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第六章 數(shù)列 第一節(jié) 等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和 第一部分 五年高考體題薈萃 2009年高考題 一、選擇題 1.(2009年廣東卷文)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9=2a5，a2=1，則a1= A. 12 2 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】設(shè)公比為q,由已知得a1q a1q?2?a1q 2 8 4 2 ,即q2? 2,又因?yàn)榈缺葦?shù)列{an }的公比為正數(shù)，所以q? , 故a1? a2q 2 ,選B 2.(2009安徽卷文）已知A. -1 B. 1 為等差數(shù)列， C. 3 D.7 ，則等于 【解析】∵a1?a3?a5?105即3a3?105∴a3?35同理可得a4?33∴公差d?a4?a3??2∴a20?a4?(20?4)?d?1.選B。 【答案】B 3.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項(xiàng), S8?32,則S10等于A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 22 【解析】由a4?a3a7得(a1?3d)?(a1?2d)(a1?6d)得2a1?3d?0,再由S8?8a1? 562 d?32得 2a1?7d?8則d?2,a1??3,所以S10?10a1? 902 d?60,.故選C 4.（2009湖南卷文）設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，已知a2?3，a6?11，則S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63 【解析】S7? 7(a1?a7) 2 7(a2?a6) 2 7(3?11) 2 49.故選C. a2?a1?d?3?a1?1 或由?, a7?1?6?2?13. ?d?2?a6?a1?5d?11 選校網(wǎng) www.xuanxiao.com 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 所以S7? 7(a1?a7) 2 7(1?13) 2 49.故選C. 5.（2009福建卷理）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3 =6，a1=4， 則公差d等于 A．1 B 【答案】：C [解析]∵S3?6? 32 (a1?a3)且a3?a1?2d a1=4 ? d=2.故選C 53 C.- 2 D 3 6.（2009遼寧卷文）已知?an?為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,則公差d＝ A.－2 B.－ 12 C. 12 D.2 12 【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 ? d＝－【答案】B 7.（2009四川卷文）等差數(shù)列｛an｝的公差不為零，首項(xiàng)a1＝1，a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】設(shè)公差為d，則(1?d)2?1?(1?4d).∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100 2 8.（2009寧夏海南卷文）等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知am?1?am?1?am?0，S2m?1?38,則m? A.38 B.20 C.10 D.9 【答案】C 2 【解析】因?yàn)?an?是等差數(shù)列，所以，am?1?am?1?2am，由am?1?am?1?am?0，得：2am－am＝0，所以，am＝ 2 2，又S2m?1?38，即 (2m?1)(a1?a2m?1) 2 ＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故選.C。 9..（2009重慶卷文）設(shè)?an?是公差不為0的等差數(shù)列，a1?2且a1,a3,a6成等比數(shù)列，則?an?的前n項(xiàng)和Sn=（ ） n 2 A． 4 7n4 B． n 2 3 5n3 C． n 2 2 3n4 D．n?n 2 【答案】A 【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則根據(jù)題意得(2?2d)2?2?(2?5d)，解得d? n(n?1)2 12 n 2 12 或d?0（舍去），所以數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和Sn?2n? 4 7n4 選校網(wǎng) www.xuanxiao.com 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 二、填空題 10.（2009全國卷Ⅰ理） 設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若S9?72,則a2?a4?a9= 答案 24 解析 ??an?是等差數(shù)列,由S9?72,得?S9?9a5,a5?8 a2?a4?a9?(a2?a9)?a4?(a5?a6)?a4?3a5?24. 11.（2009浙江理）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q?答案：15 解析 對(duì)于s4? a1(1?q)1?q 4 12 ，前n項(xiàng)和為Sn，則 S4a4 ． ,a4?a1q,? 3 s4a4 1?q 3 4 q(1?q) 15 12.（2009北京文）若數(shù)列{an}滿足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，則a5?；前8項(xiàng)的和S8?（用數(shù)字作答） 答案 225 解析 本題主要考查簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. a1?1,a2?2a1?2,a3?2a24,a4?2a3?8,a5?2a4?16， 易知S8? 2?12?1 8 255，∴應(yīng)填255. 13.（2009全國卷Ⅱ文）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn。若a1?1,s6?4s3，則a4答案：3 解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由a1?1,s6?4s3得q3=3故a4=a1q3=3 14.（2009全國卷Ⅱ理）設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若a5?5a3則 S9S5 解析 ??an?為等差數(shù)列，?答案 9 S9S5 9a55a3 9 15.（2009遼寧卷理）等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，且6S5?5S3?5,則a4?解析 ∵Sn＝na1＋n(n－1)d 21 ∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d 選校網(wǎng) www.xuanxiao.com 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 ∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4 答案 13 三、解答題 16.