2016-2017學(xué)年湖南省益陽市高三（上）9月調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．若z=（a²﹣1）+（a﹣1）i為純虛數(shù)，其中a∈R，則等于（ ）

A．﹣i B．i C．1 D．1或i

【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．

【分析】由純虛數(shù)的定義得a=﹣1，從而=，由此利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則能求出的值．

【解答】解：∵z=（a²﹣1）+（a﹣1）i為純虛數(shù)，其中a∈R，

∴，解得a=﹣1，

∴====i．

故選：B．

2．設(shè)A、B是兩個集合，則“A∩B=A”是“A?B”的（ ）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

【分析】直接利用兩個集合的交集，判斷兩個集合的關(guān)系，判斷充要條件即可．

【解答】解：A、B是兩個集合，則“A∩B=A”可得“A?B”，

“A?B”，可得“A∩B=A”．

所以A、B是兩個集合，則“A∩B=A”是“A?B”的充要條件．

故選：C．

3．設(shè)a=1.7^0.3，b=log₃0.2，c=0.2⁵，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）

A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a

【考點】對數(shù)值大小的比較．

【分析】化簡成底數(shù)相同，如果底數(shù)無法化成同底數(shù)，則利用中間值，再利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．

【解答】解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，底數(shù)大于1時，是增函數(shù)，指數(shù)越大，函數(shù)值越大．

∵a=1.7^0.3＞1.7⁰=1，∴a＞1．

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，底數(shù)大于1時，是增函數(shù)，真數(shù)越大，函數(shù)值越大．

∵b=log₃0.2，∴b＜0．

c=0.2⁵=，∴0＜c＜1．

所以：b＜c＜a

故選：D

4．從一個邊長為2的等邊三角形的中心、各邊中點及三個頂點這7個點中任取兩個點，則這兩點間的距離小于1的概率是（ ）

A． B． C． D．

【考點】幾何概型．

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，分別求出任取兩個點間的距離，然后求出這7個點中任取兩個點的所有種數(shù)，找到滿足兩點間的距離小于1的種數(shù)，根據(jù)概率公式計算即可．

【解答】解：如圖，△ABC為等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別為BC，AC，AB上中點，交點為O，

∴AB=BC=AC=2，AD=BE=CF=，EF=DE=DF=1，AE=CE=AF=BF=BD=CD=1，A0=BO=CO=，OD=OE=OF=，

由這7個點中任取兩個點共有C₇²=21種，其中這兩點間的距離小于1只能是OD，OE，OF共三種，

故這兩點間的距離小于1的概率是=，

故選：A．

5．在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₅+a₁₀=12，則3a₇+a₉=（ ）

A．12 B．18 C．24 D．30

【考點】等差數(shù)列的通項公式．

【分析】由等差數(shù)列的通項公式得2a₁+13d=12，由此能求出3a₇+a₉的值．

【解答】解：∵在等差數(shù)列{a_n}中，a₅+a₁₀=12，

∴2a₁+13d=12，

3a₇+a₉=3（a₁+6d）+a₁+8d=4a₁+26d=2（a₁+13d）=2×12=24．

故選：C．

6．已知（ax+1）⁶的二項展開式中含x³項的系數(shù)為，則a的值是（ ）

A． B． C． D．2

【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．

【分析】先求得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得含x³項的系數(shù)，于是可是得到關(guān)于a的方程解得即可．

【解答】解：二項式的展開式的通項公式為T_r+1=C₆^r·a^r·x^r，

令r=3，故開式中含x³項系數(shù)為C₆³·a³=，

解得a=，

故選：C．

7．三角函數(shù)y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分別為（ ）

A．， B．，π C．， D．，π

【考點】y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義．

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及兩角和的正弦函數(shù)公式、余弦函數(shù)公式化簡函數(shù)解析式為y=cos（2x+），然后求解最小正周期和振幅．

【解答】解：∵y=sin（﹣2x）+cos2x

=cos2x﹣sin2x+cos2x

=cos2x﹣sin2x

=cos（2x+），

∴三角函數(shù)y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分別為：，π．

故選：B．

8．一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）

A．1 B．3 C．6 D．2

【考點】由三視圖求面積、體積．

【分析】幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底邊的腰是2，一條側(cè)棱與底面垂直，這條側(cè)棱長是2，

