粒子對(duì)撞以某種方式與數(shù)學(xué)中的“主題”產(chǎn)生了聯(lián)系

20世紀(jì)40年代，理查德·費(fèi)曼（Richard Feynman）設(shè)計(jì)出了費(fèi)曼圖。費(fèi)曼圖中的線條代表基本粒子，它們會(huì)合于一處頂點(diǎn)（這代表了對(duì)撞），接著從那兒分離，代表對(duì)撞中出現(xiàn)的東西。那些線條要么獨(dú)自發(fā)射，要么再次會(huì)合。連鎖碰撞可以像一位物理學(xué)家敢于認(rèn)為的那么漫長(zhǎng)。

物理學(xué)家給示意圖添加上代表相關(guān)粒子質(zhì)量、動(dòng)量和方向的數(shù)字。接下來(lái)，他們開(kāi)始一段費(fèi)力的計(jì)算步驟——求這些量的積分，加上那個(gè)量，求這個(gè)量的平方。最終的結(jié)果是一個(gè)數(shù)，名叫費(fèi)曼概率，它量化了粒子對(duì)撞如示意圖中一樣進(jìn)行到底的概率。

“在某種程度上，費(fèi)曼發(fā)明了這種示意圖是為了把復(fù)雜的數(shù)學(xué)編碼成一種賬目登記方法?！奔又堇砉W(xué)院的一位理論物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家謝爾蓋·古科夫（Sergei Gukov）說(shuō)道。

費(fèi)曼圖多年以來(lái)一直服務(wù)于物理學(xué)家，不過(guò)它們也有局限之處。第一個(gè)局限是它需要嚴(yán)格的步驟。物理學(xué)家在追蹤越來(lái)越高能的粒子的對(duì)撞，這要求有更高的測(cè)量精確度——隨著精確度的提高，需要通過(guò)計(jì)算來(lái)得出預(yù)測(cè)結(jié)果的費(fèi)曼圖的復(fù)雜程度也隨之增加。

第二個(gè)局限是費(fèi)曼圖的更加基礎(chǔ)的性質(zhì)。費(fèi)曼圖建立在一條假定之上：越多潛在的粒子碰撞和次碰撞被囊括進(jìn)來(lái)的話，它們的數(shù)字預(yù)測(cè)值會(huì)更加準(zhǔn)確。這種計(jì)算步驟被稱(chēng)為“攝動(dòng)展開(kāi)”，對(duì)于電子的粒子對(duì)撞分析的效果非常好。（在這類(lèi)情況下，弱力和電磁力占據(jù)主導(dǎo)地位。）它對(duì)高能對(duì)撞分析——如質(zhì)子之間的對(duì)撞，在這種情形下，強(qiáng)核力占據(jù)上風(fēng)——效果就不怎么好。在這些案例中，囊括進(jìn)更廣泛范圍的碰撞——通過(guò)繪制更加錯(cuò)綜復(fù)雜的費(fèi)曼圖——事實(shí)上能讓物理學(xué)家誤入歧途。

“我們知道一個(gè)事實(shí)，到某個(gè)節(jié)骨眼上，費(fèi)曼圖開(kāi)始（與現(xiàn)實(shí)世界的物理學(xué)）產(chǎn)生分歧，”牛津大學(xué)的一位數(shù)學(xué)家弗朗西斯·布朗（Francis Brown）說(shuō)道，“我們所不知道的是，如何估量到哪個(gè)節(jié)骨眼時(shí)應(yīng)該停止計(jì)算示意圖?！?/p>

然而，我們有理由保持樂(lè)觀。在最近十年里，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家已經(jīng)在探索一種讓人驚訝的通信方式，有可能會(huì)讓可敬的費(fèi)曼圖獲得新生，在物理和數(shù)學(xué)兩個(gè)領(lǐng)域都產(chǎn)生影響深遠(yuǎn)的洞見(jiàn)。這與一項(xiàng)奇特的事實(shí)有關(guān)，即從費(fèi)曼圖中計(jì)算得出的數(shù)值看起來(lái)正好與一個(gè)名叫“代數(shù)幾何學(xué)”的數(shù)學(xué)分支中出現(xiàn)的一些最重要數(shù)字相匹配。這些值被稱(chēng)為“主題周期”（periods of motives），而且沒(méi)有明顯的原因表明為何相同的數(shù)字要出現(xiàn)在兩種背景中。實(shí)際上，這點(diǎn)的奇特程度堪比你每次測(cè)量一杯稻米，觀察到稻米的數(shù)量都是質(zhì)數(shù)這種假設(shè)情況。