（2009浙江文）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn?kn2?n，n?N*，其中k是常數(shù)． （I） 求a1及an； （II）若對(duì)于任意的m?N*，am，a2m，a4m成等比數(shù)列，求k的值． 解（Ⅰ）當(dāng)n?1,a1?S1?k?1， n?2,an?Sn?Sn?1?kn?n?[k(n?1)?(n?1)]?2kn?k?1（?） 2 2 經(jīng)驗(yàn)，n?1,（?）式成立， ?an?2kn?k?1 （Ⅱ）?am,a2m,a4m成等比數(shù)列，?a2m?am.a4m， 即(4km?k?1)2?(2km?k?1)(8km?k?1)，整理得：mk(k?1)?0， 對(duì)任意的m?N?成立， ?k?0或k?1 17.（2009北京文）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an?pn?q(n?N,P?0). 數(shù)列{bn}定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，bm是 2 使得不等式an?m成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若p? 12,q?? 13 ，求b3； （Ⅱ）若p?2,q??1，求數(shù)列{bm}的前2m項(xiàng)和公式； （Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N)？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由. 【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題. 解（Ⅰ）由題意，得an?∴ 12n? 13 12n? 13 ，解 12 n? 13 3，得n? 203 . 3成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即b3?7. （Ⅱ）由題意，得an?2n?1， 對(duì)于正整數(shù)，由an?m，得n?根據(jù)bm的定義可知 當(dāng)m?2k?1時(shí)，bm?k?k?N*?；當(dāng)m?2k時(shí)，bm?k?1?k?N*?. ∴b1?b2???b2m??b1?b3???b2m?1???b2?b4???b2m? 選校網(wǎng) www.xuanxiao.com 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 m?12 . 1?2?3???m????2?3?4????m?1??? m?m?1?2 m?m?3?2 2 m?2m. （Ⅲ）假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式pn?q?m及p?0得n? m?qp . ∵bm?3m?2(m?N?),根據(jù)bm的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)m 都有 3m?1? m?qp 3m?2，即?2p?q??3p?1?m??p?q對(duì)任意的正整數(shù)m都成立. 當(dāng)3p?1?0（或3p?1?0）時(shí)，得m?? 這與上述結(jié)論矛盾！ 當(dāng)3p?1?0，即p? 13 p?q3p?1 （或m?? 2p?q3p?1 ）， 時(shí)，得? 23 q?0?? 13 q，解得? 23 q?? 13 . ∴ 存在p和q，使得bm?3m?2(m?N)； p和q的取值范圍分別是p? 13 ，? 23 q?? 13 .. ,S)n，18.(2009山東卷文)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn， 已知對(duì)任意的n?N? ，點(diǎn)(n均在函數(shù)y?bx?r(b?0 且b?1,b,r均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 bn? n?14an (n?N) 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn nx? 解:因?yàn)閷?duì)任意的n?N,點(diǎn)(n,Sn)，均在函數(shù)y?b?r(b?0且b?1,b,r均為常數(shù))的圖像上.所以得Sn?b?r, 當(dāng)n?1時(shí),a1?S1?b?r, nn?1nn?1n?1 當(dāng)n?2時(shí),an?Sn?Sn?1?b?r?(b?r)?b?b?(b?1)b, n?1 又因?yàn)閧an}為等比數(shù)列, 所以r??1, 公比為b, 所以an?(b?1)b n?1n?1 （2）當(dāng)b=2時(shí)，an?(b?1)b?2, bn? n?14an n?14?2 n?1 n?12 n?1 則Tn? 22 2 32 3 42 4 n?12 n?1 選校網(wǎng) www.xuanxiao.com 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 又當(dāng)x?n時(shí)bn?Tn?Tn?1?(2?6m)?(2?bm?1)?2bn?bn?1 數(shù)列?bn?項(xiàng)與等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為 1 1n?1 bn?() 22 (2)由(1)知C1?a12?bn?16n2?()n?1? 2 1 Cn?1Cn 1(n?1)?12 16(n?1)?()2 (n?1) ??2 12n2n?1 16n?() 2 由 Cn?1Cn 1得 (n?1)2n 2 1即n?2n?1?0?n?1? 2 即n?3 又n?3時(shí) (n?1)22n 2 1成立,即 Cn?1Cn 1由于Cn?0恒成立. 因此,當(dāng)且僅當(dāng)n?3時(shí), Cn?1?Cn 21.（2009江西卷文）數(shù)列{an}的通項(xiàng)an?n(cos(1) 求Sn; (2) bn? S3nn?4 n 2 2 n?3 sin 2 n?3 )，其前n項(xiàng)和為Sn. ,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn. 2 解: (1) 由于cos n?3 sin 2 n?3 cos 2n?3 ,故 S3k?(a1?a2?a3)?(a4?a5?a6)???(a3k?2?a3k?1?a3k)?(? 132 1?22 312 22 3)?(? 2 4?52 22 6)???(? 2 (3k?2)?(3k?1) 2 22 (3k))) 2 18k?5 2 2 k(9k?4) 2, , S3k?1?S3k?a3k? k(4?9k) S3k?2?S3k?1?a3k?1? k(4?9k) 2 (3k?1) 2 2 12 k?? 3k?23 16 , n1? ,?36? (n?1)(1?3n) ,故 Sn?? 6? n(3n?4) ,? 6? n?3k?2 n?3k?1 (k?N*) n?3k (2) bn? Tn? S3nn?4 n 9n?42?4 n , 113229n?4 [?2???], n2444 4Tn? 12 [13? 224 9n?44 n?1 ], 兩式相減得 9 3Tn? 12[13? 94 83 94 n?1 9n?44 3n n ]? 12 [13?n 9n?4]?8?1?9n, n2n?32n?1 14221? 4 9 故 Tn? 13?2 2n?3 2 2n?1 . 22. （2009天津卷文）已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0，設(shè)Sn?a1?a2q???anqn?1 Tn?a1?a2q???