【解答】解：由三視圖知，幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個直角梯形，

直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底邊的腰是2，

一條側(cè)棱與底面垂直，這條側(cè)棱長是2，

∴四棱錐的體積是=2，

故選D．

9．給出一個如圖所示的程序框圖，若要使輸入的x的值一輸出的y的值相等，則x的可能值的個數(shù)為（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【考點】選擇結(jié)構(gòu)．

【分析】由已知的程序框圖，我們可得該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù)y=的值，結(jié)合輸入的x值與輸出的y值相等，我們分類討論后，即可得到結(jié)論．

【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，

再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是計算并輸出分段函數(shù)y=的值

又∵輸入的x值與輸出的y值相等

當(dāng)x≤2時，x=x²，解得x=0，或x=1

當(dāng)2＜x≤5時，x=2x﹣3，解得x=3，

當(dāng)x＞5時，x=，解得x=±1（舍去）

故滿足條件的x值共有3個

故選C．

10．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左，右焦點，現(xiàn)以F₂為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點M，N，若過F₁的直線MF₁是圓F₂的切線，則橢圓的離心率為（ ）

A．﹣1 B．2﹣ C． D．

【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．

【分析】由已知條件推導(dǎo)出|MF₂|=c，|F₁F₂|=2c，∠F₁MF₂=90°，從而得到|MF₁|=，由此能求出橢圓的離心率．

【解答】解：∵F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左，右焦點，

現(xiàn)以F₂為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點M，N，

過F₁的直線MF₁是圓F₂的切線，

∴|MF₂|=c，|F₁F₂|=2c，∠F₁MF₂=90°，

∴|MF₁|==，

∴2a=，

∴橢圓的離心率e===．

故選：A．

11．設(shè)兩個向量=（λ+2，λ²﹣cos²α）和=（m， +sinα），其中λ，m，α為實數(shù)．若=2，則的取值范圍是（ ）

A．[﹣1，6] B．[﹣6，1] C．（﹣∞，] D．[4，8]

【考點】平面向量數(shù)量積的運算．

【分析】根據(jù)向量相等的概念，向量相等，即向量的橫縱坐標(biāo)相等，可哪λ用m表示，所以可化簡為2﹣，所以只需求的范圍即可，再利用向量相等得到的關(guān)系式，把m用α的三角函數(shù)表示，根據(jù)三角函數(shù)的有界性，求出m的范圍，就可得到的范圍．

【解答】解：∵ =2，

∴λ+2=2m，①λ²﹣cox²α=m+2sinα．②

∴λ=2m﹣2代入②得，4m²﹣9m+4=cox²α+2sinα=1﹣sin²α+2sinα

=2﹣（sinα﹣1）²

∵﹣1≤sinα≤1，∴0≤（sinα﹣1）²≤4，﹣4≤﹣（sinα﹣1）²≤0

∴﹣2≤2﹣（sinα﹣1）²≤2

∴﹣2≤4m²﹣9m+4≤2

分別解4m²﹣9m+4≥﹣2，與4m²﹣9m+4≤2得，≤m≤2

∴≤≤4

∴==2﹣

∴﹣6≤2﹣≤1

∴的取值范圍是[﹣6，1]

故選：B

12．定義在（0，）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f′（x）＞f（x）·tanx成立．則（ ）

A． f（）＜f（） B． f（1）＜2cos1·f（）

C． f（）＞2f（） D． f（）＞f（）

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）cosx，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即得到結(jié)論．

【解答】解：當(dāng)x∈（0，），cosx＞0，

則不等式f′（x）＞f（x）·tanx等價為f′（x）＞f（x）·，

即cosxf′（x）﹣sinxf（x）＞0，

設(shè)g（x）=f（x）cosx，

則g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＞0，

即函數(shù)g（x）在（0，）單調(diào)遞增，

則g（）＜g（），g（1）＞g（），g（）＜g（），g（）＜g（），

即f（）＜f（），cos1f（1）＞f（），

f（）＜f（），f（）＜f（），

則f（）＜f（），故A正確．

2cosf（1）＞f（），故B錯誤．

f（）＜2f（），故C錯誤．

f（）＜f（），故D錯誤．

故選A．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13．若過點（0，2）的直線l與圓（x﹣2）²+（y﹣2）²=1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是 ．

