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勾 股定理刻畫的是直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系，而折疊問題的實(shí)質(zhì)是軸對稱，那么，勾股定理與折疊問題之間又有著怎樣的不解之緣呢？讓我們一起走進(jìn)本次探索之旅. 1.直角三角形中的折疊 例1 如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=5cm,BC=10cm,將△ABC折疊，使得B與A重合，折痕為DE,則CD的長為________.  分析： 折疊意味著軸對稱，折疊前后的圖形全等，會生成相等的線段和角，這樣便于將條件集中，如果題目中有直角，則通常將條件集中于直角三角形中，便可利用勾股定理求解。 解：設(shè)CD=xcm,則DB=(10-x)cm,如圖  由題意，根據(jù)折疊的性質(zhì)， △ADE≌△BDE, 則AD=BD=10-x, 且 AC=5. 在Rt△ACD中，由勾股定理得， AD2=AC2 CD2， （10-x）2=52 x2, x=15/4. 2.矩形中的折疊 例2 如圖所示，將長方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點(diǎn)D落在BC邊的F處。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的長。  分析：此題與例1相比，直角三角形比較多，究竟把條件集中到哪一個(gè)直角三角形中呢？明確EC在Rt△EFC中，把重點(diǎn)放到Rt△EFC的三條邊上. 解： 根據(jù)折疊可以知道△AFE≌△ADE，其中AF=AD=10cm，EF=ED， ∠AFE=90°，并且EF＋EC=DC=8cm。  在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理可以得出BF=6cm，則FC=4cm， 在Rt△FEC中，可以設(shè)EC=xcm，則EF=(8－x)cm， 根據(jù)勾股定理可以得EC2＋FC2=EF2， 即x2＋42=（8－x）2,x=3， ∴EC的長為3cm. 方法小結(jié)： 1.利用折疊，找全等三角形，找對應(yīng)相等的邊； 2.標(biāo)出題目中的已知線段，設(shè)出要求的線；段，標(biāo)出題目中所有可以表示出的線段； 3.找直角三角形，建立等量關(guān)系； 4.列方程，解方程。 其他常見折疊方法       在求解上述折疊問題的過程中，通常在藍(lán)色三角形中建立等量關(guān)系求解，三個(gè)圖中的綠色三角形都是等腰三角形，通常用于線段長度的代換。  中考直擊 （2011 威海）如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK. ⑴若∠1=70°，求∠MKN的度數(shù)； ⑵△MNK的面積能否小于1/2？若能，求出此時(shí)∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由； ⑶如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值. 回復(fù) 2011威海 查看參考解答 |
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