高考數(shù)學圓錐曲線部分知識點梳理

一、方程的曲線：

在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。

點與曲線的關(guān)系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上?f(x0,y 0)=0；點P0(x0,y0)不在曲線C上?f(x0,y0)≠0。

兩條曲線的交點：若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點P0(x0,y0)是C1，C2的交點?{個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有交點。 二、圓：

1、定義：點集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點O為圓心，定長r為半徑.

2、方程：(1)標準方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)+(y-b)=r                   圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2

(2)一般方程：①當D2+E2-4F＞0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(?

2

2

2

f1(x0,y0)?0f2(x0,y0)?0

方程組有n

D2

,?

E2

)半徑是

D

2

E2

2

4F

。配方，將方程x+y+Dx+Ey+F=0化為(x+

22

D2

)+(y+

2

E2

22

2

)=D?E-4F

4

②當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-

D2

,-

E2

);

③當D2+E2-4F＜0時，方程不表示任何圖形.

（3）點與圓的位置關(guān)系  已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y0)，則｜MC｜＜r?點M在圓C內(nèi)，｜MC｜=r?點M在圓C上，｜MC｜＞r?點M在圓C內(nèi)，其中｜MC｜=

(x0-a)?(y0-b)

22

。

（4）直線和圓的位置關(guān)系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交?有兩個公共點；直線與圓相切?有一個公共點；直線與圓相離?沒有公共點。

②直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d?小關(guān)系來判定。

三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：

平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之 比是一個常數(shù)e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數(shù)e稱為離心率。當0＜e＜1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e＞1時，軌跡為雙曲線。

Aa?Bb?CA?B

2

2

與半徑r的大

- 1 -

- 2 -

【備注1】雙曲線：

⑶等軸雙曲線：雙曲線x2?y2??a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y??x，離心率e?

2.

⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.

xa

22

yb

22

與

xa

22

yb

22

互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：

xa

22

yb

22

0.

⑸共漸近線的雙曲線系方程：

xa

22

yb

22

(??0)的漸近線方程為

xa

22

yb

22

0如果雙曲線的漸近線為

xa

yb

0時，它的雙曲

線方程可設為

xa

22

yb

22

(??0).

【備注2】拋物線：

（1）拋物線y=2px(p>0)的焦點坐標是(

2

p2

,0)，準線方程x=-

p2

，開口向右；拋物線y=-2px(p>0)的焦點坐標是(-

2

p2

,0)，

準線方程x=

p2

，開口向左；拋物線x=2py(p>0)的焦點坐標是(0,

2

p2

)，準線方程y=-

p2

，開口向上；

拋物線x=-2py（p>0）的焦點坐標是（0,-

2

p2

），準線方程y=

p2

，開口向下.

（2）拋物線y=2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離MF?x0?

2

p2

；拋物線y=-2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的

2

距離MF?

p2

x0

（3）設拋物線的標準方程為y=2px(p>0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為p.

2

p2

，頂點到準線的距離

p2

，焦點到準線的距離為

（4）已知過拋物線y=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長

2

AB=x1?x2+p或AB?

五、坐標的變換：

2psin?

2

(α為直線AB的傾斜角)，y1y2??p，x1x2?

2

p

2

4

,AF?x1?

p2

(AF叫做焦半徑).

（1）坐標變換：在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程.

（2）坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸。 （3）坐標軸的平移公式：設平面內(nèi)任意一點M，它在原坐標系中的坐標是，在新坐標系x ′O′y′中的坐標是(x,y).

'

'

設新坐標系的原點O′在原坐標系xOy中的坐標是(h,k)，則  叫做平移(或移軸)公式.

（4）中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表：

x?x'?hy?y'?k

或

x'?x?hy'?y?k

- 3 -

1. 2. 3. 4.

點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角.

PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.

以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.

5.

若P0(x0,y0)在橢圓

xaxa

22

ybyb

22

1上，則過P0的橢圓的切線方程是

x0xa

2

y0yb

2

1.

22

22

6.

若P0(x0,y0)在橢圓

1外，則過P0作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是

x0xa

2

y0yb

2

1.

7. 橢圓

xa

22

yb

22

1 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點?F1PF2??，則橢圓的焦點角形的面積

為S?F1PF2?btan

22

22

2

2

.

8. 9.

橢圓

xa

yb

1（a＞b＞0）的焦半徑公式|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0)).

設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、

- 4 -

N兩點，則MF⊥NF.

10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF. 11. AB是橢圓

xa

22

yb

22

1的不平行于對稱軸的弦，M(x0,y0)為AB的中點，則kOM?kAB??xa

22

ba

22

，即K

AB

bx0ay0

2

2

。

12. 若P0(x0,y0)在橢圓【推論】：

1、若P0(x0,y0)在橢圓

yb

22

1內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是

x0xa

2

y0yb

2

x0a

2

2

y0b

2

2

；

xa

22

yb

22

1內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是

xa

22

yb

22

x0xa

2

y0yb

2

。橢圓

xa

22

22

yb?