【考點】直線與圓的位置關(guān)系．

【分析】用代數(shù)法，先聯(lián)立方程，消元后得到一個方程，利用△≥0，即可求得直線l的斜率的取值范圍．

【解答】解：設(shè)直線方程為y=kx+2（k≠0），

代入圓（x﹣2）²+（y﹣2）²=1，

消去y整理得（1+k²）x²﹣4x+3=0，

∵過點（0，2）的直線l與圓（x﹣2）²+（y﹣2）²=1有公共點，

∴△≥0，即16﹣12（1+k²）≥0，

∴k∈．

故答案為：．

14．已知變量x，y滿足約束條件，則z=x+2y的最大值是 9 ．

【考點】簡單線性規(guī)劃．

【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，即可求出z的最大值．

【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=x+2y得y=﹣x+z，

平移直線y=﹣x+z，

由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過點A，y=﹣x+z的截距最大，此時z最大．

由，

解得，即A（1，4），

代入z=x+2y=1+2×4=9．

即目標(biāo)函數(shù)z=x+2y最大值為9．

故答案為：9．

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n﹣5a_n+23，n∈N^*，則數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n= 1+ ．

【考點】數(shù)列遞推式．

【分析】由S_n=n﹣5a_n+23，n∈N^*，可得n=1時，a₁=1+23﹣5a₁，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n﹣S_n﹣1，變形為：a_n﹣1=（a_n﹣1﹣1），再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

【解答】解：∵S_n=n﹣5a_n+23，n∈N^*，∴n=1時，a₁=1+23﹣5a₁，解得a₁=4．

n≥2時，a_n=S_n﹣S_n﹣1=n﹣5a_n+23﹣[（n﹣1）﹣5a_n﹣1+23]=1﹣5a_n+5a_n﹣1，

變形為：a_n﹣1=（a_n﹣1﹣1），

∴數(shù)列{a_n﹣1}是等比數(shù)列，首項為3，公比為，

∴a_n﹣1=，即a_n=1+，

故答案為：1+．

16．已知三棱錐P﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為2的正三角形，PC為球O的直徑，且PC=4，則此三棱錐的體積為 ．

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．

【分析】根據(jù)題意，利用截面圓的性質(zhì)即可求出點O到平面ABC的距離，進(jìn)而求出點P到平面ABC的距離，即可計算出三棱錐的體積．

【解答】解：因為△ABC是邊長為2的正三角形，所以△ABC外接圓的半徑r=，

所以點O到平面ABC的距離d=，

PC為球O的直徑，點P到平面ABC的距離為2d=，

此棱錐的體積為=，

故答案為：．

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17．已知△ABC是半徑為2的圓的內(nèi)接三角形，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若b²+c²=18，求△ABC的面積．

【考點】余弦定理；正弦定理．

【分析】（I）利用正弦定理、和差公式、誘導(dǎo)公式即可得出．

（II）利用余弦定理、三角形面積計算公式即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：a=4sinA，b=4sinB，c=4sinC，

∵2acosA=ccosB+bcosC，

∴2sinA·cosA=sinCcosB+sinBcosC，

∴2sinA·cosA=sin（B+C），

∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，

∴2sinA·cosA=sinA，

∵0＜A＜π，∴sinA≠0，

∴2cosA=1，即cosA=，

∵A∈（0，π），∴A=．

（II）由（I）可得：sinA=．

由（Ⅰ）得．

∵a²=b²+c²﹣2bcosA，∴bc=b²+c²﹣a²=18﹣12=6，

∴．

18．某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率直方分布圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（1）求圖中x的值；

（2）從成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

【考點】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；古典概型及其概率計算公式．

【分析】（1）根據(jù)所以概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關(guān)系，可求出所求；

（2）不低于80分的學(xué)生有12人，90分以上的學(xué)生有3人，則隨機(jī)變量ξ的可能取值有0，1，2，然后根據(jù)古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，從而可求出數(shù)學(xué)期望．

【解答】解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018

（2）由題意知道：不低于80分的學(xué)生有12人，90分以上的學(xué)生有3人

隨機(jī)變量ξ的可能取值有0，1，2

∴

19．如圖，在直二面角E﹣AB﹣C中，四邊形ABEF是矩形，AB=2，AF=2，△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點P是線段BF上的一點，PF=3．

（Ⅰ）證明：BF⊥面PAC；

（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的余弦值．

【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出PA⊥BF，從而AC⊥平面ABEF，進(jìn)而AC⊥BF，由此能證明BF⊥平面PAC．