(?1) n?1 anq n?1 ,q?0,n?N * （Ⅰ）若q?1,a1?1,S3?15 ,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若a1?d,且S1,S2,S3成等比數(shù)列，求q的值。 （Ⅲ）若q??1,證明（1?q）S2n?(1?q)T2n? 2dq(1?q1?q 22n ) ,n?N * 2 （1）解：由題設(shè)，S3?a1?(a1?d)q?(a1?2d)q,將q?1,a1?1,S3?15 代入解得d?4，所以an?4n?3n?N* 2 （2）解：當(dāng)a1?d,S1?d,S2?d?2dq,S3?d?2dq?3dq,?S1,S2,S3成等比數(shù)列，所以S2?S1S3，即 2 22 （d?2dq）?d（d?2dq?3dq)，注意到d?0，整理得q??2 n?1 （3）證明：由題設(shè)，可得bn?q，則 S2n?a1?a2q?a3q??a2nq 2 22n?1 ① ② T2n?a1?a2q?a3q???a2nq 2n?1 ①-②得， S2n?T2n?2(a2q?a4q???a2nq 3 2n?1 ) ①+②得， S2n?T2n?2(a1q?a3q???a2n?1q 2 2n?2 ) ③ 22n?2 ) ③式兩邊同乘以 q，得q(S2n?T2n)?2(a1q?a3q???a2n?1q 所以(1?q)S2n?(1?q)T2n?2d(q?q???q 32n?1 )? 2dq(1?q1?q 2 2n ) （3）證明：c1?c2?(ak?al)b1?(ak?al)b2?(ak?al)bn 1122nn 1 =(k1?l1)db1?(k2?l2)db1q???(kn?ln)db1qn?1 因?yàn)閐?0,b1?0，所以 c1?c2db1 (k1?l1)?(k2?l2)q???(kn?ln)q n?1 若kn?ln，取i=n， 若kn?ln，取i滿足ki?li，且kj?lj，i?1?j?n 由（1）（2）及題設(shè)知，1?i?n，且 c1?c2db1 (k1?l1)?(k2?l2)q???(kn?ln)q n?1 ① 當(dāng)ki?li時(shí)，ki?li??1，由q?n，ki?li?q?1,i?1,2?,i?1 i?2i?2 q(q?1) 即k1?l1?q?1，(k2?l2)q?q(q?1),?(ki?1?li?1)q 所以 c1?c2db1 (q?1)?(q?1)q???(q?1)q i?2 q i?1 (q?1) 1?q i?1 1?q q i?1 1 因此c1?c2?0 ② 當(dāng)ki?li時(shí)，同理可得 c1?c2db1 1,因此c1?c2?0 綜上，c1?c2 【考點(diǎn)定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。 23. （2009全國卷Ⅱ理）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2 （I）設(shè)bn?an?1?2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。 解：（I）由a1?1,及Sn?1?4an?2，有a1?a2?4a1?2,a2?3a1?2?5,?b1?a2?2a1?3 由Sn?1?4an?2，．．．① 則當(dāng)n?2時(shí)，有Sn?4an?1?2．．．．．② ②－①得an?1?4an?4an?1,?an?1?2an?2(an?2an?1) 又?bn?an?1?2an，?bn?2bn?1?{bn}是首項(xiàng)b1?3，公比為２的等比數(shù)列． （II）由（I）可得bn?an?1?2an?3?2n?1，? 數(shù)列{?an2 n an?12 n?1 an2 n 34 an212 是首項(xiàng)為n (n?1) 34 12 ，公差為 34n? 14 34 的等比數(shù)列． ，an?(3n?1)?2n?2 評(píng)析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找bn與bn?1的關(guān)系即可． n 第（II）問中由（I）易得an?1?2an?3?2n?1，這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模型：an?1?pan?q(p,q為常數(shù))， 主要的處理手段是兩邊除以qn?1． 總體來說，09年高考理科數(shù)學(xué)全國I、Ⅱ這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列（全國I還考查了利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和的方法），一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。 24. （2009遼寧卷文）等比數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為sn，已知S1,S3,S2成等差數(shù)列 （1）求{an}的公比q； （2）求a1－a3＝3，求sn 解：（Ⅰ）依題意有 a1?(a1?a1q)?2(a1?a1q?a1q) 2 由于 a1?0，故 2q?q?0 又q?0，從而q?－ 12 2 5分 12）?3 2 （Ⅱ）由已知可得a1?a（1 故a1?4 ）） 81n2?1?（?）） 從而Sn? 10分 132 1?（?） 2 a?an?1* ,n?N. 25. （2009陜西卷文）已知數(shù)列?an}滿足， a1＝1’a2?2,an＋2＝n 2 （41?（? 1 n 令bn an?1?an，證明：{bn}是等比數(shù)列； (Ⅱ)求?an}的通項(xiàng)公式。 （1）證b1?a2?a1?1, 當(dāng)n?2時(shí)，bn?an?1?an?所以?bn?是以1為首項(xiàng)，? 12an?1?an 2 an?? 12 (an?an?1)?? 12bn?1, 為公比的等比數(shù)列。 12) n?1 （2）解由（1）知bn?an?1?an?(? , 12 )???(? 12) n?2 當(dāng)n?2時(shí)，an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?1?1?(? 1?(??1? 1)125 3 n?1 1? 23 [1?(? 12 ) n?2 ]? 53 23 (? 12 ) n?1 , 1?(?) 23(?12)12 當(dāng)n?1時(shí)，所以an? 53 ) 1?1 1?a1。 * 23 (? n?1 (n?N)。 26.（2009湖北卷文）已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列， 且滿足a3a6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式： （Ⅱ）若數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式：an＝＝ b12?b22 2 b32 3 ... bn2 n (n為正整數(shù))，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn 解（1）解：設(shè)等差數(shù)列?an?的公差為d，則依題設(shè)d>0 由a2+a7＝16.得2a1?7d?16 ① 由a3?a6?55,得(a1?2d)(a1?5d)?55 ② 2 由①得2a1?16?7d將其代入②得(16?3d)(16?3d)?220。即256?9d?220 d?4,又d?0,?d?2,代入①得a1?1?an?1?