今天我們來和大家說說世界七大數(shù)學(xué)難題，這些可都是世界上最難的數(shù)學(xué)題哦。

說到世界七大數(shù)學(xué)難題你會想到什么，我最先想到的是哥德巴赫猜想，但其實哥德巴赫猜想并不是世界七大數(shù)學(xué)難題之一，下面就讓我們來一起看看當(dāng)今科技如此發(fā)達(dá)的情況下還有哪些能被稱為世界七大數(shù)學(xué)難題吧。

所謂的世界七大數(shù)學(xué)難題其實是于2000年5月24日由由美國克雷數(shù)學(xué)研究所（Clay Mathematics Institute,CMI）公布的七個數(shù)學(xué)難題。也被稱為千禧年大獎難題（Millennium Prize Problems）。

根據(jù)克雷數(shù)學(xué)研究所訂定的規(guī)則，所有難題的解答必須發(fā)表在數(shù)學(xué)期刊上，并經(jīng)過各方驗證，只要通過兩年驗證期，每解破一題的解答者，會頒發(fā)獎金100萬美元。

這些難題是呼應(yīng)1900年德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特在巴黎提出的23個歷史性數(shù)學(xué)難題，經(jīng)過一百年，許多難題已獲得解答。而千禧年大獎難題的破解，極有可能為密碼學(xué)以及航天、通訊等領(lǐng)域帶來突破性進(jìn)展。

世界七大數(shù)學(xué)難題分別是：

• P/NP問題（P versus NP）
• 霍奇猜想（The Hodge Conjecture）
• 龐加萊猜想（The Poincaré Conjecture），此猜想已獲得證實。
• 黎曼猜想（The Riemann Hypothesis）
• 楊-米爾斯存在性與質(zhì)量間隙（Yang-Mills Existence and Mass Gap）
• 納維-斯托克斯存在性與光滑性（Navier-Stokes existence and smoothness）
• 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）

世界七大數(shù)學(xué)難題之一：P/NP問題

P/NP問題是在理論信息學(xué)中計算復(fù)雜度理論領(lǐng)域里至今沒有解決的問題，它也是克雷數(shù)學(xué)研究所七個千禧年大獎難題之一。P/NP問題中包含了復(fù)雜度類P與NP的關(guān)系。1971年史提芬·古克（Stephen A. Cook）和Leonid Levin相對獨立的提出了下面的問題，即是否兩個復(fù)雜度類P和NP是恒等的（P=NP?）。

復(fù)雜度類P即為所有可以由一個確定型圖靈機(jī)在多項式表達(dá)的時間內(nèi)解決的問題；類NP由所有可以在多項式時間內(nèi)驗證解是否正確的決定問題組成，或者等效的說，那些解可以在非確定型圖靈機(jī)上在多項式時間內(nèi)找出的問題的集合。很可能，計算理論最大的未解決問題就是關(guān)于這兩類的關(guān)系的：

P和NP相等嗎？

在2002年對于100研究者的調(diào)查，61人相信答案是否定的，9個相信答案是肯定的，22個不確定，而8個相信該問題可能和現(xiàn)在所接受的公理獨立，所以不可能證明或證否。[1] 對于正確的解答，有一個1,000,000美元的獎勵。

NP-完全問題（或者叫NPC）的集合在這個討論中有重大作用，它們可以大致的被描述為那些在NP中最不像在P中的（確切定義細(xì)節(jié)請參看NP-完全理論）。計算機(jī)科學(xué)家現(xiàn)在相信P, NP，和NPC類之間的關(guān)系如圖中所示，其中P和NPC類不交。

假設(shè)P ≠ NP的復(fù)雜度類的圖解。如P = NP則三個類相同。

簡單來說，P = NP問題問道：如果是／不是問題的正面答案可以很快驗證，其答案是否也可以很快計算？這里有一個給你找點這個問題的感覺的例子。給定一個大數(shù)Y，我們可以問Y是否是復(fù)合數(shù)。例如，我們可能問53308290611是否有非平凡的因數(shù)。答案是肯定的，雖然手工找出一個因數(shù)很麻煩。從另一個方面講，如果有人聲稱答案是”對，因為224737可以整除53308290611″，則我們可以很快用一個除法來驗證。驗證一個數(shù)是除數(shù)比找出一個明顯除數(shù)來簡單得多。用于驗證一個正面答案所需的信息也稱為證明。所以我們的結(jié)論是，給定正確的證明，問題的正面答案可以很快地（也就是，在多項式時間內(nèi)）驗證，而這就是這個問題屬于NP的原因。雖然這個特定的問題，最近被證明為也在P類中（參看下面的關(guān)于”質(zhì)數(shù)在P中”的參考），這一點也不明顯，而且有很多類似的問題相信不屬于類P。