（Ⅱ）以A為原點，方向為x軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣P的余弦值．

【解答】證明：（Ⅰ）由題意知：FB=4，，

．

∵PA²+PF²=3+9=12=AF²，∴PA⊥BF．

∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，AB⊥AC，AC?平面ABC，

∴AC⊥平面ABEF．

∵BF?平面ABEF，∴AC⊥BF．

∵PA∩AC=A，∴BF⊥平面PAC．…

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB、AC、AF兩兩互相垂直，

以A為原點，方向為x軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），．

∵BF=4，PF=3，∴．

∴，．

設(shè)是平面PBC的法向量，則，

∴，取y=1得平面PBC的一個法向量，

又平面ABC的一個法向量，

設(shè)二面角A﹣BC﹣P的平面角為θ，由題中條件可知，

則，

∴二面角A﹣BC﹣P的余弦值為．…

20．已知拋物線C：y²=4x，過其焦點F作兩條相互垂直且不平行于坐標(biāo)軸的直線，它們分別交拋物線C于點P₁、P₂和點P₃、P₄，線段P₁P₂、P₃P₄的中點分別為M₁、M₂．

（Ⅰ）求線段P₁P₂的中點M₁的軌跡方程；

（Ⅱ）求△FM₁M₂面積的最小值；

（Ⅲ）過M₁、M₂的直線l是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由．

【考點】軌跡方程．

【分析】（Ⅰ）確定線段M₁M₂的中點P坐標(biāo)，消去參數(shù)，即可得到線段P₁P₂的中點M₁的軌跡方程；

（Ⅱ）利用，即可求△FM₁M₂面積的最小值；

（Ⅲ）分類討論，利用yk²+（x﹣3）k﹣y=0，即可得出結(jié)論．

【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)條件得焦點坐標(biāo)為F（1，0），

設(shè)直線P₁P₂的方程為y=k（x﹣1），k≠0．

聯(lián)立，得k²x²﹣2（2+k²）x+k²=0．△=[﹣2（2+k²）]²﹣4k²k²=16（1+k²）＞0．

設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則，，

∴．

∴線段P₁P₂的中點M₁的軌跡方程為：y²=2（x﹣1）（x＞1）．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：．

同理，設(shè)，則．

∴，，

因此．

當(dāng)且僅當(dāng)，即k=±1時，取到最小值4．…

（Ⅲ）當(dāng)k≠±1時，由（Ⅱ）知直線l的斜率為：，

所以直線l的方程為：，即yk²+（x﹣3）k﹣y=0，（*）

當(dāng)x=3，y=0時方程（*）對任意的k（k≠±1）均成立，即直線l過點（3，0）．

當(dāng)k=±1時，直線l的方程為：x=3，也過點（3，0）．

所以直線l恒過定點（3，0）．…

21．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+lnx﹣mx（m＞0）．

（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求f（x）的零點個數(shù)；

（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上沒有經(jīng)過原點的切線．

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．

【分析】（I）通過對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零，分兩種情況解方程即得結(jié)論；

（Ⅱ）通過（I）可知，當(dāng)0＜m≤2時函數(shù)f（x）有一個零點；當(dāng)m＞2時，通過令極大值為g（m）并對其求導(dǎo)可知g′（m）＜0，進(jìn)而可得結(jié)論；

（Ⅲ）通過設(shè)通過原點的切線為y=kx，切點橫坐標(biāo)為x₀，通過求導(dǎo)可將k=f′（x₀）、切點縱坐標(biāo)y₀代入切線方程，通過對g（x）=x²﹣lnx+1求導(dǎo)即得結(jié)論．

【解答】（I）解：依題意，函數(shù)f（x）的定義域為：（0，+∞），

且f′（x）=x+﹣m，

令f′（x）=0，即x+﹣m=0，即x²﹣mx+1=0，則△=m²﹣4，

當(dāng)△＜0即0＜m＜2時，方程f′（x）=0無根；

當(dāng)△=0即m=2時，方程f′（x）=0有唯一根x=1；

當(dāng)△＞0即m＞2時，方程f′（x）=0有兩根x=；

故當(dāng)0＜x＜或x＞時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)＜x＜時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)0＜m≤2時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)m＞2時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為：（0，）、（，+∞），

遞減區(qū)間為：（，）；

（Ⅱ）解：由（I）可知，當(dāng)0＜m≤2時，函數(shù)f（x）有一個零點；

當(dāng)m＞2時，為函數(shù)f（x）的極大值點，

令g（m）=f（）=·+ln﹣m·，其中m＞2，

則g′（m）=·[2m﹣﹣]+··[1﹣·]