(n?1)?2?2n?1 2 （2）令cn? bn2 n ,則有an?c1?c2???cn,an?1?c1?c2???cn?1 所以Sn?c1?c2???cn?17n （Ⅲ）當(dāng)n?1時(shí)，結(jié)論b1172?b1?4 64 成立 當(dāng)n≥2時(shí)，有b11 bn?bn?11n?1?bn?|4? b?4? |?|b|≤ |bn?bn?1| n bn?1 nbn?1 17 ≤ 117 2 |b1 n?1?bn?2|≤?≤ 117 n?1 |b2?b1|? 64117 n?2(n≥2) 所以 b2n?bn≤bn?1?bn?bn?2?bn?1???b2n?b2n?1 1?1(1)n?1(11 n?1 4?(17 )?(1??17)n???(117)2n?2???11717n)?11(n?N*) ?41? 16417n?217 2005——2008年高考題 一、選擇題 1.（2008天津）若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5?25，且a2?3，則a7?( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 B 2.（2008陜西）已知{an}是等差數(shù)列，a1?a2?4，a7?a8?28，則該數(shù)列前10項(xiàng)和S10等于（ A．64 B．100 C．110 D．120 答案 B 3.（2008廣東）記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S1n，若a1?2 ，S4?20，則S6?（ ） A．16 B．24 C．36 D．48 答案 D 4.（2008浙江）已知?a1n?是等比數(shù)列，a2?2，a5? 4 ，則a1a2?a2a3???anan?1=（ ） A.16（1?4?n） B.6（1?2?n） C. 32n?n3 （1?4?） D. 323 （1?2） 答案 C 5.（2008四川）已知等比數(shù)列?an?中a2?1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是() A.???,?1? B.???,0???1,??? C.?3,??? D.???,?1???3,??? ） 6.（2008福建)設(shè)｛an｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若n1=7,a5=16,則數(shù)列｛an｝前7項(xiàng)的和為( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（2007重慶）在等比數(shù)列{an}中，a2＝8，a5＝64，，則公比q為（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 答案 A 8.（2007安徽）等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sx若a2?1,a3?3,則S4＝（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 答案 B 9.（2007遼寧）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3?9，S6?36，則a7?a8?a9?（ ） A．63 B．45 C．36 D．27 答案 B 10.(2007湖南) 在等比數(shù)列{an}（n?N*）中，若a1?1，a4?A．2? 12 4 18 ，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（ ） 12 11 B．2? 12 2 C．2? 12 10 D．2? 答案 B 11.(2007湖北)已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D 12.(2007寧夏)已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y?x?2x?3的頂點(diǎn)是(b，c)，則ad等于（ ） A．3 B．2 C．1 D．?2 答案 D 13.(2007四川)等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100,則n=（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 答案 B c,a,b 14.（2006湖北）若互不相等的實(shí)數(shù) 成等差數(shù)列， 成等比數(shù)列，且a?3b?c?10，則a? a,b,c 2 AnBn 7n?45n?3 ，則使得 anbn 為整數(shù)的正 A．4 B．2 C．－2 D．－4 解析 由互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列可設(shè)a＝b－d，c＝b＋d，由a?3b?c?10可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c,a,b成等比數(shù)列可得d＝6，所以a＝－4，選D 15.（2005福建）已知等差數(shù)列{an}中，a7?a9?16,a4?1,則a12的值是 A．15 答案 A 16.（2005江蘇卷）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中，首項(xiàng)a1=3 ，前三項(xiàng)和為21，則a3+ a4+ a5=( ) A .33 B. 72 C. 84 D .189 答案 C 二、填空題 17.（2008四川）設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若S4?10,S5?15，則a4的最大值為______. 答案 4 18.（2008重慶)設(shè)Sn=是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a12=-8,S9=-9,則S16= . 答案 -72 19.(2007全國I) 等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則?an?的公比為 ． 答案 13 （ ） B．30 C．31 D．64 20.（2007江西）已知等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若S12?21，則a2?a5?a8?a11?答案 7 2 23，?)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為21.（2007北京）若數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?n?10n(n?1，， 數(shù)列 nan?中數(shù)值最小的項(xiàng)是第 答案 2n?11 項(xiàng)． 22.（2006湖南）數(shù)列?an?滿足：a1?1,an?1?2an.n?1，2，3?.則a1?a2???an? . 答案 2n?1 解析 數(shù)列∴ an?滿足： a1?1,an?1?2an, n?1，2，3?，該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列， 2?1 n a1?a2???an? 2?1 2?1 n 三、解答題 23.（2008四川卷）． 設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban?2??b?1?Sn n （Ⅰ）證明：當(dāng)b?2時(shí)，?an?n?2n?1?是等比數(shù)列； （Ⅱ）求?an?的通項(xiàng)公式 解 由題意知a1?2，且ban?2??b?1?Sn n ban?1?2 n?1 b?1?Sn?1 n 兩式相減得b?an?1?an??2??b?1?an?1 即an?1?ban?2n ① （Ⅰ）當(dāng)b?2時(shí)，由①知an?1?2an?2n 于是an?1??n?1??2?2an?2??n?1??2 n n n 2?an?n?2n?1? n?1 又a1?1?2?1?0，所以?an?n?2n?1?是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。 n?1n?1 （Ⅱ）當(dāng)b?2時(shí)，由（Ⅰ）知an?n?2?2，即an??n?1?2 n?1 當(dāng)b?2時(shí)，由由①得 an?1? 12?b 2 n?1 ban?2??ban? b2?b n 12?b?2 n 2 n?1 1?n? b?an??2? 2?b?? 12?b n?1 因此an?1? 2 1?n b?an??2 2?b??