像上面這樣，把問題限制到“是／不是”問題并沒有改變原問題（即沒有降低難度）；即使我們允許更復(fù)雜的答案，最后的問題（是否FP = FNP）是等價的。

關(guān)于證明的難度的結(jié)果

雖然百萬美元的獎金和投入巨大卻沒有實質(zhì)性結(jié)果的大量研究足以顯示該問題是困難的，但是還有一些形式化的結(jié)果證明為什么該問題可能很難解決。

最常被引用的結(jié)果之一是設(shè)計神諭。假想你有一個魔法機(jī)器可以解決單個問題，例如判定一個給定的數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，可以瞬間解決這個問題。我們的新問題是，若我們被允許任意利用這個機(jī)器，是否存在我們可以在多項式時間內(nèi)驗證但無法在多項式時間內(nèi)解決的問題？結(jié)果是，依賴于機(jī)器能解決的問題，P = NP和P ≠ NP二者都可以證明。這個結(jié)論帶來的后果是，任何可以通過修改神諭來證明該機(jī)器的存在性的結(jié)果不能解決問題。不幸的是，幾乎所有經(jīng)典的方法和大部分已知的方法可以這樣修改（我們稱它們在相對化）。

如果這還不算太糟的話，1993年Razborov和Rudich證明的一個結(jié)果表明，給定一個特定的可信的假設(shè)，在某種意義下“自然”的證明不能解決P = NP問題。[2] 這表明一些現(xiàn)在似乎最有希望的方法不太可能成功。隨著更多這類定理得到證明，該定理的可能證明方法有越來越多的陷阱要規(guī)避。

這實際上也是為什么NP完全問題有用的原因：若對于NP完全問題存在有一個多項式時間算法，或者沒有一個這樣的算法，這將能用一種相信不被上述結(jié)果排除在外的方法來解決P = NP問題。

世界七大數(shù)學(xué)難題之二：霍奇猜想

霍奇猜想是代數(shù)幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓?fù)浜退啥x子簇的多項式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想。它在霍奇的著述的一個結(jié)果中出現(xiàn)，他在1930至1940年間通過包含額外的結(jié)構(gòu)豐富了德拉姆上同調(diào)的表述，這種結(jié)構(gòu)出現(xiàn)于代數(shù)簇的情況（但不僅限于這種情況）。

世界七大數(shù)學(xué)難題之三：龐加萊猜想

龐加萊猜想最早是由法國數(shù)學(xué)家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的數(shù)學(xué)方面七大千禧年難題之一。2006年確認(rèn)由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼（俄語：Григорий Яковлевич Перельман）完成最終證明，他也因此在同年獲得菲爾茲獎，但并未現(xiàn)身領(lǐng)獎。

基本描述

在1900年，龐加萊曾聲稱，用他基于恩里科·貝蒂的工作而發(fā)展出的同調(diào)論，可以判定一個三維流形是否三維球面。不過，他在1904年發(fā)表的一篇論文中，舉出了一個反例，現(xiàn)在稱為龐加萊同調(diào)球面，與三維球面有相同的同調(diào)群。他引進(jìn)了一個新的拓?fù)洳蛔兞?，稱為基本群，并且證明他的反例與三維球面的基本群不同。三維球面有平凡基本群，也就是說是單連通的。他提出以下猜想：

任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。

上述簡單來說就是：每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓?fù)涞葍r于三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個柳橙表面的橡皮筋，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果我們想象同樣的橡皮筋以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個甜甜圈表面上，那么不扯斷橡皮筋或者甜甜圈，是沒有辦法把它不離開表面而又收縮到一點的。我們說，柳橙表面是“單連通的”，而甜甜圈表面則不是。

