|
如圖，直線y=x+3分別交x軸，y軸于點D,C，點B在x軸上，OB=OC,過點B作直線m∥CD，點P、Q分別為直線m和直線CD上的動點，且點P在x軸的上方，滿足∠ POQ=45°.（2）PB·CQ是否為定值？如果是，請求出該定值，如果不是，請說明理由。此題第（1）（2）問易求，第（3）求證CQ2+PB2=PQ2.很容易聯(lián)想到勾股定理的。只需要以CQ，PB,PQ為邊長的三條線段構成直角三角形，則命題得證。而CQ，PB,PQ分別在不同的位置，考慮進行圖形的變換。將CQ, PB,PQ中的一些線段變換到一起去，再說明所構成的三角形是直角三角形。我們到現(xiàn)在為止學過的圖形變換有：平移，旋轉，軸對稱和位似。前三者屬于全等變換，在平面到自身的變換下圖形的形狀大小不發(fā)生改變，只有位置發(fā)生改變，而位似變換多用于將圖形進行放大縮小，所以這里不考慮。那么此題到底選用什么變換呢？旋轉，此題以前做過，根據(jù)經(jīng)驗，OB=OC,可將△OCQ順時針旋轉90°，此時C與B重合，CQ’與BQ湊在了一起，且因為原來是平行的，旋轉90°之后CQ’⊥BQ。如圖，連接P Q’，只需要證明PQ=PQ’就可以了。這是這道題目的常規(guī)思路，旋轉變換，再通過一次全等即可得到所要求證的結論，我在這里不是想說一題多解，其實考試的時候能想出一種解法就是完美的，我想說的是怎么去思考這個問題，如果憑經(jīng)驗能想到旋轉的方法，很好。我們也嘗試理性地思考一下這個問題，圖形變換中，平移變換在這里不作考慮，因為CQ與PB原本也是平行的，平移之后，可能會平行或共線，無法構成三角形。如圖，作△OCQ關于OQ的對稱圖形△OC’Q,連接PC’，只需要說明PC’=PB,且△ PC’Q是直角三角形即可。由軸對稱的性質，△OCQ≌△O C’Q，∠1=∠2，由題意，∠ POQ=45°，∠ 2+∠ 3=45°，則∠ 1+∠ 4=45°，∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，易得△POB≌△PC’B,則PB=PC’,且∠ P C’O= ∠O C’Q=135°，則∠P C’Q=90°，在△P C’Q中，由勾股定理可得，C’Q2+P C’2=PQ2，則CQ2+PB2=PQ2. 此題的原型是：如圖，在等腰直角三角形ABC的斜邊AB上取兩點M、N,使∠MCN=45°，記AM=x,MN=m,BN=y,猜想m,n,x,有何數(shù)量關系？請證明.(2012 寧德)如圖，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．（1）線段BC上取一點M，連接AM，若AD平分∠BAM.求證：AE平分∠MAC．（2）當0°＜α＜90°時.求證：BD2+CE2=DE2．（3）繼續(xù)旋轉三角板，請你繼續(xù)研究：當135°＜α＜180°時，等量關系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
|
