一、思想概述

數(shù)形結合法是解決數(shù)學問題的重要方法之一，體現(xiàn)了數(shù)量關系與空間形式是相互聯(lián)系和轉化的，將抽象的數(shù)式與具體的圖形相結合與轉化，把數(shù)量關系轉化為圖形或把圖形問題轉化為數(shù)量關系進行研究.在一定的條件下，將數(shù)與形進行巧妙轉化，以形助數(shù)，以數(shù)解形，化難為易，有時會起到事半功倍的效果.

（1）以形助數(shù)：仔細觀察圖形的形狀、大小、位置關系，充分利用線段、面積與周長等數(shù)量關系將數(shù)轉化為形來求解.

（2）以數(shù)解形：要先充分挖掘出圖形中的數(shù)量關系，使用代數(shù)式求解幾何問題，根據(jù)圖形建立方程或函數(shù)關系是常用的方法.

二、數(shù)形結合的幾種常用方法

1、利用數(shù)軸進行數(shù)形結合

【知識點回顧】：

絕對值的幾何含義：|a-b|是指數(shù)a與數(shù)b在數(shù)軸上的距離.

【解析】

在化簡絕對值或根式時，利用各數(shù)在數(shù)軸上的數(shù)量關系可以大大簡化化簡的過程.  

2、利用圖形的幾何特性或代數(shù)含義來進行數(shù)形結合

【知識點回顧】

長方形的面積S=ab表示二個數(shù)相乘的積，即當二個數(shù)相乘時可以轉化為長方形的相關知識來求解。

長方形的周長C=2(a+b)表示二個數(shù)相加的和的二倍。

完全平方公式（a士b）2=a2士2ab+b2 的幾何含義是邊長為a士b的正方形的面積。

求二個數(shù)之和的最小值的常用方法：1）以這二個數(shù)構造一個三角形，利用三角形的三邊關系性質：二邊之和大于第三邊來求解；2） 利用二點之間直線距離最短的性質，將二數(shù)的和最小問題轉化為找另一個點，使得此點與原二點間距離的和最小的問題。

例2：如圖是四張全等的長方形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分面積的不同表示方法，寫出一個關于a、b的恒等式________．

解：

空白部分的面積可以看出是長邊長為(a-b)的正方形，所以它的面積為 

空白部分的面積也可以看作是邊長為(a+b)的正方形與4個長方形面積的差，即

(a+b)2-4ab.

因此有恒等式：

(a+b)2-4ab=(a+b)2.

3、利用函數(shù)關系式或圖像進行數(shù)形結合

【知識點回顧】

   （1）一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，當k>0時為遞增函數(shù)；當k<>.其中k的幾何含義是函數(shù)圖像所在直線與x軸夾角的正切值.

其中在常見的實際應用的題目中，k會代表不同的實際含義，如在路程與時間的關系圖中k表示速度；在質量與體積的關系圖中，k表示密度.

互相平等的二條直線的k相同.

互相垂直的二條直線的k的乘積為-1.

中分別為遞減函數(shù); 當k<>.

其中k的幾何含義是：|k|等于函數(shù)上任意一點與坐標軸圍成的長方形的面積.

（3）二次函數(shù)具有最大值或最小值：常用于實際應用題中.

（4）利用相交的函數(shù)的交點求取值范圍或解不等式.

【解析】將關系式轉化為函數(shù)，利用函數(shù)圖像或直觀地得出不同值下的關系式的大小或取值范圍.

例2：如圖，E,F分別為邊長為4的正方形ABCD的邊BC、CD上的點，CE=1，CF=4/3，直線FE交AB的處延長線于G，過線段FG上的一個動點H作HM⊥AD，HN⊥AD，問當HM為多少時，矩形AMHN的面積最大，最大是多少？

4、巧建直角坐標系進行數(shù)形結合

【知識點回顧】

證明二條線段平行：求出二條線段所在直線的函數(shù)關系式，如果k相同，則平行.

證明二條線段垂直：求出二條線段所在直線的函數(shù)關系式，如果k₁·k₂=-1，則互相垂直.

【分析】

建立直角坐標系的技巧：一般以給定的圖形的合適頂點或對稱中心為原點，以直角邊坐標軸建立直角坐標系，以方便設置各頂點的坐標值.

比如：

正方形或長方形：一般以一個頂點為原點，以二直角邊建立坐標系.

菱形：一般以一個頂點為原點，以一條對角線為x軸建立坐標系.

等腰三角形：以三角形對稱軸和與其垂直的底邊為坐標軸建立坐標系.

例1：定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點;

分析：

本題給出的是菱形及邊的數(shù)量關系，用直角坐標系中可以使用菱形是一個對稱圖形的特性進行解題. 

證明：

1）以B為原點，以BD所在線段為x軸建立如下的坐標系.

設 A點坐標為（m，n），則D點坐標為（2m,0）,

2）過AB作△ABC，△MND的對稱圖，再以AB為x軸，A為原點建立直角坐標系，如下圖：

例2：已知梯形ABCD，AD//BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，BC=3，

（1）如圖1，若P為AB上一點，以PD、PC為邊的平行四邊形PCQD，請問對角線PQ是否存在最小值？若存在請求出最小值，若不存在說明理由.

(2) 如圖2，若P為AB上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，再以PE、PC為邊的平行四邊形PCQE，請問對角線PQ是否存在最小值？若存在請求當P在何處時出有最小值，最小值是多少.若不存在說明理由.

解：

（1）因為PCQD為平行四邊形，PQ和CD分別是二條對角線，所以PQ和CD的交點G點平分PQ，要求PQ最小，即求GP最小.

以B為原點，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立如下直角坐標系：

從上圖可知，當GP最小時，實際就是求G點到y(tǒng)軸距離最短時，即GP⊥y軸.

最小值為2.

（2）以上題的方法建立如下坐標系：

最小值為2.

（2）以上題的方法建立如下坐標系：

思考題

如圖一正方形ABCD，E為BC上任意一點，連接AE，過E點作EF⊥AE交∠C的外角平分線于F點，求證：AE=EF.

點撥：本題的證明方法有很多，本例現(xiàn)要求請使用代數(shù)法進行證明.

【總結】數(shù)形結合思想是一種重要的數(shù)學思想，簡而言之就是把數(shù)學中'數(shù)'和'形'結合起來解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想，通過'數(shù)'與'形'之間的對應和轉換來解決數(shù)學問題.著名數(shù)學家華羅庚指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，因此同學們可以通過多觀察多練習多總結，才能在平時的解題過程中有意識地開拓自己的思維視野.