該猜想是一個屬于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的具有基本意義的命題，對“龐加萊猜想”的證明及其帶來的后果將會加深數(shù)學(xué)家對流形性質(zhì)的認(rèn)識，甚至?xí)θ藗冇脭?shù)學(xué)語言描述宇宙空間產(chǎn)生影響，對于一維與二維的情形，此猜想是對的，現(xiàn)在已經(jīng)知道，它對于任何維數(shù)都是對的。

證明歷史

20世紀(jì)

這個問題曾經(jīng)被擱置了很長時間，直到1930年懷特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已經(jīng)證明然而又收回，才再次引起了人們的興趣。懷特海提出了一些有趣的三流形實例，其原型現(xiàn)在稱為懷特海流形。

1950和1960年代，又有許多著名的數(shù)學(xué)家包括R·H·賓（R. H. Bing）、沃夫?qū)す希╓olfgang Haken）、愛德華·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos聲稱得到了證明，但最終都發(fā)現(xiàn)證明存在致命缺陷。1961年，美國數(shù)學(xué)家史提芬·斯梅爾采用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明了五維以上的龐加萊猜想。這段時間對于低維拓?fù)涞陌l(fā)展非常重要。這個猜想逐漸以證明極難而知名，但是證明此猜想的工作增進(jìn)了對三流形的理解。1981年美國數(shù)學(xué)家麥克·傅利曼（Michael Freedman）證明了四維猜想，至此廣義龐加萊猜想得到了證明。

1982年，理查德·哈密頓引入了“里奇流”的概念，并以此證明了幾種特殊情況下的龐加萊猜想。在此后的幾年中，他進(jìn)一步地發(fā)展了此方法，后來被佩雷爾曼的證明所使用。

21世紀(jì)

俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼

在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在arXiv.org發(fā)表了三篇論文預(yù)印本，并聲稱證明了幾何化猜想。

在佩雷爾曼之后，先后有3組研究者發(fā)表論文補(bǔ)全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細(xì)節(jié)。這包括密歇根大學(xué)的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學(xué)的約翰·摩根和麻省理工學(xué)院的田剛；以及理海大學(xué)的曹懷東和中山大學(xué)的朱熹平。

2006年8月，第25屆國際數(shù)學(xué)家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎，但佩雷爾曼拒絕接受該獎。數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

2010年3月18日，克雷數(shù)學(xué)研究所對外公布，俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼因為破解龐加萊猜想而榮膺千禧年大獎^[7][8]。

最終證明爭議

2006年6月3日，曹懷東和朱熹平公開聲稱佩雷爾曼對于龐加萊猜想證明中有漏洞，由他們補(bǔ)全，做出最終證明，于《亞洲數(shù)學(xué)期刊》發(fā)表論文。據(jù)報道，丘成桐曾表示曹懷東和朱熹平才是第一個給出了龐加萊猜想的完全證明。

2006年8月28日出版的《紐約客》雜志發(fā)表西爾維亞·娜莎和大衛(wèi)·格魯伯的長文《流形的命運(yùn)——傳奇問題以及誰是破解者之爭》。該文介紹了佩雷爾曼等人的工作并描畫了“一個令人厭惡的丘成桐的形象，暗示他為他的學(xué)生曹懷東和他支持的朱熹平的工作宣傳了過多的功勞。”^[11]， 因曹懷東與朱熹平的論文未經(jīng)同行評審，丘成桐被質(zhì)疑以期刊主編的身份，發(fā)表有利于他們研究團(tuán)隊的論文成果。此文發(fā)表后，引發(fā)了很大爭議。丘成桐表示可能采取法律行動，由律師發(fā)出信函，要求雜志更正，包括漢密爾頓在內(nèi)的多名數(shù)學(xué)家發(fā)表聲明表示文章沒有正確地反映他們對丘的評價。

一名加州理工學(xué)院的研究者指出曹、朱論文中引理7.1.2與克萊納和洛特2003年發(fā)表的成果幾乎完全相同。據(jù)此，洛特指責(zé)曹和朱兩人有剽竊的行為。此后，曹懷東和朱熹平在原刊發(fā)表糾錯聲明，確認(rèn)了此引理是克萊納和洛特的成果，解釋沒有指明出處是由 于編輯上的差錯，并為此向兩位原作者致歉。在12月發(fā)表的修正論文《龐加萊猜想與幾何化猜想的漢米爾頓－佩雷爾曼證明》（Hamilton- Perelman’s Proof of the Poicare Conjecture and the Geometrization Conjecture）中，曹懷東與朱熹平不再宣稱是由他們做出最終證明，他們的工作只是對漢米爾頓－佩雷爾曼證明做出詳盡闡述。