2?1?b?2?b b n 2n?1?? 得an??1 nn?1 2??2?2b?b?n?2????2?b 24.（2008江西卷）數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且a1?3,b1?1，數(shù)列{ba}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2?64. n （1）求an,bn； （2）求證 1S1 1S2 1Sn 34 . 解：（1）設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù)， an?3?(n?1)d，bn?q n?1 3?nd ban?1qd6 3?(n?1)d?q?64?2? q依題意有?ban① S2b2?(6?d)q?64? 由(6?d)q?64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1,2,3,6之一， 解①得d?2,q?8 故an?3?2(n?1)?2n?1,bn?8n?1 （2）Sn?3?5???(2n?1)?n(n?2) ∴ 1S112 12 1S21312 12 1 1Sn?? 13 11?3?15 12?41n 13?51n?2 1n(n?2) (1?(1? 1 4 34 ) 1n?2 n?1 )? 25..（2008湖北）.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足： a1??,an?1? 23 an?n?4,bn?(?1)(an?3n?21),其中?為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù). n （Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)?，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列； （Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； （Ⅲ）設(shè)0?a?b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)?，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有 a?Sn?b?若存在，求?的取值范圍；若不存在，說明理由. 本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力 和推理認(rèn)證能力，（滿分14分） （Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使｛an｝是等比數(shù)列，則有a22=a1a3,即 解：（I）由a1=1，an?1? a2? 13S1? 13a1?13 13 13 Sn，n=1，2，3，??，得 13S2? 13 (a1?a2)? 49 ，a3?，a4? 43 13 S3? 13 (a1?a2?a3)? 1627 ， 由an?1?an?又a2= 13 (Sn?Sn?1)? 14 13 ，得an?1?an（n≥2）， an（n≥2） ，所以an=()n?2(n≥2), 33 1? ∴ 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an??14n?2 ()?33 n?1n≥2 27.（2005福建）已知{an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1,a3,a2成等差數(shù)列. （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）設(shè){bn}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說明理 由. 2 解：（Ⅰ）由題設(shè)2a3?a1?a2,即2a1q?a1?a1q, ?a1?0,?2q2?q?1?0. q?1或? 12 . （Ⅱ）若q?1,則Sn?2n?當(dāng)n?2時(shí),Sn?bn?Sn?1? 12 n(n?1)2 1? n?3n2 2 . (n?1)(n?2) 2 0. 故Sn?bn. 2 若q?? ,則Sn?2n? n(n?1)2 (? 12 )? n?9n 4 , . 當(dāng)n?2時(shí),Sn?bn?Sn?1?? (n?1)(n?10) 4 故對(duì)于n?N?,當(dāng)2?n?9時(shí),Sn?bn;當(dāng)n?10時(shí),Sn?bn;當(dāng)n?11時(shí),Sn?bn. 第二部分 三年聯(lián)考題匯編 2009年聯(lián)考題 一、選擇題 2? 1.(北京市朝陽區(qū)2009年4月高三一模理)各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}中，若an?an?1?an?1?0(n?N,n?2)，則 S2009等于 （ ） A．0 B．2 C．2009 D．4018 答案 D 2. (北京市西城區(qū)2009年4月高三一模抽樣測(cè)試?yán)? 若數(shù)列{an}是公比為4的等比數(shù)列，且a1=2，則數(shù)列{log2an}是（ ） A. 公差為2的等差數(shù)列 B. 公差為lg2的等差數(shù)列 C. 公比為2的等比數(shù)列 D. 公比為lg2的等比數(shù)列 答案 A 3.（2009福州三中）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S7?14，則a3?a5的值為（ ） A．2 答案 B 4.（2009廈門一中文）在等差數(shù)列?an?中， a2?a8?4,則 其前9項(xiàng)的和S9等于 （ ） A．18 B 27 C 36 D 9 答案 A 25.（2009長(zhǎng)沙一中期末）各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列{an}中，2a3?a7?2a11?0，則a7的值為 ．．． B．4 C．7 D．8 （ ） D．2 A．0 答案 B B．4 C．0或4 6.（2009宜春）在等差數(shù)列{an}中，a1?a4?a7?39，a3?a6?a9?27，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)之和S9等于 （ ） A.66 B．99 C．144 D.．297 答案 B 7.（遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2008年高考模擬）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 Sn,若S4?8,S8?20,則a11?a12?a13?a14? D．15 （ ） A．18 答案：C. 二、填空題 B．17 C．16 8.