“從自然到代數(shù)幾何學(xué)再到周期，存在著一種聯(lián)系，以后知之明來(lái)看，這并非巧合。”柏林洪堡大學(xué)物理學(xué)家迪爾克·克賴(lài)默（Dirk Kreimer）說(shuō)道。

如今，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家正在合力解開(kāi)這種巧合。對(duì)于數(shù)學(xué)家而言，物理學(xué)讓一類(lèi)特別的數(shù)字引起了他們的注意，他們想要弄明白這些發(fā)生在物理學(xué)中的周期是否有著一種隱藏的結(jié)構(gòu)？這類(lèi)數(shù)可能擁有什么特殊的性質(zhì)？對(duì)于物理學(xué)家而言，那類(lèi)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟的回報(bào)會(huì)是一種全新的先見(jiàn)，幫助預(yù)期某些事件在紊亂的量子世界會(huì)如何運(yùn)行。

再現(xiàn)的主題

今時(shí)今日，周期是數(shù)學(xué)中最抽象的研究主題之一，但它們一開(kāi)始誕生是出于更具體的利害關(guān)系。17世紀(jì)早期，伽利略·伽利萊等科學(xué)家饒有興趣地琢磨要如何計(jì)算鐘擺完成一次擺動(dòng)所需的時(shí)間長(zhǎng)度。他們意識(shí)到，計(jì)算可以歸結(jié)為取得一個(gè)函數(shù)的積分（一種無(wú)限項(xiàng)和），這個(gè)函數(shù)里包含了有關(guān)鐘擺長(zhǎng)度和釋放角度的信息。同時(shí)，約翰內(nèi)斯·開(kāi)普勒使用類(lèi)似的計(jì)算方法，確定了一顆行星要繞著太陽(yáng)周轉(zhuǎn)所需的時(shí)間。他們稱(chēng)這些度量值為“周期”，確定它們是與運(yùn)動(dòng)相關(guān)的最重要測(cè)量值之一。

在18和19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們普遍變得有興趣來(lái)研究周期這回事——不僅是因?yàn)橹芷谂c鐘擺或行星有關(guān)，也是因?yàn)閷?duì)x2+2x-6和3x3-4x2-2x+6多項(xiàng)函數(shù)求積分而生成的一類(lèi)數(shù)。在一個(gè)多世紀(jì)的時(shí)間里，諸如卡爾·弗里德里?！じ咚?/strong>和萊昂哈德·歐拉等著名數(shù)學(xué)家探索了周期的領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)它包含了許多特征，指向某種潛在的秩序。在某種意義上，代數(shù)幾何學(xué)——它是研究多項(xiàng)式方程的幾何形式——在20世紀(jì)作為一種追蹤那種隱藏結(jié)構(gòu)的方法而得以發(fā)展。

20世紀(jì)60年代，這一努力獲得快速發(fā)展。在那時(shí)，數(shù)學(xué)家已經(jīng)完成了他們經(jīng)常會(huì)做的事情：他們把方程式這類(lèi)相對(duì)具體的對(duì)象轉(zhuǎn)變成更為抽象的對(duì)象，他們希望這樣會(huì)允許他們確定起初并不明顯的關(guān)系。

這一步驟首先是要研究多項(xiàng)式函數(shù)類(lèi)型的解所定義的幾何對(duì)象（也被稱(chēng)為代數(shù)簇），而不是研究函數(shù)本身。接下來(lái)，數(shù)學(xué)家們?cè)噲D理解這些幾何對(duì)象的基本性質(zhì)。為了達(dá)成這個(gè)目的，他們發(fā)展了一種被稱(chēng)為上同調(diào)理論的工具——用這種方式能確定幾何對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征，又不用考慮用來(lái)生成對(duì)象的特定多項(xiàng)式方程。

到了20世紀(jì)60年代，上同調(diào)理論已經(jīng)激增到了開(kāi)枝散葉的程度——奇異上同調(diào)、德拉姆上同調(diào)、平展上同調(diào)，諸如此類(lèi)。看起來(lái)每個(gè)人都對(duì)代數(shù)簇的最重要特征有著不同的看法。

在這片混亂的研究領(lǐng)域，2014年過(guò)世的前沿?cái)?shù)學(xué)家亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）意識(shí)到，所有上同調(diào)理論都是同一樣?xùn)|西的不同版本。

“格羅滕迪克觀察到的東西是，在代數(shù)簇的例子里，無(wú)論你如何計(jì)算這些不同的上同調(diào)理論，你總是不知怎么地發(fā)現(xiàn)相同的答案?！?strong>弗朗西斯·布朗說(shuō)。

