)組，可以用這個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，儲存諸如一張圖片的像素，一個代數(shù)方程的系數(shù)，一個季度銷售的列表和實驗的數(shù)據(jù)等等，在計算機語言中用一個變量來表示。它們間的運算，除了矩陣的加減乘除指數(shù)運算外，還可以定義分別對應于每個元素間的運算，例如兩矩陣的元素乘法和矩陣的初等函數(shù)計算。

矩陣的計算和圖像顯示在今日，已經(jīng)是非常基本的科研和工程的工具了。我們學習線性代數(shù)必須明白矩陣各種計算的含義和算法，通過筆算的練習掌握它。但實際工作中，如果還停留于手算，就像仍然停留在手工作業(yè)不能融入工業(yè)時代一樣的落后。

在21世紀，人機互動將成為最有效率的工作方式。過去直接引用數(shù)學定理來做科研，現(xiàn)在直接使用計算機中的軟件來協(xié)助。矩陣和圖像是一種非常通用的數(shù)據(jù)表達方式，已經(jīng)有許多的計算機軟件提供人機互動的界面和解釋程序為此工作。用于數(shù)學、統(tǒng)計、科學和工程中，基于矩陣計算最有名的軟件是MATLAB，這是個收費商業(yè)軟件。在你的手頭，如果沒買這個軟件，建議裝一個GNU免費軟件Octave，它的解釋程序語言與MATLAB幾乎一樣，而且功能非常相似。在你的學習中可以用它驗證計算，熟悉它用于工作。你可在GNU官網(wǎng)鏈接中下載這個免費軟件https://www./software/octave/

下面是在Octave（MATLAB也一樣）指令窗中，演示上述例子的線性方程組解的計算，以及用兩個和三個行向量分別表示二維和三維曲線100個點的坐標來畫圖。用戶在“>>”字符開始的行，打進指令，在那行下面，指令窗口直接打印出結(jié)果，如果在指令的末尾加上分號“；”，則不打印出結(jié)果，指令行中“%”后面是解釋文字。沒有用過這軟件的讀者，建議花幾個種頭讀一篇入門介紹的例子，如Introductionto Octave練習一遍。熟悉這類軟件的使用，就像過去學了數(shù)學有關(guān)的計算，要熟悉對數(shù)表，計算尺，計算器使用一樣的重要了。

在這例子畫出三維圖后，用戶還能用鼠標在圖上旋轉(zhuǎn)不同角度來觀察這個空間曲線。這幾個極其簡單的例子，目的是給讀者一個印象，用計算機可以很方便地進行矩陣計算和畫圖。它也是現(xiàn)代課程學習常用的工具。如果你還沒用過，不妨現(xiàn)在開始熟悉它。

（待續(xù)）