一課研究之'懂一點邏輯'

魚悅的圖書館 2016-07-17

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聽書：“阿凡提分羊”的邏輯問題
閱讀：懂一點邏輯知識
拓展：“實踐上錯，邏輯上對”的芝諾詭辯

1.聽書

“阿凡提分羊”的邏輯問題

阿凡提分羊的故事：17只羊，老大分得其中的1/9，老二分得其中的1/3，老三分得其中的1/2，羊必須整只分，怎么分？

2.閱讀

懂一點邏輯知識

“如果路上的車輛能少一些的話，那么污染情況將是可接受的。我們要么減少車輛的數(shù)量，要么設置道路收費，或者兩者同時執(zhí)行。如果執(zhí)行道路收費的話，夏天將會炙熱得讓人難以忍受。事實上，夏天正在變得十分涼爽。結(jié)論毋庸置疑：污染情況是可以接受的?！?/section>

上面這段話的陳述是否“站得住腳”，或者根本是毫無邏輯的？

兩個前提一個結(jié)論

上面這段話非常復雜。因此，我們先看一些比較簡單的論點?；厮莨畔ＥD哲學家亞里士多德（他被認為是邏輯學的創(chuàng)始者）。他的方法以各種不同形式的三段論為基礎，是一種基于兩個前提一個結(jié)論的三段陳述的論辯類型。下面是一個例子——

分隔線上面是前提，下面是結(jié)論。在這個例子中，無論我們對“獵犬”、“狗”、“動物”賦予什么樣的意義，結(jié)論是必然的。

下面這個例子是相同的三段論，但是使用了不同的詞語——

在這個例子里，如果以通常的意義理解那些詞語，那么每一句陳述都是毫無意義的。但是，這兩個三段論的例子都具有相同的結(jié)構(gòu)，而且正是這個結(jié)構(gòu)使得三段論有效。你絕對不可能找出這樣一個例子，A，B，C符合這個結(jié)構(gòu)，前提是真的，但結(jié)論卻是假的。正是它使得一個合理論辯變得有用。

我們可以通過改變量詞，如“所有”，“一些”，以及“沒有”，來獲得三段論的其他形式。如——

這個論辯有效嗎？它適用于所有的A，B，以及C嗎？還是說它是一個潛藏的反例，一個前提為真但是結(jié)論卻是假的例子？如果讓A為獵犬，B為棕色物體，C為桌子，那么下面的例子讓人信服嗎？

我們舉出的反例說明了這個三段論是無效的。有非常多不同的三段論類型，這些分解論辯的方法一直持續(xù)了超過2000年之久，而且在中世紀的大學學習中占據(jù)了至關重要的位置。亞里士多德的邏輯（他的三段論）被認為是至19世紀最完美的科學。

命題邏輯

另一種形式的邏輯要比三段論走得更遠。它用于處理命題或簡單的陳述，以及它們的組合。要分析篇頭的觀點，我們先要學習一些“命題邏輯”的相關知識。它曾經(jīng)被稱作“邏輯代數(shù)”，因為喬治·布爾意識到它可以作為一種新的代數(shù)來對待，這給了我們一些關于它的結(jié)構(gòu)的線索，在19世紀40年代，布爾和奧古斯都·德摩根等數(shù)學家對邏輯做出了相當多的工作。

讓我們具體看一下?？紤]一個命題a，a代表“阿旺是一只獵犬”。命題a可能為“真”或是“假”。如果那只名為“阿旺”的狗，它的確是一只獵犬，那么這個命題就是真的（T），但是如果“阿旺”是我家的貓的名字，同時說的又是這只貓，那么這個命題就是假的（F）。一個命題的真假取決于它的參照物。

如果我們還有另一個陳述b，如“咪咪是一只貓”，那么我們就可以以幾種方式組合這兩個命題。一種組合寫為a ∨ b。連接符“V”表示“或”，但是它在邏輯中的使用和日常中的“或”略微有些不同。在邏輯中，如果“阿旺是一只獵犬”， “咪咪是一只貓”，兩者有一個為真或兩者都為真，那么a ∨ b為真。只有當a和b都為假時，a ∨ b才是假。這種命題間的關聯(lián)可以用一個真值表來概括（如下表）。

我們也可以使用“與”來組合命題，寫為a∧b，它們的真值表關系如下。

另外還有“非”，寫為￢a。它們的真值表關系如下：

如果我們通過混合的形式將連接符∨，∧，￢與a，b，c組合起來，如a∧（b∨c），邏輯代數(shù)便會更加清晰。我們可以得到一個等式，稱為同一性。

a∧（b∨c）≡（a∧b）∨（a∧c）

符號≡表示兩個邏輯陳述等價，即符號兩邊具有相同的真值表。這時邏輯代數(shù)和普通代數(shù)之間的一個對應，因為符號∧和∨與普通代數(shù)中的×和＋具有類似之處，在普通代數(shù)中，我們有x×（y＋z）＝（x×y）＋（x×z）。但是，這個對應并不總是成立，存在一些例外。

其他邏輯連接符可能是跟根據(jù)這些基本符號定義的。一個有用的連接符是“邏輯蘊含”a→b，它的定義等價于￢a∨b，其真值表如下：

現(xiàn)在，我們回過頭來看一下開頭的那個論述。我們可以將它寫成為符號形式，并給出它的論辯：

這個論辯是否有效呢？讓我們假設結(jié)論P是假的，但是所有的前提都是真的。如果我們可以證明這個假設是一個謬論，那么意味著論辯是有效的，從而也就意味著不可能前提都為真，結(jié)論卻為假。如果P為假，那么根據(jù)第一個前提C→P，C必須為假。由于C∨S為真，那么C為假的是意味著S為真。根據(jù)第三個前提S→H，則H應當為真。也就是說，￢H是假的。這與最后一個前提￢H假設為真，相矛盾。盡管這個開篇陳述的內(nèi)容仍頗具爭議，但至少論辯的結(jié)構(gòu)是有效地。

當然，除了上述的“兩個前提一個結(jié)論的三段論”和“命題邏輯”外，還有其他邏輯，比如“一階謂詞邏輯”、“模糊邏輯”等。這里不再一一贅述。

（本文節(jié)選自《你不可不知的50個數(shù)學知識》）

3.思考

芝諾詭辯

芝諾是古希臘的哲學家和數(shù)學家，他有一個著名的“阿基里斯永遠追不上烏龜”的詭辯。大意是這樣的：阿基里斯是古希臘神話中善于跑步的英雄，它與烏龜賽跑，烏龜在前，阿基里斯在后，那么阿基里斯永遠也追不上在他前面的烏龜。芝諾的理由是：因為阿基里斯在追上烏龜?shù)钠瘘c時，烏龜往前走了一段路程，當阿基里斯再次追過這段路程時，烏龜又往前走了一段……這樣下去，雖然阿基里斯越追越近，但永遠追不上烏龜。

當然，這個結(jié)論實際上錯誤的。因為芝諾把阿基里斯追趕烏龜?shù)穆烦倘我獾胤指畛蔁o限多段，用有限去解釋無限。

奇怪的是芝諾的詭辯在邏輯上沒有任何毛病，得到的結(jié)論卻是錯誤的?！皩嵺`上錯，邏輯上對”這一結(jié)果正說明了邏輯定理與事實常常不一致，不能單靠純粹的數(shù)學推理來解釋實際生活中的問題。

你若盛開蝴蝶自來