這個(gè)相同的答案是所有這些上同調(diào)理論核心的獨(dú)一無(wú)二的東西，被格羅滕迪克稱(chēng)之為“motive”?！霸谝魳?lè)中，motive的意思是再三出現(xiàn)的主題。對(duì)于格羅滕迪克而言，主題是以不同形式反復(fù)出現(xiàn)、但其實(shí)一模一樣的東西?！?strong>皮埃爾·卡蒂埃（Pierre Cartier）說(shuō)道，他是一位在法國(guó)高等科學(xué)研究所工作的數(shù)學(xué)家，也是格羅滕迪克的昔日同事。

主題在某種意義上來(lái)說(shuō)是多項(xiàng)式方程的基本建筑材料，正如質(zhì)因子是更大的數(shù)的基本成分。主題也有與它們相關(guān)的數(shù)據(jù)。正如你可以把物質(zhì)分解成元素，指明每種元素的特征——原子數(shù)、原子質(zhì)量，諸如此類(lèi)——數(shù)學(xué)家們也把本質(zhì)的測(cè)度歸屬于某個(gè)主題。在這些測(cè)度中，最重要的一項(xiàng)是主題的周期。假如某個(gè)多項(xiàng)式方程的系統(tǒng)中產(chǎn)生的主題的周期等同于另一個(gè)不同系統(tǒng)中產(chǎn)生的主題的周期，你就知道這兩個(gè)主題是一樣的。

“一旦你知道了周期（這是特定的數(shù)字），那幾乎等于知道了主題本身?！迸＝虼髮W(xué)的一位數(shù)學(xué)家金明迥（Minhyong Kim）說(shuō)道。

要看到相同的周期在出人意料的背景下出現(xiàn)，一個(gè)直接的方式是看π的情況?！斑@是獲得周期的最著名的例子?！?strong>卡蒂埃說(shuō)道。π在幾何學(xué)的許多偽裝中出現(xiàn)：在定義單維圓的函數(shù)的積分中，在定義雙維圓的函數(shù)的積分中，在定義球體的函數(shù)的積分中。這個(gè)相同的值會(huì)在看起來(lái)如此不同的積分中反復(fù)出現(xiàn)，對(duì)于古代的思想家來(lái)說(shuō)，這很可能是個(gè)謎團(tuán)?！艾F(xiàn)代的解釋是，球體和實(shí)心圓有著相同的主題，因此必定有著基本上相同的周期?！?strong>布朗在一封電郵中寫(xiě)道。

費(fèi)曼的艱辛之路

如果說(shuō)在很久以前，好奇的頭腦想要知道為什么π這類(lèi)數(shù)值在圓形和球體的計(jì)算中突然出現(xiàn)，那么今天的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們會(huì)想要知道為什么那些值在不同種類(lèi)的幾何對(duì)象（費(fèi)曼圖）中出現(xiàn)。

費(fèi)曼圖有著基本的幾何學(xué)特征，由線段、射線和頂點(diǎn)構(gòu)成。為了理解它們是如何構(gòu)造的，它們?yōu)楹卧谖锢韺W(xué)上有用處，請(qǐng)想象一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)安排，一個(gè)電子與一個(gè)正電子對(duì)撞，生成一個(gè)渺子和一個(gè)反渺子。為了計(jì)算這種結(jié)果發(fā)生的概率，一名物理學(xué)家會(huì)需要知道每個(gè)入射粒子的質(zhì)量和動(dòng)量，也要對(duì)粒子所沿的路徑有所了解。在量子力學(xué)中，粒子所走的路徑可以想成是它可能遵循的所有可能路徑的平均。計(jì)算那條路徑變成了對(duì)所有路徑的集合求積分，這個(gè)積分被稱(chēng)為費(fèi)曼路徑積分。

粒子對(duì)撞從開(kāi)始到結(jié)束可能遵循的每一條路徑能用一張費(fèi)曼圖來(lái)代表，每一張費(fèi)曼圖都有它與自身相關(guān)的積分。（費(fèi)曼圖與它的積分是等同的。）要從一組特定的起始情況中計(jì)算某種特定的結(jié)果的發(fā)生概率，得要考慮能描述對(duì)撞過(guò)程的所有可能的費(fèi)曼圖，求得每個(gè)積分，再把那些積分相加。那個(gè)數(shù)字是費(fèi)曼圖的振幅。物理學(xué)家接著求這個(gè)數(shù)的平方，獲得概率。

