b，c是常數(shù)，a?0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。        這里需要強(qiáng)調(diào)：和一1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a，

c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)． 元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a?0，而b，

2. 二次函數(shù)y?ax?bx?c的結(jié)構(gòu)特征：

⑴ 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．

2

2

b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)． ⑵ a，

二、二次函數(shù)的基本形式

1. 二次函數(shù)基本形式：y?ax的性質(zhì)： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。

2

2. y?ax?c的性質(zhì)： 上加下減。

2

3. y?a?x?h?的性質(zhì)：

左加右減。   4.

2

y?a?x?h??k的性質(zhì)：

2

方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)?a?x?h??k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)?h，k?； ⑵ 保持拋物線y?ax的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到?h，k?處，具體平移方法如下：

2

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|個(gè)單位

【或左(h<0)】

2. 平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”． 概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．    方法二： ⑴

y?ax2?bx?c沿y軸平移:向上（下）平移m個(gè)單位，y?ax2?bx?c變成

y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

⑵

y?ax2?bx?c沿軸平移：向左（右）平移m個(gè)單位，y?ax2?bx?c變成y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或

y?a(x?m)2?b(x?m)?c）

四、二次函數(shù)y?a?x?h??k與y?ax?bx?c的比較

2

2

從解析式上看，y?a?x?h??k與y?ax?bx?c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即

2

2

b?4ac?b2b4ac?b2?

y?a?x???，其中h??． ，k?

2a?4a2a4a?

五、二次函數(shù)y?ax?bx?c圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y?ax?bx?c化為頂點(diǎn)式y(tǒng)?a(x?h)?k，確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與

2

2

2

2

c?、c?關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)?2h，c?、以及?0，y軸的交點(diǎn)?0，

0?，?x2，0?（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）. 與x軸的交點(diǎn)?x1，

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與

六、二次函數(shù)y?ax?bx?c的性質(zhì)

2

y軸的交點(diǎn).

b4ac?b2?b

1. 當(dāng)a?0時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為x??，頂點(diǎn)坐標(biāo)為???． 2a4a2a??

b4ac?b2?bb

2. 當(dāng)a?0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為x??，頂點(diǎn)坐標(biāo)為??時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)?．當(dāng)x??

2a4a2a2a??

bb4ac?b2

． x??時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x??時(shí)，y有最大值

2a2a4a

七、二次函數(shù)解析式的表示方法

2

1. 一般式：y?ax?bx?c（a，b，c為常數(shù)，a?0）； 2

2. 頂點(diǎn)式：y?a(x?h)?k（a，h，k為常數(shù)，a?0）；

3. 兩根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即

b2?4ac?0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系   1. 二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)y?ax?bx?c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a?0．

⑴ 當(dāng)a?0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；      ⑵ 當(dāng)a?0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大?。?2. 一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．    ⑴ 在a?0的前提下，

當(dāng)b?0時(shí)，?當(dāng)b?0時(shí)，?當(dāng)b?0時(shí)，?

2

b

0，即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)； 2a

b

0，即拋物線的對稱軸就是y軸； 2a

b

0，即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)． 2a

b

0，即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)； 2a

b

0，即拋物線的對稱軸就是y軸； 2a

b

0，即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)． 2a

⑵ 在a?0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當(dāng)b?0時(shí)，?當(dāng)b?0時(shí)，?當(dāng)b?0時(shí)，?

總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．

ab的符號的判定：對稱軸x??

總結(jié)：   3. 常數(shù)項(xiàng)c

b

在y軸左邊則ab?0，在y軸的右側(cè)則ab?0，概括的說就是“左同右異” 2a

y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；

⑵ 當(dāng)c?0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；      ⑶ 當(dāng)c?0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．      總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．

⑴ 當(dāng)c?0時(shí)，拋物線與

b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．  總之，只要a，

二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑?/p>

2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式； 3. 已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)  1. 關(guān)于x軸對稱

y?ax?bx?c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y??ax?bx?c；

2

2

y?a?x?h??k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y??a?x?h??k；

2. 關(guān)于

22

y軸對稱

2

y?ax?bx?c關(guān)于

2

y軸對稱后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；

2

y?a?x?h??k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y?a?x?h??k；

3. 關(guān)于原點(diǎn)對稱

y?ax?bx?c關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y??ax?bx?c；     y?a?x?h??k關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y??a?x?h??k；   4. 關(guān)于頂點(diǎn)對稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）

2

2

2

2

b2

y?ax?bx?c關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y??ax?bx?c?；

2a

2

2

y?a?x?h??k關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y??a?x?h??k．

n?對稱      5. 關(guān)于點(diǎn)?m，

22

n?對稱后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k關(guān)于點(diǎn)?m，

根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

2

一元二次方程ax?bx?c?0是二次函數(shù)y?ax?bx?c當(dāng)函數(shù)值y?0時(shí)的特殊情況.