(北京市東城區(qū)2009年3月高中示范校高三質(zhì)量檢測(cè)理)已知等差數(shù)列{an}的公差d?0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則 a1?a3?a9a2?a4?a10 的值為 ． 答案 1316 n?1,n為奇數(shù) 9.（2009福州八中）已知數(shù)列an??則a1?a100?＿＿＿＿ , a1?a2?a3?a4???a99?a100?＿＿ n,n為偶數(shù) ＿＿ 答案 100． 5000； 10.（2009寧鄉(xiāng)一中第三次月考）11、等差數(shù)列{an}中，a1?a2???a9?81且a2?a3???a10?171，則公差d= 答案 10 11.（2009南京一模）已知等比數(shù)列?an?的各項(xiàng)均為正數(shù)，若a1?3，前三項(xiàng)的和為21 ， 則a4?a5?a6?答案168 12.（2009上海九校聯(lián)考）已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn?2n?1，則a8?答案 128 三、解答題 2 13.（2009龍巖一中）設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足：a1?2,a2?6，當(dāng)n?2時(shí)，有|an?an?1an?1|? 12 an?1． （I） 求a3、a4的值； （Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)； (Ⅲ) 記Tn? 1 2 a1 2 2 a2 3 2 a3 n 2 an12 ，證明，對(duì)任意n?N * ，Tn? 94 . 2 解（Ⅰ）n?2時(shí)，|a2?a1a3|? a1，由已知a1?2,a2?6，得|36?2a3|?1， 因?yàn)閍3為正整數(shù)，所以a3?18，同理a4?54????????????2分 n?1 （Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an?2?3。????????????????3分 證明：①n?1,2時(shí)，命題成立； k?1k?2 ②假設(shè)當(dāng)n?k?1與n?k時(shí)成立，即ak?2?3，ak?1?2?3。?????4分 于是|ak?ak?1ak?1|? 2 12 ak?1，整理得：| ak 2 ak?1 ak?1|? 12 ，???????????5分 由歸納假設(shè)得：|2?3k?ak?1|? 12 2?3? k 12 ak?1?2?3? k 12 ，???????6分 因?yàn)閍k?1為正整數(shù)，所以ak?1?2?3k，即當(dāng)n?k?1時(shí)命題仍成立。 綜上：由知①②知對(duì)于?n?N*，有an?2?3n?1成立．????????????7分 2 2 (Ⅲ)證明：由 2Tn?1? 2 22 3 33 22 n3 2 n?1 ③ 得 23 Tn? 1 3 23 (n?1)3 n?1 2 n3 2n ④ ③式減④式得 43 Tn?1? 3333 2 53 2 2n?13 n?1 n3 2n ⑤???????9分 49 Tn? 13 2n?33 n?1 2n?13 n n3 2 n?1 ⑥ ⑤式減⑥式得 Tn?1??2???n?1? 9333 8 2 2 2 (n?1)3 2 n 2 n3 2 n?1 11分 13? 13 n 1?2(1? 13 13 2 13 n?1 )? (n?1)3 n n3 2 1? 1?2? 1? (n?1)3 n 2 n?1 n3 2 n?1 1?3? 94 13 n?1 (n?1)3 n 2 n3 2 n?1 2? 2(n?3n?6) 3 n?1 2 2????13分 則 Tn? ．????????????????????14分 14 14.（2009常德期末）已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn,a1? 3bn?bn?1?n(n?2且n?N)． 且Sn?Sn?1?an?1? 12 ，數(shù)列?bn?滿足b1?? 1194 且 （１）求?an?的通項(xiàng)公式； （２）求證：數(shù)列?bn?an?為等比數(shù)列; （３）求?bn?前n項(xiàng)和的最小值． 解： (1)由2Sn?2Sn?1?2an?1?1得2an?2an?1?1, an?an?1?∴an?a1?(n?1)d? 12n? 14 12 2分 4分 (2)∵3bn?bn?1?n,∴bn?∴bn?an? 13bn?1? 13n? 12n? 13 14 bn?1? 13 13 n, 16n? 14?13(bn?1? 12n? 34); bn?1? bn?1?an?1?bn?1? 12 (n?1)? bn?an 14 bn?1? 13 12 n? 34 1194?14 30 ∴由上面兩式得 bn?1?an?1 ,又b1?a1?? ∴數(shù)列?bn?an?是以-30為首項(xiàng), 1 13 為公比的等比數(shù)列.???????8分 1 12n? 1 1n?1 30?() 43 (3)由(2)得bn?an??30?()n?1，∴bn?an?30?()n?1? 3 3 bn?bn?1? 12n? 1 1n?1111n?2 30?()?(n?1)??30?() 43243 = 1 1n?2111n?2 30?()(1?)??20?()?0 ，∴?bn?是遞增數(shù)列 ???11分 23323 當(dāng)n=1時(shí), b1?? 1194 <0；當(dāng)n=2時(shí), b2? 34 10<0；當(dāng)n=3時(shí), b3? 54 103 <0；當(dāng)n=4時(shí), b4? 74 109 >0，所以, 從第4項(xiàng)起的各項(xiàng)均大于0,故前3項(xiàng)之和最小. 且S3? 14 (1?3?5)?30?10? 103??41 112 13分 9月份更新 一、選擇題 1.（2009濱州一模）等差數(shù)列?aA．15 答案 B n 中，a5?a11?30，a4 D．37 7，則a12的值為 B．23 C．25 2.（2009上海十四校聯(lián)考）無窮等比數(shù)列1, 212,,,?各項(xiàng)的和等于 224 （ ） A．2?2 B．2?2 C．2?1 D．2?1 答案B 3.（2009聊城一模）兩個(gè)正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是5，等比例中項(xiàng)是4，若a>b，則雙曲線 A． 32 x 2 a y 2 b 1的離心率e等于 B． 52 C． 50 （ ） D．3 答案B 二、填空題 b1? 1x1?2 13 2 ，q??2; （III）II） n 知， bn?(? n 2，要使 cn?1?cn 恒成立由 n?1n?1 3n???(cn?1?cn??3??(?2)??? n nn ＞0恒成立， ?=22?3?3?(?2)? 即（－1）λ＞-（ 32 ） n－1 恒成立． 32 ⅰ。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ<（又（ 32 ） n－1 恒成立． 10分 ） n－1 的最小值為1．∴λ<1． 32 ⅱ。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ>－（又－（即－ 3232 ）n-1恒成立， 32 ）n－1的最大值為－ 32 ，∴λ>－． 11分 <λ<1，又λ≠0，λ為整數(shù)， ∴λ＝－1，使得對(duì)任意n∈N*,都有cn?1?cn． 12分 133 2.（2009上海青浦區(qū)）設(shè)數(shù)列?an?的前n和為Sn，已知S1? (n?1)24n?1 (2?1),? 123?? 2 4n?n (2?1).?3?12 (當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)) 13 ，S2?