導(dǎo)言：

   加法原理和乘法原理，是排列組合中的二個(gè)基本原理，在解決計(jì)數(shù)問題中經(jīng)常運(yùn)用。把握這兩個(gè)原理，并能正確區(qū)分這兩個(gè)原理，至關(guān)重要。

一、概念

   （一）加法原理

   如果完成某件事共有幾類不同的方法，而每類方法中，又有幾種不同的方法，任選一種方法都可以完成此事，那么完成這件事的方法總數(shù)就等于各種方法的總和，這一原理稱為加法原理。

   例：從甲地到乙地，一天中火車有4班，汽車有2班，輪船有3班，那么，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

   解析：把乘坐不同班次的車、船稱為不同的走法。要完成從甲地到乙地這件事，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船，一天中，乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法。而乘坐火車、汽車、輪船中的任何一班次，都可以從甲地到乙地，符合加法原理。所以從甲地到乙地的總的走法=乘火車的4種走法+乘汽車的2種走法+乘輪船的3種走法=9種不同的走法

 （二）乘法原理

   如果做某件事，需要分幾個(gè)步驟才能完成，而每個(gè)步驟又有幾種不同的方法，任選一種方法都不能完成這件事，那么完成這件事的方法總數(shù)，就等于完成各步驟方法的乘積。

   例：用1、2、3、4這四個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？

   解析：要完成組成一個(gè)三位數(shù)這件事，要分三個(gè)步驟做，首先選百位上的數(shù)，再選十位上的數(shù)，最后選個(gè)位上的數(shù)。

   選百位上的數(shù)這一步驟中，可選1、2、3、4任何一個(gè)，共4種方法

   選十位上的數(shù)這一步驟中，可選除百位上已選好那個(gè)數(shù)字之外的三個(gè)數(shù)字，共3種方法

   選個(gè)位上的數(shù)這一步驟中，可選除百、十位上已選好的兩個(gè)數(shù)字之外的另兩個(gè)數(shù)字，共2種方法

   單獨(dú)挑上面的任何一步中的任何一種方法，都不能組成一個(gè)三位數(shù)，符合乘法原理

   所以，可以組成：4×3×2=24（個(gè)）不同的三位數(shù)

二、加法原理和乘法原理的區(qū)別

   什么時(shí)候使用加法原理，什么時(shí)候使用乘法原理，最關(guān)鍵是要把握住加法原理與乘法原理的區(qū)別。從上面兩個(gè)例子我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，加法原理與乘法原理最大的區(qū)別就是：如果完成一件事有幾類方法，不論哪一類方法，都能完成這件事時(shí)，運(yùn)用加法原理，簡(jiǎn)稱為“分類-----加法”；如果完成一件事要分幾個(gè)步驟，而無論哪一個(gè)步驟，都只是完成這件事的一部分，只有每一步都完成了，這件事才得以完成，這里運(yùn)用乘法原理，簡(jiǎn)稱為“分步----乘法”。

 三、加乘法原理的綜合應(yīng)用

   有時(shí)候，做某件事有幾類方法，而每一類方法又要分幾個(gè)步驟完成。在計(jì)算做這件事的方法時(shí)，既要用到加法原理，也要用到乘法原理，這就是加乘法原理的綜合應(yīng)用。

   例：從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3條路可走，那么，從甲地到丙地共有多少種走法？

   解析：從甲地到丙地共有兩大類不同的走法：可以直接從甲地到丙地，也可以從甲地先到乙地再到丙地，選擇任何一類方法，都可以從甲地到丙地，符合加法原理；而在第二類方法中（即從甲地先到乙地再到丙地），又分兩步完成：第一步從甲地先到乙地，有4種走法，第二步再?gòu)囊业氐奖?，?種走法，這里的任何一種方法都不能完成從甲地到丙地這件事，符合乘法原理，這時(shí)共有4×2=8種走法。

   所以從甲地到丙地總的走法=第一類方法+第二類方法

                       =3+4×2=11（種）

  四、加法原理和乘法原理的應(yīng)用

   例1．（數(shù)字排列問題）用數(shù)字1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

   解析：組成一個(gè)三位數(shù)，要分三個(gè)步驟，先選百位數(shù)，再選十位數(shù)，最后選個(gè)位數(shù)，使用乘法原理

      5×4×3=60（個(gè)）

    例2．（數(shù)字排列問題）一種電子表6點(diǎn)24分30秒時(shí)，顯示數(shù)字是：6:2430，那么從8點(diǎn)到9點(diǎn)這段時(shí)間里，此表5個(gè)數(shù)字都不相同的情況一共有多少種？

    解析：在8點(diǎn)到9點(diǎn)間，電子表的第一位數(shù)字肯定8，在這段時(shí)間內(nèi)是固定不變的，可以不考慮；第2位和第4位的取值范圍只能是0、1、2、3、4、5，第3位和第5位只能從0、1、2、3、4、5、6、7、9。題中要求5個(gè)數(shù)字各不相同。所以我們要分開來考慮：