﹣﹣·[1﹣·]

=﹣

＜0，

故g（m）＜g（2）=0.5﹣2=﹣1.5，

∴函數(shù)f（x）有一個零點；

綜上所述，函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為1；

（Ⅲ）證明：設(shè)通過原點的切線為y=kx （極值點的切線平行x軸，且極值小于0，均不過原點，故k≠0），

切點橫坐標(biāo)為x₀，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知

k=f′（x₀）=，切點縱坐標(biāo)y₀=y?=+lnx₀﹣mx₀，

代入切線方程： +lnx₀﹣mx₀=﹣mx₀+1，

即﹣lnx₀+1=0 （*）

令g（x₀）=﹣lnx₀+1，

則g′（x）=x﹣，故駐點x=1為極小值點，

∴g（x₀）≥g（1）=1.5＞0，即方程（*）無解，

∴曲線y=f（x）上沒有經(jīng)過原點的切線．

請考生在22、23、24三題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目記分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.[選修4-1：幾何證明選講]

22．如圖所示，BC是半圓O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，，BF與AD、AO分別交于點E、G．

（1）證明：∠DAO=∠FBC；

（2）證明：AE=BE．

【考點】與圓有關(guān)的比例線段；圓周角定理．

【分析】（Ⅰ）連接FC，OF，利用，說明OB=OF，然后證明∠AOB=∠FCB，推出∠DAO=∠FBC．

（Ⅱ）證明△OAD≌△OBG，推出OD=OG．然后證明△AGE≌△BDE，即可證明AE=BE．

【解答】證明：（Ⅰ）連接FC，OF，∵，OB=OF，∴點G是BF的中點，OG⊥BF．

因為BC是⊙O的直徑，所以CF⊥BF．∴OG∥CF．∴∠AOB=∠FCB，…

∴∠DAO=90°﹣∠AOB，∠FBC=90°﹣∠FCB，∴∠DAO=∠FBC．…

（Ⅱ）在Rt△OAD與Rt△OBG中，由（Ⅰ）知∠DAO=∠GBO，

又OA=OB，所以，△OAD≌△OBG，于是OD=OG．

∴AG=OA﹣OG=OB﹣OD=BD．…

在Rt△AGE與Rt△BDE中，由于∠DAO=∠FBC，AG=BD，

所以，△AGE≌△BDE，因此，AE=BE．…

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點D在曲線C上，求它到直線l：（t為參數(shù)，t∈R）的最短距離．

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．

【分析】（1）把已知極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以ρ，結(jié)合得答案；

（2）化直線的參數(shù)方程為普通方程，化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點到直線的距離公式求得答案．

【解答】解：（1）由ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．

得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²﹣2y=0；

（2）由直線l：，得．

化圓x²+y²﹣2y=0為x²+（y﹣1）²=1，

則圓心坐標(biāo)為（0，1），

圓心到直線的距離為d=．

∴D到直線的最短距離為1．

[選修4-5：不等式選講]

24．設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣a|+5x．

（1）當(dāng)a=﹣1時，求不等式f（x）≤5x+3的解集；

（2）若x≥﹣1時有f（x）≥0，求a的取值范圍．

【考點】其他不等式的解法．

【分析】（1）當(dāng)a=﹣1時，|x+1|+5x≤5x+3，從而解得；

（2）當(dāng)x≥0時，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，從而轉(zhuǎn)化為故只需使當(dāng)﹣1≤x＜0時，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，從而化簡可得（4x+a）（6x﹣a）≤0，從而分類討論解得．

【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣1時，|x+1|+5x≤5x+3，

故|x+1|≤3，

故﹣4≤x≤2，

故不等式f（x）≤5x+3的解集為[﹣4，2]；

（2）當(dāng)x≥0時，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，

故只需使當(dāng)﹣1≤x＜0時，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，

即|x﹣a|≥﹣5x，

即（x﹣a）²≥25x²，

即（x﹣a﹣5x）（x﹣a+5x）≥0，

即（4x+a）（6x﹣a）≤0，

當(dāng)a=0時，解4x×6x≤0得x=0，不成立；

當(dāng)a＞0時，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，

﹣≤x≤，

故只需使﹣≤﹣1，

解得，a≥4；

當(dāng)a＜0時，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，

≤x≤﹣，

故只需使≤﹣1，

解得，a≤﹣6；

綜上所述，a的取值范圍為a≥4或a≤﹣6．

2016年10月10日