史寧中

史寧中，東北師范大學(xué)資深教授，博士研究生導(dǎo)師，國內(nèi)著名數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家和教育家，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長，教育部中小學(xué)教材審查委員，曾任國務(wù)院學(xué)位委員會(huì)學(xué)科評議組成員、教育部科學(xué)技術(shù)委員會(huì)數(shù)理學(xué)部委員、中國概率統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)副理事長、東北師范大學(xué)校長。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通常說的等量替換、數(shù)形結(jié)合、遞歸法、換元法等，可以稱為數(shù)學(xué)思想方法，但不是數(shù)學(xué)基本思想。因?yàn)樵谑稣f這些概念的時(shí)候，必然要依附于某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，因此這些概念在本質(zhì)上是個(gè)案而不是一般。此外，這些概念也不是最基本的，比如關(guān)于等量替換，人們可以進(jìn)一步追問：為什么可以在計(jì)算的過程中進(jìn)行等量替換呢？這就意味著，作為一種方法，等量替換可以用其他的更為基本的原理推演出來。為此，需要建立判斷數(shù)學(xué)基本思想的原則。我們建立兩個(gè)原則：

第一個(gè)原則，數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展所必須依賴的那些思想。

第二個(gè)原則，學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具有的基本思維特征。

根據(jù)這兩個(gè)原則，我們把數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個(gè)核心要素：抽象、推理、模型。這三者對于數(shù)學(xué)的作用以及相互之間的關(guān)系大體是這樣的：通過抽象，人們把現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)的研究對象，思維特征是抽象能力強(qiáng)；通過推理，人們從數(shù)學(xué)的研究對象出發(fā)，在一些假設(shè)條件下，有邏輯地得到研究對象的性質(zhì)以及描述研究對象之間關(guān)系的命題和計(jì)算結(jié)果，促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，思維特征是邏輯推理能力強(qiáng)；通過模型，人們用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造的語言、符號(hào)和方法，描述現(xiàn)實(shí)世界中的故事，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，思維特征是表述事物規(guī)律的能力強(qiáng)。

當(dāng)然，針對具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不可能把三者截然分開，特別是不能把抽象與推理、抽象與模型截然分開。在推理的過程中，往往需要從已有的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，抽象出那些并不是直接來源于現(xiàn)實(shí)世界的概念和運(yùn)算法則；在構(gòu)建模型的過程中，往往需要在錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)背景中抽象出最為本質(zhì)的關(guān)系，并且用數(shù)學(xué)的語言予以表達(dá)。反之，抽象的過程往往需要借助邏輯推理；通過推理判斷概念之間的關(guān)系，判斷什么是命題的獨(dú)立性，什么是命題的相容性，最終抽象出公理體系；在眾多個(gè)案的運(yùn)算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過推理驗(yàn)證什么是最本質(zhì)的規(guī)律，最終用抽象的符號(hào)表達(dá)一般性的運(yùn)算法則。因此，在數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的過程中，抽象、推理、模型這三者之間常常是你中有我，我中有你。

原文引自史寧中著《數(shù)學(xué)基本思想18講》，北京師范大學(xué)出版社2016年出版，有刪節(jié)。

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