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“初中數(shù)學(xué)解法研究”公眾平臺以一些典型問題為載體，從一題多解、多解歸因和思維調(diào)控等角度，探索解題中的巧法、通法以及方法的思路來源等，希望幫助讀者開闊思路、優(yōu)化解法和提高解題效率，也希望能得到您的指點(diǎn)！ 在幾何學(xué)發(fā)展的歷史長河中，許多經(jīng)久不衰的平面幾何定理，猶如一顆顆閃爍的明珠，璀璨奪目，光彩耀人，今天在本平臺上簡單介紹一下“梅內(nèi)勞斯定理”證明方法！ 梅內(nèi)勞斯（Menelaus）出生于古希臘的亞歷山大城，是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家，他至少寫過三本著作《論圓中弦》、《幾何原理》、《球面學(xué)》，但遺憾的是只有《球面學(xué)》以阿拉伯文形式流傳下來，“梅內(nèi)勞斯定理”就來自這本書的第三卷也是最后一卷，這本書完成時間約公元100年。 我們現(xiàn)在所說的“梅內(nèi)勞斯定理”主要是指平面三角形的“梅內(nèi)勞斯定理”，梅內(nèi)勞斯本人把它推廣到球面上，詳細(xì)可參閱Victor J.Katz所著的《數(shù)學(xué)史通論》（第二版），有興趣的讀者可以進(jìn)一步研究。梅內(nèi)勞斯定理：一條直線分別截△ABC三邊BC、AC、AB及延長線于點(diǎn)D、E、F，則有：本定理的逆命題也正確，證明也比較簡單，這里就不做說明，讀者可以閱讀黃家禮老師的《幾何明珠》或者張奠宙教授的《中學(xué)幾何研究》，上面有詳細(xì)記載。下面想著重解釋這個定理的證明方法。“AF/FB*BD/DC*CE/EA=1”的左邊是三組線段的比，右邊是常數(shù)1，于是思考：如何構(gòu)造與左邊線段比相關(guān)的比例式？構(gòu)造比例式的通常方法是作平行線，形成A字形、8字形，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)比例線段的轉(zhuǎn)化。但是問題又來了，從A、B、C、D、E、F中哪一個點(diǎn)引出平行線比較恰當(dāng)？思路一：作平行線構(gòu)造結(jié)論比例式直接相關(guān)的圖形過點(diǎn)C作CG//DF交AB于點(diǎn)G，構(gòu)造與CE/AE和BD/CD直接相關(guān)的兩個基本圖形，則所以AF/FB*BD/DC*CE/EA=AF/FB* BF/GF* GF/AF=1。過點(diǎn)C作CG//AB交FD于點(diǎn)G，則a/b*d/x*e/f=a/b*b/CG*CG/a=1。過點(diǎn)A作AG//DB交FD于點(diǎn)G，則a/b*d/x*e/f=AG/d*d/x*x/AG=1。過點(diǎn)A作AG//FD交BD于點(diǎn)G，則a/b*d/x*e/f=DG/d*d/x*x/DG=1。總結(jié)：上面的四種構(gòu)造A或8字形都有一個共同的特征：直接構(gòu)造與結(jié)論相關(guān)的比例式， a/b、d/x、e/f中有兩個比例式都能實(shí)現(xiàn)直接轉(zhuǎn)化，結(jié)論可迅速得到證明！但是，如果所構(gòu)造的基本圖形不能直接轉(zhuǎn)化，那么證明就會變得繁瑣，但也總是可以解決，這時不妨用字母改造條件，最終建立一個只含有a、b、x、d、e、f這六條線段的方程，問題就應(yīng)該得證！見視角5：其實(shí)過A、B、C、D、E、F任意一點(diǎn)都可以作兩條平行線，共有12種不同的算法。以下添線方式有興趣的讀者可以嘗試證明一下。能不能將a/b、d/x、e/f中三個比例式都能實(shí)現(xiàn)直接的比例線段轉(zhuǎn)化？當(dāng)然是可行的，見視角13和視角14：分別過A、B、C作BK//AL//CM(當(dāng)然也可以過三點(diǎn)作截線的垂線)則有a:b=h:g,d:x=g:k,e:f=k:h,所以a/b*d/x*e/f=h/g*g/k*k/h=1。分別過A、B、C作AO//FD//CP//BN則有a:b=g:(k h),d:x=(h k):k,e:f=k:g,所以a/b*d/x*e/f=1。關(guān)于比例線段的問題還有一種常規(guī)的想法，可以通過面積實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。如圖：a:b=S5:(S4 S3),d:x=(S4 S3):S4,e:f=S4:S5如圖：a:b=(S1 S5):(S2 S4 S3),d:x= (S2 S4 S3): (S4 S2),e:f=(S2 S4):(S1 S5)總結(jié)：上述的兩種方法通過面積巧妙的轉(zhuǎn)化了線段的比，用到了共邊定理，關(guān)于這類方法有興趣的讀者可閱讀張景中和彭翕成所著的《仁者無敵面積法》一書。下面簡單介紹一下張景中院士的消點(diǎn)法：本題可以看成任取平面內(nèi)三個點(diǎn)A、B、C，再任取X、Y，D、E、F是直線XY與BC、AC、AB相交而得。D、E、F后產(chǎn)生的點(diǎn)先消去，應(yīng)用共邊定理可得：a:b=S△AXY: S△BXY(消去F),d:x= S△BXY: S△CXY(消去D),e:f= S△CXY: S△AXY(消去E). 所以a/b*d/x*e/f=1.消點(diǎn)法是張景中院士所創(chuàng)，在幾何機(jī)器證明中有廣泛的應(yīng)用，詳細(xì)請讀者閱讀張景中院士的《幾何新方法和新體系》等相關(guān)書籍。梅內(nèi)勞斯定理在中考和競賽中都有著廣泛的應(yīng)用，有時可以說“一招制勝”。2010年上海中考25題（2），數(shù)據(jù)如下圖，求∠BPD的正切值。梅內(nèi)勞斯定理還有兩種角元的表達(dá)方式，也可推廣到n邊形，詳細(xì)可參見沈文選的《幾何瑰寶》。在梅氏定理發(fā)現(xiàn)后，又過了約1600年，意大利幾何學(xué)家賽瓦（Ceva）在梅氏定理的基礎(chǔ)上又發(fā)現(xiàn)了“塞瓦定理”，可以說“梅內(nèi)勞斯定理”和“賽瓦定理”是兩兄弟，是平面幾何中兩顆耀眼的明珠。上海初中數(shù)學(xué)草根微信平臺聯(lián)盟我們是一群工作在上海初中數(shù)學(xué)第一線草根教師，如同一片孕育綠色春泥，心中牢記著播撒智慧數(shù)學(xué)的責(zé)任，心向陽光，不斷實(shí)現(xiàn)著自我的提升。我們雖都籍籍無名，然而相信通過自己的努力會感召更多同道中人，為了教好自己的學(xué)生，為了自己業(yè)務(wù)的發(fā)展，為了自己心中數(shù)學(xué)教育的夢想而努力……
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