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作者,南夢玲，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)原創(chuàng)組成員，北京繩索技術(shù)協(xié)會常任理事。
“你數(shù)學(xué)那么好，那你能證明1+1為什么等于2嗎？這可是連陳景潤都證明不了的！”相信各位身邊有數(shù)學(xué)學(xué)霸的小伙伴們或多或少都問過其相關(guān)問題，然后就是一通爭論，吵得面紅耳赤最后絕招：我要和你絕交！
其實真的不需要為了這個問題就影響了好朋友的關(guān)系。好吧，我們哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)的小編為了挽回各位小伙伴們純潔的友誼，仔細認真的向大家介紹下1+1的故事。
陳景潤老師不能證明1+1的問題，這真不是他老人家的錯，這里我們不做過多介紹，只是向大家強調(diào)，我們所討論的1加1絕不是哥德巴赫猜想，而就是討論1+1=2的問題。
本文將從兩部分介紹相關(guān)問題。
第一部分
“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的是人的工作?！薄肆_內(nèi)克(1823-1981)
早在遠古時代，人類采集果實和打獵中產(chǎn)生了對計數(shù)的需求，于是使用手指、樹枝、刻痕、石子等實物來進行計數(shù)。例如五個石子代表五個果實，七條劃痕代表七個獵物等。這樣經(jīng)過較長時間，隨著生產(chǎn)和交換的不斷增多以及語言的發(fā)展，漸漸地把數(shù)從具體事物中抽象出來形成了數(shù)字，（比如古印度數(shù)字、古中亞楔形數(shù)字、古埃及數(shù)字、古瑪雅數(shù)字以及現(xiàn)在世界通用的阿拉伯數(shù)字。先有數(shù)字1，以后逐次累計得到2,3,4......這樣逐漸產(chǎn)生和形成了自然數(shù)。因此自然數(shù)也就是用來表示事物個數(shù)的存在。
而0的誕生，則代表空無一物，最初的時候，0是否為自然數(shù)頗具爭議，后來國際標準ISO/IEC 80000-2規(guī)定，0屬于自然數(shù)。在此我們不做討論。
那么，很自然的，地上有1個蘋果，再放上1個，就是2個蘋果。這也是最早的加法的使用，純粹的實物累計作用。這也就是為什么我們說1+1=2的最根本所在。 第一部分結(jié)束。
N年以后……
第二部分
隨著時代的變遷，數(shù)學(xué)的發(fā)展，人類終于進入了新的時代不用再光著身子到處跑。我們不僅僅解決了穿衣服的問題，而且也對數(shù)的研究也有了驚人的發(fā)展，基底有了統(tǒng)一的規(guī)范，生活常用以十為基底的十進制計數(shù)法并且擴充數(shù)的范圍到了有理數(shù)。某人被投河殺的事件也標志著無理數(shù)的誕生。公元前300年歐幾里得大作《幾何原本》的誕生宣告了公理化體系走進了數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
什么是公理和定理呢？用通俗的語言說，就是人們找出一些基本的大家都認同的概念，當做不需要證明的本身就是正確的公理，（即人為規(guī)定它就是真，不服你咬我呀。有關(guān)黎曼咬歐幾里得的故事請參看長篇小說《黎曼幾何》）而從這一系列公理的集合，推理出的其他一些為真的命題，就是定理。
而我們的自然數(shù)的，自然也必須將被公理化。
1889年皮亞諾的名著《算數(shù)原理新方法》（Arithmetices principia，nova methodo exposita）出版，書中他給出了舉世聞名的自然數(shù)公理。這里，我們將再次回歸1+1的問題。
皮亞諾公理
0是自然數(shù)； 每一個確定的自然數(shù)n都有一個確定的后繼，記作n'。n'也是自然數(shù)； 如果m、n都是自然數(shù)，并且m' = n'，那么m = n； 0不是任何自然數(shù)的后繼； 如果一些自然數(shù)的集合S具有性質(zhì)：0在S中，且有，若n在S中，則n'也在S中，那么S = N。
這里我們把0當做自然數(shù)的第一個數(shù)字。（這可能和皮亞諾最開始的表述不一樣。為了方便我們不去考慮0的問題）
在這里我們能看到，0是一切的開端，它不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)。那么0的后繼是什么呢？總要有個符號來表示吧，那就是1；而1的后繼，就是2。以此類推，我們將得到全部的自然數(shù)，用N來表示。
在這里我們再定義一下加法，也就是符號'+'的含義：
我們有了皮亞諾公理和+的定義，接下來就可以來證明1+1等于2了。
1+1=0'+1 (因為1是0的后續(xù)，所以第一個1用0的后續(xù)來代替) =(0+1)' (根據(jù)加法定義II） =1' (根據(jù)加法定義I) =2 (1的后續(xù)用符號表示就是2)
到此我們便在皮亞諾公理體系之上，證明了1+1=2這個定理。
到此告一段落。不知小伙伴們純潔的友誼是否得到了彌補？在此筆者祝愿大家永遠不要忘記，爭論這些本源問題時，我們所抱有的求知欲望。
其實關(guān)于自然數(shù)的皮亞諾公理還有很多故事可講，比如Hatcher從一些基礎(chǔ)系統(tǒng)，包括ZFC和范疇論推導(dǎo)出了皮亞諾公理。他也從弗雷格的Grundgesetze系統(tǒng)出發(fā)，使用現(xiàn)代符號和自然演繹謹慎的推導(dǎo)出這些公理，雖然羅素悖論曾經(jīng)讓其很悲劇，但George Boolos和Anderson與Zalta等人對它進行了修補，這就又是另外的傳奇故事了。
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