22

1（a＞b

22

＞o）的兩個頂點為A1(?a,0),A2(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是

xa

yb

1.

2、過橢圓

2

xa

22

yb

22

b＞0)上任一點A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且?1 (a＞0,

kBC?

bx0ay0

2

（常數(shù)）.

3、若P為橢圓

xa

22

yb

22

1（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, ?PF1F2??, ?PF2F1??，則

a?ca?c

tan

22

2

cot

22

2

.

4、設橢圓

xa

yb

1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記?F1PF2??,

sin?sin??sin?

ca

PF1F2??,?F1F2P??，則有

e.

5、若橢圓

xa

22

yb

22

1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e

1時，可在橢圓上求一點P，使

得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項. 6、P為橢圓

xa

22

yb

22

1（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,

當且僅當A,F2,P三點共線時，等號成立.

7、橢圓

(x?x0)axa

2

2

yb

22

(y?y0)

b

2

2

1與直線Ax?By?C?0有公共點的充要條件是Aa?Bb?(Ax0?By0?C).

22222

22

8、已知橢圓

1111

1（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP?OQ.（1）;???2222

|OP||OQ|ab

4ab

2

2

22

（2）|OP|+|OQ|的最大值為

22

a?b

;（3）S?OPQ的最小值是

ab

2

222

a?b

.

- 5 -

8、雙曲線

xa

22

yb

22

1（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)）當M(x0,y0)在右支上時，

|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a；當M(x0,y0)在左支上時，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a。

9、設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF.

10、過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF. 11、AB是雙曲線

xa

22

yb

22

1（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M(x0,y0)為AB的中點，則KOM?K

AB

bx0ay0

2

2

，即

K

AB

bx0ay0

2

2

。

12、若P0(x0,y0)在雙曲線

xaxa

22

ybyb

22

1（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是

xa

x0xa

22

2

yb

22

y0yb?

2

x0a?

2

2

y0b

2

2

.

22

22

13、若P0(x0,y0)在雙曲線【推論】： 1、雙曲線

1（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是?

x0xa

2

y0yb

2

.

xa

22

ybxa?

2

22

1（a＞0,b＞0）的兩個頂點為A1(?a,0),A2(a,0)，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交yb

22

22

點的軌跡方程是

yb

22

1.

2、過雙曲線

xa

22

1（a＞0,b＞o）上任一點A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定

向且kBC??

bx0ay0

2

（常數(shù)）.

3、若P為雙曲線

xa

22

yb

22

1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, ?PF1F2??, ?PF2F1??，

c?ac?a

則

c?ac?a

tan

22

2

cot

22

2

（或?tan

2

cot

2

）.

4、設雙曲線

xa

yb

1（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記?F1PF2??,

sin??(sin??sin?)

ca

PF1F2??,?F1F2P??，則有

e.

5、若雙曲線

xa

22

yb

22

1（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e

1時，可在雙曲線上求一點

P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項. 6、P為雙曲線xa

22

yb

22

1（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,當

且僅當A,F2,P三點共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時，等號成立.

7、雙曲線

xa

22

xa

yb

22

22

22222

1（a＞0,b＞0）與直線Ax?By?C?0有公共點的充要條件是Aa?Bb?C.

8、已知雙曲線

1

yb

22

，O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且OP?OQ. ?1（b＞a ＞0）

2

22

2

22

（1）

1|OP|

2

22

|OQ|?yb

22

2

1a

2

1b

2

;（2）|OP|+|OQ|的最小值為

22

4ab

2

b?a

;（3）S?OPQ的最小值是

ab

2

b?a

.

9、過雙曲線

xa

1（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則

|PF||MN|

e2

.

10、已知雙曲線

xa

22

yb

22

1（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0,0), 則a?bayb

222

2

x0?

a?ba

22

或x0??

.

11、設P點是雙曲線

xa

22

2

1（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記?F1PF2??，則

(1)|PF1||PF2|?

2b

1?cos?xa

22

.(2) S?PFF?bcot

1

2

2

2

.

12、設A、B是雙曲線?

yb

22

PAB??, ?PBA??,?BPA??，（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，?1

c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1)|PA|?

2ab|cos?||a?ccos?|

2

2

2

2

.

(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?

2

2ab

2

222

b?a

cot?.

13、已知雙曲線

xa

22

yb

22

1（a＞0,b＞0）的右準線l與x軸相交于點E，過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線相交于A、B兩點,

點C在右準線l上，且BC?x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.

14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直. 15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直. 16、雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). (注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點). 17、雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e. 18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項. 八、拋物線的常用結(jié)論：

①ay?by?c?x頂點(

2

4ac?b4a

2

b2a

).

②y2?2px(p?0)則焦點半徑PF?x?P;x2?2py(p?0)則焦點半徑為PF?y?P.

2

2

③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.

x?2pt2?x?2pt

④y?2px（或x?2py）的參數(shù)方程為?（或?

y?2pt?y?2pt

2

2

2

）（t為參數(shù)）.

圓錐曲線的性質(zhì)對比

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