三角換元是一種用三角函數(shù)中的角度θ代替問題中的字母參數(shù)，然后利用三角函數(shù)之間的關(guān)系而達到解題目的的一種換元方法，此方法應(yīng)用非常廣泛，本文主要介紹利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1及其變形形式，來處理多元代數(shù)式的最值或取值范圍問題．

例1　已知實數(shù)x,y滿足x2?4y2=4，則|x|?|y|的最小值是______．
——提問者：耿耿 2016-10-24 23:31

分析　題中代數(shù)式x2?4y2=4是平方差為常數(shù)的形式，可以考慮利用三角代換處理．

解?。ń獯鹫撸?strong>耿耿）題中代數(shù)式可變形為(x2)2?y2=1，令|x2|=1cosθ,|y|=tanθ,其中θ∈[0,π2)，則 |x|?|y|=2cosθ?tanθ=2?sinθcosθ,

表示點(0,2)與單位圓x2+y2=1,x∈(0,1]上的點連線的斜率的相反數(shù)，如下圖：
因此，可計算得斜率的范圍為(?∞,?√3]，故題中所求代數(shù)式的最小值為√3．

例2　設(shè) x,y為實數(shù)，若x2?xy+y2=1，求x+2y的取值范圍．
——提問者：meiyun 2016-08-24 10:37

分析　聯(lián)想到sin2θ+cos2θ=1，考慮將題中x2?xy+y2=1變形，然后用三角換元進行求解．

解　（解答者：燕子）題中等式可化為(x?y2)2+(√32y)2=1,進行三角換元，令{x?y2=cosθ,√32y=sinθ,其中θ∈[0,2π)，解得{x=1√3sinθ+cosθ,y=2√3sinθ,所以x+2y=5√3sinθ+cosθ=√253+1sin(θ+φ),其中sinφ=√2114,cosφ=5√714．
因此，x+2y的取值范圍為[?2√213,2√213]．

總結(jié)
(1)常用于三角換元的三角恒等式有sin2θ+cos2θ=1,1cos2θ?tan2θ=1,1sin2θ?1tan2θ=1.(2) 利用三角恒等式，可將多元代數(shù)式的變元用θ代替，進而使變元減少，然后再結(jié)合輔助角公式等方式求最值或范圍即可．
(3)三角換元是換元法的一種，換元后一定注意新變元的范圍，也就是需要根據(jù)題意給出θ的合理范圍；

練習(xí)
1．設(shè)x,y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______．
——提問者：大雨瓢潑 2016-08-21 10:20

2．已知非零實數(shù)x,y恒滿足 3x2+4xy?λ(x2+y2)，則實數(shù)λ的最小值為______．
——提問者：連殳輕癲 2016-08-21 15:05

3．已知實數(shù)x,y滿足x2+y2?xy=2，則x2+y2+xy的取值范圍為______．
——提問者：意琦行 2016-07-07 10:08

答案
1．√85；
2．4；
3．[23,6]．

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