，S3? 163 ，S4? 643 ， 一般地，Sn （n?N*）． (當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)) （1）求a4； （2）求a2n； （3）求和：a1a2?a3a4?a5a6???a2n?1a2n． （1）a4?16； ??3分 （2）當(dāng)n?2k時(shí)，（k?N*） a2k?S2k?S2k?1? (2k)12 2 43 (2 2k 1)?[ (2k)12 2 43 (2 2k?2 1)]?2 2k ， ??6分 n 所以，a2n?4（n?N*）． ??8分 （3）與（2）同理可求得：a2n?1? 13 (2n?1)， ??10分 設(shè)a1a2?a3a4?a5a6???a2n?1a2n=Tn， 則Tn? 13 [4?3?4?5?4???(2n?1)?4]，（用等比數(shù)列前 2 3 n n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法） 4Tn? 13 [4?3?4?5?4???(2n?1)?413 2 3 n 234n?1 ]，相減得 ]，所以 3Tn?Tn? [4?2(4?4???4)?(2n?1)?4?4 n?1 n?1 2n?19 3227 (4 n?1 1)? 49 ． ??14分 x4 3.（2009上海八校聯(lián)考）已知點(diǎn)列B1(1,y1),B2(2,y2),?,Bn(n,yn),?(n?N*)順次為直線y? 上的點(diǎn)，點(diǎn)列 A1(x1,0),A2(x2,0),?,An(xn,0),?(n?N*)順次為x軸上的點(diǎn)，其中x1?a(0?a?1)，對(duì)任意的n?N*， 點(diǎn)An、Bn、An?1構(gòu)成以Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形。 （1）證明:數(shù)列?yn?是等差數(shù)列； （2）求證:對(duì)任意的n?N*，xn?2?xn是常數(shù)，并求數(shù)列?xn?的通項(xiàng)公式； （3）對(duì)上述等腰三角形AnBnAn?1添加適當(dāng)條件，提出一個(gè)問題，并做出解答。 （根據(jù)所提問題及解答的完整程度，分檔次給分） 解: (1)依題意有yn? n4 ,于是yn?1?yn? 14 . 所以數(shù)列?yn?是等差數(shù)列. ???.4分 xn?xn?1 2 (2)由題意得 n,即xn?xn?1?2n , (n?N) ① 所以又有xn?2?xn?1?2(n?1). ② 由②?①得：xn?2?xn?2, 所以xn?2?xn是常數(shù)． ???６分 由x1,x3,x5,??; x1?a(0?a?1), x2,x4,x6,??都是等差數(shù)列. x2?2?a，那么得 x2k?1?x1?2(k?1)?2k?a?2, x2k?x2?2(k?1)?2?a?2(k?1)?2k?a. (k?N?) ???８分 n?a?1 故xn?? n?a 1０分 (n為偶數(shù)）. (n為奇數(shù)） (3) 提出問題①：若等腰三角形AnBnAn?1中，是否有直角三角形，若有，求出實(shí)數(shù)a 提出問題②：若等腰三角形AnBnAn?1中，是否有正三角形，若有，求出實(shí)數(shù)a 解：?jiǎn)栴}① ???1１分 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),An(n?a?1,0),An?1(n?1?a,0),所以AnAn?1?2(1?a); 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),An(n?a,0),An?1(n?a,0),所以AnAn?1?2a; 作BnCn?x軸,垂足為Cn,則BnCn? １３分 n4 ,要使等腰三角形AnBnAn?1為直角三角形,必須且只須：AnAn?1?2BnCn. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有2(1?a)?2? 當(dāng)n?1時(shí), a? 34; n4 ,即a?1? n 當(dāng)n?3時(shí),n4 41 a?， 當(dāng)n?5, a?0不合題意.???15分 4 a?12 ① 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),有2a?2? ，a? n4 ,同理可求得 當(dāng)n?2時(shí) 當(dāng)n?4時(shí),a?0不合題意. ???1７分 綜上所述,使等腰三角形AnBnAn?1中，有直角三角形,a的值為 1８分 34 或 14 或 12 . 解：?jiǎn)栴}② ???1１分 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),An(n?a?1,0),An?1(n?1?a,0),所以AnAn?1?2(1?a); 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),An(n?a,0),An?1(n?a,0),所以AnAn?1?2a; n4 作BnCn?x軸,垂足為Cn,則BnC n? １３分 ,要使等腰三角形AnBnAn?1為正三角形,必須且只須：AnAn?1 nCn. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 有2(1?a)? n4 , 即a?1? 12 n ① 當(dāng)n?1時(shí),a?1? 12 當(dāng)n?3時(shí),a?1? 4 ;n?5時(shí),a?1? 12 ， 當(dāng)n?7時(shí)，. a?0不合題 意． 15分 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) ,有2a? n4 ，a? 122 ,同理可求得 當(dāng) n?2時(shí)a? 6 . 當(dāng)n?4時(shí)a? 3 ；當(dāng)n?6時(shí)a?；當(dāng)n?8時(shí)，a?0不合題意．???1７分 綜上所述,使等腰三角形AnBnAn?1中，有正三角形，a的值為 a?1? 12 a?1? 4 ;a?1? 12 ；a? 6 ；a? 3 ；a? 2 1８分 2007——2008年聯(lián)考題 一、選擇題 1.（ 上海市部分重點(diǎn)中學(xué)高三第一次聯(lián)考） 等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn(n?1,2,3???)當(dāng)首項(xiàng)a1和公差d變化時(shí)，若a5?a8?a11是一個(gè)定值，則下列各數(shù)中為定值的是―――――――――（ ） A、S16 答案 B 2.(山東省濰坊市2007—2008學(xué)年度高三第一學(xué)期期末考試) 各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q?1，且 12 a3,a1成等差數(shù)列，則 B.S15 C、S17 D、S18 a2, a3?a4a4?a5 5?12 的值為（ ） A． 1?2 5 B． C. 5?12 D． 5?12 或 5?12 答案 C 3.(湖南省2008屆十二校聯(lián)考第一次考試)在等比數(shù)列{an}中,a5a7?6,a2?a10?5,則 A．? 23 32 a18a10 （ ） 或? B． 23 C． 32 D． 23 或 32 答案 D 4. (200８年天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）)正項(xiàng)等比數(shù)列?an?滿足a2a4?1,S3?13,bn?log則數(shù)列?bn?