2

22

圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程① 當(dāng)??b?4ac?0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A?x1，

2

ax?bx?c?0?a?

0?的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB?x2?x12

② 當(dāng)??0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；  ③ 當(dāng)??0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

2. 拋物線y?ax?bx?c的圖象與3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴ 求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵ 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y?ax?bx?c中a，b，c的符號，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

2

⑸ 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a?0時(shí)為例，揭示

2

2

y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；

二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

圖像參考：

y=-2x2

2

y=-2(x-3)2

十一、函數(shù)的應(yīng)用

2

剎車距離?

二次函數(shù)應(yīng)用?何時(shí)獲得最大利潤

最大面積是多少?

二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型

1． 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如： 已知以x為自變量的二次函數(shù)值是

2． 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直

則m的y?(m?2)x2?m2?m?2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，

2-3

角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數(shù)

y?kx?b的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y?kx2?bx?1的圖像大致是（     ）

3． 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如： 已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對稱軸為x

5

，求這條拋物線的解析式。 3

4． 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如： 32

已知拋物線y?ax?bx?c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－2

（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).     5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題。 【例題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

A．第一象限    B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

（2）已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，·則下列結(jié)論：①a、b同號；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（  ）

A．1個(gè)    B．2個(gè)    C．3個(gè)    D．4個(gè)

2

(1)                         (2)

【點(diǎn)評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．

例2.已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O，2)的下方．下列結(jié)論：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(  )

A 1個(gè)  B. 2個(gè)  C. 3個(gè)  D．4個(gè)

答案：D

會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(  )     A(2，-3)    B.(2，1)    C(2，3)    D．(3，2)

答案：C

例4、（2006年煙臺市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合．設(shè)x秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為ym．

（1）寫出y與x的關(guān)系式；

（2）當(dāng)x=2，3.5時(shí)，y分別是多少？

（3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，

三角形移動了多長時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、

對稱軸. 2222

例5、已知拋物線y=1252x+x-2 ．

（1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸．

（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求線段AB的長．

【點(diǎn)評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．

例6.已知：二次函數(shù)y=ax-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(4，10)，交x軸于A(x1,0)，B(x2,0)兩點(diǎn)(x12?x2)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且滿足3AO=OB．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使銳角∠MCO>∠ACO?若存在，請你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請你說明理由．

(1)解：如圖∵拋物線交x軸于點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，O)，

則x1·x2=3<0，又∵x1<x2，

∴x2>O，x1<O，∵30A=OB，∴x2=-3x1．

∴x1·x2=-3x1=-3．∴x1=1.

x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．

∴點(diǎn)A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3

∴．二次函數(shù)的解析式為y-2x-4x-6．

(2)存在點(diǎn)M使∠MC0<∠ACO．

(2)解：點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A’(1，O)，

222

當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)滿足-1<x<O或O<x<5時(shí)，∠MCO>∠ACO．

例7、 “已知函數(shù)y?12x?bx?c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2），   2

求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。

（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。

（2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。

點(diǎn)評：  對于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。

[解答]  （1）根據(jù)y?12x?bx?c的圖象經(jīng)過點(diǎn)2A（c，－2），圖象的對稱軸是x=3，得

12?2c?bc?c??2,

b??3,?1?2?2?

解得??b??3, ?c?2.

所以所求二次函數(shù)解析式為

（2）在解析式中令y=0，得y?12x?3x?2.圖象如圖所示。 212x?3x?2?0，解得x1?3?5,x2?3?5. 2

所以可以填“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+

令x=3代入解析式，得

所以拋物線5,0)”或“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(3?5,0). 5y??, 2125x?3x?2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,?), 22

5所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,?)等等。 2y?

函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。

用二次函數(shù)解決最值問題

例1已知邊長為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積．

【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間．

例2  某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）·與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：

若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)．

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．則??15k?b?25, 解得k=-1，b=40，·即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40．

2k?b?20

2    （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元          w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．

產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤為225元．

【點(diǎn)評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最省）”的設(shè)問中，·“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）·問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道嗎?平時(shí)我們在跳大繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5 m處．繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是1．5 m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)

(    )

A．1．5 m      B．1．625 m

C．1．66 m     D．1．67 m

分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用

答案：B

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