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2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）

數(shù)  學（文史類）

本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁。滿分l50

分。考試時間l20分鐘?？忌鞔饡r，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無效。考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷（選擇題 共50分）

注意事項：

    必須使用2B鉛筆在答題卡上將所選答案對應的標號涂黑。

    第Ⅰ卷共10小題。

一、選擇題：本大題共10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.設集合，集合，則

（A）     （B）     （C）      （D）

【答案】A

【解析】∵，，，選A.

2.設向量與向量共線，則實數(shù)

(A)                  (B)                     (C)                    (D)

【答案】B

【解析】由共線向量，的坐標運算可知，

即，選B.

3.某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是

（A)抽簽法                         （B）系統(tǒng)抽樣法      

（C）分層抽樣法                    （D）隨機數(shù)法

【答案】C

【解析】因為是為了解各年級之間的學生視力是否存在顯著差異，所以選擇分層抽樣法。

4.設，為正實數(shù)，則“”是“”的

(A)充要條件                               (B)充分不必要條件   

(C)必要不充分條件                         (D)既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由已知當時，∴，“”是“”的充分條件。反過來由，可得，∴“”是“”的必要條件，綜上，“”是“”的充要條件，選A.

5.下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是

A.                      B.

C.                    D.

【答案】A

【解析】

A. ,可知其滿足題意;

B. ,可知其最小正周期為，偶函數(shù);

C. ,最小正周期為，非奇非偶函數(shù);

D. ,可知其最小正周期為，非奇非偶函數(shù).選A

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值是

(A)            (B)              (C)-            (D)

 

 

【答案】D

【解析】易得當k=1,2,3,4時執(zhí)行的是否，當k=5時就執(zhí)行是的步驟，

所以，選D.

7.過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則

（A）               （B）                  （C）6               （D）

【答案】D

【解析】由題意可知雙曲線的漸近線方程為，且右焦點，則直線與兩條漸近線的交點分別為，，∴,選D.

8. 某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：）滿足函數(shù)關系（  為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）。若該食品在的保鮮時間是192小時，在23的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是

(A)16小時               (B)20小時              (C)24小時               (D)21小時

【答案】C

【解析】

，，∴，

∴當時，，∴,選C.

9. 設實數(shù)滿足，則的最大值為

(A)                (B)                 (C) 12                   (D)14

【答案】A

【解析】由第一個條件得：。于是，，當且僅當時取到最大值。經(jīng)驗證，在可行域內(nèi)，選.

10.設直線與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點M，且M為線  段AB的中點.若這樣的直線恰有4條，則的取值范圍是

（A）           （B）               （C）             （D）

 

 

【答案】D

【解析】

 設，，，則

兩式相減，得：，當直線的斜率不存在時，顯然符合條件的直線有兩條。當直線的斜率存在時，可得：，又∵

，∴，∴

由于M在拋物線的內(nèi)部，∴，

∴，∴，

因此，，選D.

 

第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）

注意事項：必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目說只是的區(qū)域內(nèi)作答。作圖可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚。答在試卷、草稿紙上無效。

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。

11. 設是虛數(shù)單位，則復數(shù)_________.

【答案】

【解析】由題意可知：

12. 的值是 ________.

【答案】

【解析】

13. .已知，則的值是________.

【答案】-1

【解析】由已知得，，

∴

14. 三棱柱中，，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設點M,N,P分別是，，的中點，則三棱錐的體積是_______.

【答案】

【解析】采用等積法，

15.已知函數(shù)， (其中)。對于不相等的實數(shù)，，設，，現(xiàn)有如下命題：

(1) 對于任意不相等的實數(shù)，，都有；

(2) 對于任意的及任意不相等的實數(shù)，，都有；

(3) 對于任意的，存在不相等的實數(shù)，，使得；

(4) 對于任意的，存在不相等的實數(shù)，，使得。

其中的真命題有_________________(寫出所有真命題的序號）。

【答案】(1) (4)

【解析】

(1)設，,∵函數(shù)是增函數(shù)，∴，， 則=>0,所以正確；

(2)設，則，∴

不妨我們設，則，矛盾，所以(2)錯。

(3)∵，由(1)(2)可得：，化簡得到，

，也即，令，即對于任意的函數(shù)在定義域范圍內(nèi)存在有兩個不相等的實數(shù)根，。則，顯然當時，恒成立，即單調(diào)遞增，最多與x軸有一個交點，不滿足題意，所以錯誤。