的前10項(xiàng)和是 A．65 答案 D 5.. (上海市嘉定一中2007學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)測(cè)試（二）) 等差數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)的和為90，偶數(shù)項(xiàng)的和為72，且a2n?a1??33，則該數(shù)列的公差為 A．3 （ ） B．－65 C．25 D. －25 3 an, B－3 C．－2 D．－1 答案 B 二、填空題 6.（江蘇省省阜中2008屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)） 在等差數(shù)列?an?中，則使Sn取得最小正數(shù)的n? 答案19 a11a10 1,若它的前 n項(xiàng)和Sn有最大值， 7.（2007—2008學(xué)年湖北省黃州西湖中學(xué)二月月考試卷）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2n an S2nSn 4n?12n?1 ，則 = ． 答案 4 解析： 由a2n an Sn? n(a1?an) 2 4n?12n?1 2 ，即 an ndan 4n?12n?1 ，得an S2nSn 2n?12 d,a1? d2 ． nd2 ，S2n (2n)d2 2 4Sn．故 =4． 8.（山東省濰坊市2008年高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)） 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6?a14?20，則 S19=______________． 答案 190 9.(江西省臨川一中2008屆高三模擬試題)等差數(shù)列有如下性質(zhì)，若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則當(dāng) a1?a2???an n bn?時(shí),數(shù)列{bn} 也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地{cn}是正項(xiàng)等比數(shù)列，當(dāng)數(shù)列dn?時(shí)，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列。 答案 nC1C2?Cn 三、解答題 10..（2008江蘇省阜中2008屆高三第三次調(diào)研考試試題）設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無窮數(shù)列{an}的集合：① an?an?2 2 an?1； ②an?M.其中n?N, M * 是與n無關(guān)的常數(shù)． (1)若{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，a3=4，S3=18，試探究{Sn}與集合W之間的關(guān)系； (2)設(shè)數(shù){bn}的通項(xiàng)為bn?5n?2n,且{bn}?W，求M的取值范圍；(4分) 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d ，則a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d =－2， 所以Sn?na1? Sn?Sn?2 2 n(n?1)2 d??n?9n 2 ，(2分)， an?2?an?1 2 d 1, 2 Sn?1? (Sn?2?Sn?1)?(Sn?1?Sn) 2 得 Sn?Sn?2 2 Sn?1,適合條件①. (4分)； Sn?23?12n?8 （3）?cn?11n?1?()(n?N*)????????8分 341n?11n?cn?(3n?1)?()?(3n?2)?() 44 1n?1?9(1?n)?(),(n?N*) 4 1∴當(dāng)n=1時(shí)，c2?c1? 4 當(dāng)n?2時(shí),cn?1?cn,即c1?c2?c3?c4???cn ∴當(dāng)n=1時(shí)，cn取最大值是 又cn? 1 4m 2214 n恒成立 14m2?m?1對(duì)一切正整數(shù)14?m?1? 即m?4m?5?0得m?1或m??5????????12分 n212.(武漢市2008屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測(cè)試文科數(shù)學(xué)試題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn?(?1)(2n?4n?1)?1， n?Ne。 ? （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)記bn?(?1)ann，求數(shù)列?bn?前n項(xiàng)和Tn n2解：（1）數(shù)列?an?的前n項(xiàng)之和sn?(?1)(2n?4n?1)?1 1在n=1時(shí)，a1?s1?(?1)(2?4?1)?1??8 在n?2時(shí)，an?sn?sn?1 (?1)(2n?4n?1)?(?1) (?1)?4n(n?1) n而n=1時(shí)，a1??8滿足an?(?1)4n(n?1) n2n?1[2(n?1)?4(n?1)?1] 2n n故所求數(shù)列?an?通項(xiàng)an?(?1)4n(n?1)????????????（7分） （2）∵bn?(?1)ann?14n(n?1)? 1 4111(?) 4nn?11n?1)?4n n?1)?????????（12分） 因此數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Tn?(1? 13.(2007屆岳陽市一中高三數(shù)學(xué)能力題訓(xùn)練匯編)已知點(diǎn)Pn?an,bn?都在直線l:y?2x?2上，P1為直線l與x軸的交 點(diǎn)，數(shù)列?an?成等差數(shù)列，公差為1. （n?N?） (1)求數(shù)列?an?，?bn?的通項(xiàng)公式； an (n為奇數(shù))(2)若f(n)?? ， 問是否存在k?N?，使得f?k?5??2f?k??2成立；若存在，求出k的值，若不?bn (n為偶數(shù)) 存在，說明理由. (3)求證：1 P1P22? 1P1P32??? +1P1Pn2?25 (n?2, n?N?) 解 (1) P1??1,0?,an?n?2,bn?2n?2 n?2 (n為奇數(shù))(2) f(n)?? 2n?2 (n為偶數(shù))? 假設(shè)存在符合條件的k: (ⅰ)若k為偶數(shù)，則k?5為奇數(shù)，有f(k?5)?k?3,f(k)?2k?2 如果f(k?5)?2f(k)?2，則k?3?4k?6?k?3與k為偶數(shù)矛盾.不符舍去； (ⅱ) 若k為奇數(shù)，則k?5為偶數(shù)，有f(k?5)?2k?8,f(k)?k?2. 2k?8?2(k?2)?2這樣的k也不存在. 綜上所述：不存在符合條件的k. (3) ?Pn?n?2,2n?2?,P1(?1,0) ?P1Pn??1 P1P225(n?1) (n?2) ?1P1P32???1P1Pn2??1?1111????? ?222?5?23?n?1?? 1?1?1111?1?1?2??1??????1?1??2?? ???????n?2??n?1??5?5?1?22?3(n?1)?5?(n?1)?5 轉(zhuǎn)載請(qǐng)保留出處，http://www./doc/info-ffb25112a216147917112889.html |
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