①第2位到第5位只取0----5中的數(shù)，有6×5×4×3=360種情況

②第2位和第4位只取0---5中的數(shù)，而第3位和第5位只取6、7、9中的數(shù)，有6×5×3×2=180種情況

③第2位、第3位和第4位只取0---5中的數(shù)，第5位只取6、7、9中的數(shù)，有6×5×4×3=360種情況

④第2位、第4位和第5位只取0---5中的數(shù)，第3位只取6、7、9中的數(shù)，有6×5×4×3=360種情況

所以，此表在8到9點(diǎn)間5個(gè)數(shù)字不同的情況共有：360+180+360+360=1260種

   例3．（數(shù)字排列問題）從1到400的所有自然數(shù)中，不含數(shù)字3的自然數(shù)有多少個(gè)？

   解析：在一位數(shù)前面添兩個(gè)零，如把2寫成002；在兩位數(shù)前面添一個(gè)零，如把12寫成012，這樣，1—400中的數(shù)全成了“三位數(shù)”了，除去數(shù)字400外，考慮不含數(shù)字“3”的這樣的“三位數(shù)”的個(gè)數(shù)，分三步考慮：百位、十位、個(gè)位上不含數(shù)字“3”，符合乘法原理。百位上可取0、1、2，有三種取法；十位上都可取0、1、2、4、5、6、7、8、9，有9種取法；個(gè)位與十位情況一樣，也有9種取法。根據(jù)乘法原理，這樣的數(shù)有：3×9×9=243（個(gè)）。數(shù)“000”不合要求，另外還需要補(bǔ)上符合要求的數(shù)“400”，所以不含數(shù)字“3”的自然數(shù)有：243-1+1=243（個(gè)）；（提示：這243個(gè)數(shù)中，有首位是“0”的，把“0”刪掉，就成了一位數(shù)和兩位數(shù)，不影響最后的個(gè)數(shù)。）

   例4．（站隊(duì)排列問題）有6個(gè)同學(xué)排成一排照相，共有多少種不同的站法？

   解析：6人中任何一位的位置換了，就是一種站法。把這6個(gè)位置用字母表示為：A、B、C、D、E、F。要排成一排，要分六步，依次排A、B、C、D、E、F這六個(gè)位置，使用乘法原理；A位置中有6種站法，B位置中就只剩5種站法、、、、、如此下去，F(xiàn)位置上就只剩1種站法，根據(jù)乘法原理，總的站法是：6×5×4×3×2×1=720種不同的站法

  思考：看看下題與例4有何區(qū)別，又如何解答

   A、B、C、D、E 5人排成一排，如果C不站在中間，一共有多少有種不同的排法？

   例5．（取物排列問題）有5件不同的上衣，3條不同的褲子，4頂不同的帽子，從中取出一頂帽子、一件上衣和一條褲子配成一套裝束，最多有多少種不同的裝束？

   解析：要完成一套裝束要分三步完成，先取帽子，再取上衣，最后取褲子，而每一步分別有4、5、3種不同的方法，根據(jù)乘法原理，共有4×5×3=60種不同的裝束

   例6．（信號(hào)排列問題）有5面顏色不同的小旗，任意取3面排成一行表示一種信號(hào)，問：一共可以表示多少種不同的信號(hào)？

   解析：一種信號(hào)上有三個(gè)位置，要完成一種信號(hào)要分三步選好這三個(gè)位置上的小旗。而每個(gè)位置上依次有5、4、3種不同的選小旗的選法，根據(jù)乘法原理，一共可以表示：5×4×3=60種不同的信號(hào)。

  例7．（涂色問題）如圖，用紅、綠、藍(lán)、黃四色去涂編號(hào)為1、2、3、4號(hào)的長(zhǎng)方形，要求任何相鄰的兩個(gè)長(zhǎng)方形的顏色都不相同，一共有多少種不同的涂法？

  解析：要分4種情況考慮：

  ① 1、2、3、4號(hào)長(zhǎng)方形顏色都不相同，根據(jù)乘法原理，有4×3×2×1=24種涂法

  ②只有1、4號(hào)長(zhǎng)方形同色，有4×3×2=24種

  ③只有2、3號(hào)長(zhǎng)方形同色，有4×3×2=24種

  ④2、4和1、3號(hào)長(zhǎng)方形分別同色，有4×3=12種

  最后用加法原理

  共有24+24+24+12=84種不同的涂法

   例8．深圳市的電話號(hào)碼全是8位數(shù)，若前3位只能用1----9這9個(gè)數(shù)字，則深圳市可以安裝多少臺(tái)不同的電話號(hào)碼的電話？

   解析：要確定一個(gè)電話號(hào)碼，就必須確定8位數(shù)上各個(gè)位置的數(shù)字，要分八個(gè)步驟完成。使用乘法原理。根據(jù)題目要求，先確定電話號(hào)碼前3位數(shù)字的取法，由于數(shù)字可以重復(fù)，前3位上的每一位置上都可以取1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一個(gè)數(shù)，各有9種取法。電話號(hào)碼中的后5位的每一個(gè)位置上都可以取0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，各有10種取法。

   根據(jù)乘法原理，共有不同的電話號(hào)碼的電話：9×9×9×10×10×10×10×10=72900000臺(tái)

   例9．（棋子排列問題）如圖，現(xiàn)在要把A、B、C、D、E 5個(gè)棋子放在方格里，每行和每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子，一共有多少種放法？

  解析：要將5個(gè)棋子放入格子中，要分5步完成。第一步先放A，有5×5=25個(gè)方格就有25種不同的放法；第二步放B，對(duì)應(yīng)A的放法，由于不能在同一行與同一列，B放的行數(shù)和列數(shù)都會(huì)減少1，所以只能放在4×4=16個(gè)格子里，有16種放法；同理可推出，第三步放C，有3×3=9種放法；第四步放D，有2×2=4種放法；第五步放E，有1×1=1種放法。根據(jù)乘法原理?？偟姆欧ㄓ校?5×16×9×4×1=14400種