對(duì)于一個(gè)電子和一個(gè)正電子入射、一個(gè)渺子和一個(gè)反渺子射出的情況，這個(gè)計(jì)算步驟很容易執(zhí)行。但那屬于無(wú)聊的物理學(xué)。物理學(xué)家真正關(guān)心的實(shí)驗(yàn)是和帶圈的費(fèi)曼圖有關(guān)的實(shí)驗(yàn)。所謂的圈代表這種情況：粒子射出后重新吸收額外的粒子。當(dāng)一個(gè)電子與一個(gè)正電子對(duì)撞，在最終的那對(duì)渺子和反渺子出現(xiàn)之前，可能有無(wú)數(shù)次的中間碰撞發(fā)生。在這些中間碰撞中，光子之類(lèi)新粒子被創(chuàng)造出來(lái)，它們?cè)诒挥^察到之前就湮滅了。入射和射出的粒子與之前描述中一樣，但事實(shí)是那些沒(méi)有被觀察到的碰撞仍然對(duì)最終產(chǎn)物有著細(xì)微的影響。

“這就像Tinkertoy玩具。一旦你畫(huà)了一幅費(fèi)曼圖，根據(jù)理論規(guī)則，你就能連接上更多線條?！?strong>弗利普·塔尼多（Flip Tanedo）說(shuō)道，他是加州大學(xué)河濱分校的一位物理學(xué)家，“你可以連上更多的短棒、更多的節(jié)點(diǎn)，讓它變得更加復(fù)雜?！?/p>

通過(guò)把圈考慮進(jìn)去，物理學(xué)家們提高了實(shí)驗(yàn)的精確度。（增加1圈就像把1個(gè)值計(jì)算到重要的位數(shù)。）但他們每次增加1圈，需要考慮的費(fèi)曼圖的數(shù)量——相應(yīng)的積分的難度——隨之急劇增加。譬如說(shuō)，一個(gè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的2圈版本可能只需要1張費(fèi)曼圖。同個(gè)系統(tǒng)的兩圈版本需要7張費(fèi)曼圖。3圈版本就需要72張費(fèi)曼圖。增加到5圈的話，計(jì)算要求考慮大約12 000個(gè)積分——這個(gè)計(jì)算量簡(jiǎn)直要用幾年時(shí)間來(lái)解決。

相比于費(fèi)力地計(jì)算這么多乏味的積分，物理學(xué)家會(huì)想要光看下某個(gè)給定的費(fèi)曼圖的結(jié)構(gòu)，就能對(duì)最終的振幅有所感覺(jué)——正如數(shù)學(xué)家可以將周期與主題建立聯(lián)系。

“這個(gè)步驟如此復(fù)雜，積分是如此困難，所以我們想要做的事是只用看一眼費(fèi)曼圖，就能窺見(jiàn)最終的答案，最終的周期積分。”布朗說(shuō)。

令人驚訝的關(guān)聯(lián)

1994年，周期和振幅被首次呈現(xiàn)在一起，這是迪爾克·克賴(lài)默和英國(guó)公開(kāi)大學(xué)的一位物理學(xué)家大衛(wèi)·布羅德赫斯特（David Broadhurst）合作的成果，他們?cè)?995年發(fā)表了一篇論文。這一工作讓數(shù)學(xué)家們推斷，所有振幅都是混合泰特主題的周期，泰特主題是一種以哈佛大學(xué)榮休教授約翰·泰特（John Tate）命名的特定主題，其中所有周期都是數(shù)論中最具影響力的黎曼ζ函數(shù)的多值。在1對(duì)電子-正電子入射、1對(duì)渺子和反渺子射出的情況下，振幅的主要部分結(jié)果是黎曼ζ函數(shù)在賦值為3時(shí)計(jì)算結(jié)果的6倍。

假如所有振幅都乘以ζ值，這會(huì)給予物理學(xué)家一類(lèi)定義良好的數(shù)字，讓他們可以著手工作。但在2012年，布朗與他的合作者奧利弗·施內(nèi)茨（Oliver Schnetz）證明實(shí)情不是那樣。盡管今日的物理學(xué)家們遇到的所有振幅都可能是混合泰特主題的周期，“有一些怪物潛藏在暗處，會(huì)給研究造成阻礙?！辈祭收f(shuō)，那些怪物“肯定是周期，但它們不是人們所企盼的那種美妙和簡(jiǎn)單的周期?！?/p>

物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家們確鑿知道的是，看起來(lái)費(fèi)曼圖的圈數(shù)和數(shù)學(xué)中稱(chēng)為“權(quán)”的概念之間存在著關(guān)聯(lián)。權(quán)是一個(gè)與被積分空間的維度有關(guān)的數(shù)字：在一維空間上的周期積分可以有0，1或2的權(quán)；在二維空間上的周期積分可以有最高為4的權(quán)，依此類(lèi)推。權(quán)也可以用來(lái)把周期分成不同類(lèi)型：所有權(quán)為0的周期據(jù)推測(cè)是代數(shù)數(shù)，可能是多項(xiàng)式方程的解（這還未被證明）；鐘擺的周期的權(quán)總是為1；π是權(quán)為2的周期；黎曼ζ函數(shù)的值的權(quán)總是為輸入值的2倍（所以ζ函數(shù)在賦值為3時(shí)有著為6的權(quán)）。