世界七大數(shù)學(xué)難題之四：黎曼猜想

黎曼猜想由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）于1859年提出。它是數(shù)學(xué)中一個重要而又著名的未解決的問題(猜想界皇冠)。多年來它吸引了許多出色的數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁。

1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想與強(qiáng)條件的素數(shù)定理等價?，F(xiàn)在已經(jīng)驗證了最初的1,500,000,000個素數(shù)對這個定理都成立。但是是否所有的解對此定理都成立，至今尚無人給出證明。

黎曼猜想所以被認(rèn)為是當(dāng)代數(shù)學(xué)中一個重要的問題，主要是因為很多深入和重要的數(shù)學(xué)和物理結(jié)果都能在它成立的大前提下被證明。大部分?jǐn)?shù)學(xué)家也相信黎曼猜想是正確的（約翰·恩瑟·李特爾伍德與塞爾伯格曾提出懷疑。塞爾伯格于晚年部分改變了他的懷疑立場。在1989年的一篇論文中，他猜測黎曼猜想對更廣泛的一類函數(shù)也應(yīng)當(dāng)成立。）克雷數(shù)學(xué)研究所設(shè)立了$1,000,000美元的獎金給予第一個得出正確證明的人。

歷史

黎曼1859年在他的論文《über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr??e》中提及了這個著名的猜想，但它并非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。黎曼知道ζ函數(shù)的不平凡零點對稱地分布在直線s = ? + it上，以及他知道它所有的不平凡零點一定位于區(qū)域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。

1896年，雅克·阿達(dá)馬和Charles Jean de la Vallée-Poussin分別獨立地證明了在直線Re(s) = 1上沒有零點。連同了黎曼對于不非凡零點已經(jīng)證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處于區(qū)域0 <>s) <>

1900年，大衛(wèi)·希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的23條問題中，與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第8號問題。同時黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個被收入克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年大獎數(shù)學(xué)難題的。希爾伯特曾說，如果他在沉睡1000年后醒來，他將問的第一個問題便是：黎曼猜想得到證明了嗎？^[1]

1914年，高德菲·哈羅德·哈代證明了有無限個零點在直線Re(s) = ?上。然而仍然有可能有無限個不平凡零點位于其它地方（而且有可能是最主要的零點）。后來哈代與約翰·恩瑟·李特爾伍德在1921年及塞爾伯格在1942年的工作（臨界線定理）也就是計算零點在臨界線Re(s) = ?上的平均密度。

近年來的工作主要集中于清楚的計算大量零點的位置（希望借此能找到一個反例）以及對處于臨界線以外零點數(shù)目的比例置一上界（希望能把上界降至零）。

世界七大數(shù)學(xué)難題之五：楊-米爾斯存在性與質(zhì)量間隙

楊－米爾斯規(guī)范場論與質(zhì)量間隙是理論物理中規(guī)范場論的一道基礎(chǔ)問題，必須在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明楊－米爾斯場論存在（即需符合構(gòu)造性量子場論的標(biāo)準(zhǔn)），亦要證明它們有質(zhì)量間隙，即模型所預(yù)測的最輕單粒子態(tài)為正質(zhì)量。2000年，克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞各一百萬元的數(shù)學(xué)七大千禧年難題，其中一道題為楊－米爾斯規(guī)范場論同質(zhì)量間隙。

背景

我們所知多數(shù)非凡（nontrivial）－－即有相互作用－－的4維量子場論皆有cutoff scale的有效場論。因多數(shù)模型的beta-函數(shù)是正的，似乎大多數(shù)這類模型皆有一支Landau pole，因我們完全不清楚它們有沒有非凡紫外定點。故此，若每一scale上皆定義有這樣的量子場論^{[注 1]}，它只可能為單純的自由場論。