(4)同理可得，設，即對于任意的函數(shù)在定義域范圍內(nèi)存在有兩個不相等的實數(shù)根，，從而不是恒為單調(diào)函數(shù)。，恒成立，∴單調(diào)遞增，又∵時，，時，。所以為先減后增的函數(shù)，滿足要求，所以正確。

 

 

 

三、簡答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

16.（本小題滿分12分）

設數(shù)列的前項和，且，，成等差數(shù)列。

  （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

  （Ⅱ）記數(shù)列的前項和，求。

【解答】：

（Ⅰ）當時有， 

則 ， （） ，∴數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。

    又由題意得，，∴ ，∴ 

（Ⅱ）由題意得，∴ 

17.（本小題滿分12分）

一個小客車有5個座位，其座位號為，乘客 的座位號為，他們按照座位號順序先后上車，乘客因身體原因沒有坐自己號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位.

（I）若乘客坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法。下表給出其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法（將乘客就坐的座位號填入表中空格處）

 

乘客
座位號	3	2	1	4	5
	3	2	4	5	1

（II）若乘客坐到了2號座位，其，他乘客按規(guī)則就坐，求乘客坐到5號座位的概率。

【解答】

（Ⅰ）當乘客坐在3號位置上，此時的位置沒有被占，只能坐在2位置，位置被占，可選剩下的任何，即可選1、4、5:①當選1位置，位置沒被占，只能選4位置，選剩下的，只有一種情況；②當 選4位置，可選5位置也可選1位置，選剩下的，有兩種情況；③當 選5位置，只可選4位置選剩下的，有一種情況；

 

乘客
座位號	3	2	1	4	5
	3	2	4	5	1
	3	2	4	1	5
	3	2	5	4	1

 （Ⅱ）這個問情況比較復雜，需要列表解答，當坐2位置時，位置被占，可選剩下的 座位，下表列出了所有可能

綜上，共有8種情況，坐在5位置上的情況有4種，所求概率為 

 

18.（本小題滿分分）

一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示。

（I）請將字母標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）；

（II）判斷平面與平面的位置關系，并證明你的結(jié)論；

（III）證明：平面

。

【解答】

（I）如答圖1所示

  

答圖1                           答圖2                          答圖3

（II）如答圖2所示，連接，易得四邊形和四邊形為，所以，，又∵平面，且平面，∴平面，平面，又∵平面，且，所以平面平面

 （III）如答圖3所示，易得，∴平面,

得∵平面，∴，同理可得，，又，

∴平面。

 

19.（本小題滿分12分）

已知為的內(nèi)角，是關于的方程的兩實根.

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，求的值.

【解答】

（Ⅰ）是關于的方程的兩個根可得：，，所以，則，由三角形內(nèi)角和為可知，.

（Ⅱ）在中，由正弦定理可得，求得，則.又，由三角形內(nèi)角和為及誘導公式可知，解得，將代入，解得.

 

 

 

 

20.（本小題滿分13分）

如圖，橢圓（）的離心率是，點在短軸上，且。

（Ⅰ）球橢圓的方程；

（Ⅱ）設為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于兩點。是否存在常數(shù)，使得 為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由。

 

【解答】

（Ⅰ）由知，，解得，

又∵由離心率是得到 ；

∴橢圓E的方程為：。

(Ⅱ)當直線AB的斜率存在時，設AB的解析式為，，

    聯(lián)立：，顯然，由韋達定理可知，，，

∴，

這里，與的取值無關，∴，即。

此時，

當直線AB的斜率不存在時，AB就是CD，

那么

∴

綜上，存在常數(shù)，使得為定值。

 

 

 

 

 

 

 

21.已知函數(shù)，其中，設是的導函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：存在，使得恒成立，且在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解。

【解答】：

（Ⅰ）∵，∴求導可得，

，即

∴恒成立，∴在其定義域上單調(diào)遞增。

（Ⅱ）∵，∴由(Ⅰ)可知在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增。

又時，，

當時，顯然。而在(1，)是單調(diào)遞增的，因此在

(1，)內(nèi)必定存在唯一的使得 …………….. ①。

∴當時，，當時，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴。

由已知條件在區(qū)間內(nèi)有唯一解，∴必有。

即……………………. ②，

由①式得到帶入②式化簡得：，即，

令，，恒成立，∴為減函數(shù)，

∵，∴在內(nèi)有零點，即時，有解，此時為增函數(shù)，且，

即。∴存在，使得恒成立，且在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解。

 By：Kingslee QMJY 杰少