這種依照權(quán)對(duì)周期的分類(lèi)可以沿用到費(fèi)曼圖上，費(fèi)曼圖中的圈數(shù)不知為何與它的振幅的權(quán)相關(guān)。沒(méi)有圈的費(fèi)曼圖有著權(quán)為0的振幅；帶1圈的費(fèi)曼圖的振幅都是混合泰特主題的周期，有著至多為4的權(quán)。對(duì)于圈數(shù)更高的費(fèi)曼圖，數(shù)學(xué)家們懷疑這種關(guān)系會(huì)延續(xù)下去，盡管他們還無(wú)法窺見(jiàn)其中的奧秘。

“我們研究到更高的圈數(shù)，我們看見(jiàn)更為普遍類(lèi)型的周期，”克賴(lài)默說(shuō)道，“數(shù)學(xué)家對(duì)此真的很感興趣，因?yàn)樗麄儗?duì)不屬于混合泰特主題的主題了解不多?！?/p>

數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們目前在前溯后推，試圖為這個(gè)問(wèn)題建立范圍，尋找精巧的解答。數(shù)學(xué)家們向物理學(xué)家們推薦使用函數(shù)（和它們的積分）來(lái)描述費(fèi)曼圖。物理學(xué)家構(gòu)思出粒子對(duì)撞的配置方案，以此來(lái)超越數(shù)學(xué)家得要提供的方程。“看到他們那么快地吸收相當(dāng)具有技術(shù)性的數(shù)學(xué)想法，這點(diǎn)讓人驚奇，”布朗說(shuō)，“我們已經(jīng)用完了經(jīng)典的數(shù)和方程，沒(méi)什么好給物理學(xué)家了?！?/p>

大自然的群

自從微積分在17世紀(jì)創(chuàng)立起，在物理學(xué)世界中出現(xiàn)的數(shù)字推動(dòng)了數(shù)學(xué)進(jìn)步。如今也是這樣。事實(shí)是，從物理學(xué)中得出的周期“有點(diǎn)上帝賜予的味道，來(lái)自于物理學(xué)理論意味著它們有許多結(jié)構(gòu)，一位數(shù)學(xué)家一定不會(huì)想到或試圖創(chuàng)造的便是結(jié)構(gòu)。”布朗說(shuō)道。

克賴(lài)默補(bǔ)充說(shuō)：“看起來(lái)，大自然想要的周期是比數(shù)學(xué)家能定義的周期更小的集合，但我們無(wú)法非常清楚地定義這個(gè)子集其實(shí)是什么。”

布朗指望能證明有一種數(shù)學(xué)群——一種伽羅瓦群——對(duì)來(lái)自費(fèi)曼圖的周期集合發(fā)揮影響?！霸谥两衩恳粋€(gè)被計(jì)算過(guò)的案例中，這種解答看起來(lái)都很正確?！彼f(shuō)道，但要證明這種關(guān)系絕對(duì)成立仍然是遙不可及的事情?！凹偃邕@是真的，確實(shí)存在一個(gè)群對(duì)出自物理學(xué)的數(shù)施加影響力，那意味著你尋找到一類(lèi)數(shù)目龐大的對(duì)稱(chēng)?！辈祭收f(shuō)，“假如那是真的，那么下一步是探問(wèn)為何存在這么大的對(duì)稱(chēng)群，它可能具有什么潛在的物理學(xué)含義?！?/p>

此外，它會(huì)從兩個(gè)十分不同的背景下加深基礎(chǔ)幾何構(gòu)造間早已存在的刺激關(guān)系：一個(gè)是主題，它是數(shù)學(xué)家在50年前設(shè)計(jì)出的，為的是理解多項(xiàng)式方程的解答；一個(gè)是費(fèi)曼圖，它是對(duì)粒子對(duì)撞如何進(jìn)行的圖解呈現(xiàn)。每一張費(fèi)曼圖都有附著的主題，但某個(gè)主題的結(jié)構(gòu)對(duì)于相關(guān)費(fèi)曼圖的結(jié)構(gòu)到底能告訴我們什么內(nèi)容，這點(diǎn)仍然未知，有待各位的猜想。

思 羽/編譯 世界科學(xué)

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