然而，有不可交換結(jié)構(gòu)群的楊-米爾斯理論（無夸克）例外。它有一種性質(zhì)稱為漸近自由，指它有一單純的紫外定點。因此，我們可以寄望它成為非凡的構(gòu)造性（constructive）四維量子場模型。

不交換群Yang-Mills理論的色禁閉性已有符合理論物理嚴(yán)謹(jǐn)性的證明，但未有符合數(shù)理物理嚴(yán)謹(jǐn)性的證明^{[注 3]}。基本上，換言之，過了QCD尺度（或者這里應(yīng)稱為禁閉尺度，因為無夸克），那些色荷粒子被色動力學(xué)的“流管”連著，所以粒子間有線性勢（“弦”張力x長度）。所以膠子之類自由賀粒子不可能存在。若沒有這些禁閉效應(yīng)，我們應(yīng)見到零質(zhì)量的膠子；但因它們被禁閉，我們只見到不帶色荷的膠子束綁態(tài)——膠波。凡膠波皆質(zhì)量，所以我們期望質(zhì)量間隙。

格點規(guī)范場論的結(jié)果令不少工作者相信，這個模型真的有禁閉現(xiàn)象（由Wilson圈的真空期望值的下降的“面積規(guī)律”(area law)看出），但這項結(jié)果還沒有符合數(shù)學(xué)的嚴(yán)慬性。

世界七大數(shù)學(xué)難題之六：納維-斯托克斯存在性與光滑性

納維-斯托克斯存在性與光滑性是有關(guān)納維－斯托克斯方程其解的數(shù)學(xué)性質(zhì)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，是美國克雷數(shù)學(xué)研究所在2000年提出的7個千禧年大獎難題中的一個問題。

納維－斯托克斯方程是流體力學(xué)的重要方程，可以描述空間中流體（液體或氣體）的運(yùn)動。納維－斯托克斯方程的解可以用到許多實務(wù)應(yīng)用的領(lǐng)域中。不過對于納維－斯托克斯方程解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程的解常會包括紊流。雖然紊流在科學(xué)及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學(xué)問題之一。

許多納維－斯托克斯方程解的基本性質(zhì)都尚未被證明。例如數(shù)學(xué)家就尚未證明在三維坐標(biāo)，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這様?shù)慕獯嬖跁r，其動能有其上下界，這就是“納維-斯托克斯存在性與光滑性”問題。

由于了解納維－斯托克斯方程被視為是了解難以捉摸的紊流現(xiàn)象的第一步，克雷數(shù)學(xué)研究所在2000年5月提供了美金一百萬的獎金給第一個提供紊流現(xiàn)象相關(guān)信息的人，而不是給第一個創(chuàng)建紊流理論的人?；谏鲜龅南敕?，克雷數(shù)學(xué)研究所設(shè)定了以下具體的數(shù)學(xué)問題。

部分結(jié)果

二維空間下的納維-斯托克斯問題已在1960年代得證：存在光滑及全局定義解的解。

在初速相當(dāng)小時此問題也已得證：存在光滑及全局定義解的解。

若給定一初速，且存在一有限、依而變動的時間T，使得在的范圍內(nèi)，納維-斯托克斯方程有平滑的解，還無法確定在時間超過T后，是否仍存在平滑的解。

數(shù)學(xué)家讓·勒雷在1934年時證明了所謂納維-斯托克斯問題弱解的存在，此解在平均值上滿足納維-斯托克斯問題，但無法在每一點上滿足。

世界七大數(shù)學(xué)難題之七：貝赫和斯維訥通-戴爾猜想

貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（英文：Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），簡稱為BSD猜想。

設(shè)是定義在代數(shù)數(shù)域 上的橢圓曲線， 是 上的有理點的集合，已經(jīng)知道 是有限生成交換群。記 是 的L函數(shù)，則此猜想如下：

數(shù)學(xué)家總是被諸如

那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數(shù)解。當(dāng)解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點的群的大小與一個有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點s=1附近的性態(tài)。特別是，這個有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個有理點(解)。相反，如果z(1)不等于0。那么只存在著有限多個這樣的點。

好吧，我承認(rèn)我確實看不懂這世界七大數(shù)學(xué)難題是什么東西，我想大多數(shù)人也和我一樣，根本不知道這講的是什么，還是期待那些個神人去解答這些問題吧。