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 我還沒有嘗試使用過 只是隨便學(xué)習(xí)下

1、解決的問題

卡爾曼濾波器是一個“optimal recursive data processing algorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。對于解決很大部分的問題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過30年，包括機器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來更被應(yīng)用于計算機圖像處理，例如頭臉識別，圖像分割，圖像邊緣檢測等等。

假設(shè)我們要研究的對象是一個房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來做時間單位）。假設(shè)你對你的經(jīng)驗不是100%的相信，可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前后時間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我們在房間里放一個溫度計，但是這個溫度計也不準確的，測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。

好了，現(xiàn)在對于某一分鐘我們有兩個有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗的預(yù)測值（系統(tǒng)的預(yù)測值）和溫度計的值（測量值）。下面我們要用這兩個值結(jié)合他們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。

假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時刻的溫度值，來預(yù)測k時刻的溫度。因為你相信溫度是恒定的，所以你會得到k時刻的溫度預(yù)測值是跟 k-1時刻一樣的，假設(shè)是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，你對自己預(yù)測的不確定度是4度，他們平方相加再開方，就是5）。然后，你從溫度計那里得到了k時刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時該值的偏差是4度。

由于我們用于估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？究竟相信誰多一點，我們可以用他們的 covariance來判斷。因為Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我們可以估算出k時刻的實際溫度值是：23+0.78* (25-23)=24.56度?？梢钥闯?，因為溫度計的covariance比較小（比較相信溫度計），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計的值。

現(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進入k+1時刻，進行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對了，在進入 k+1時刻之前，我們還要算出k時刻那個最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。這里的5就是上面的k時刻你預(yù)測的那個23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進入k+1時刻以后k時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對應(yīng)于上面的3）。

就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運行的很快，而且它只保留了上一時刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kalman Gain）。他可以隨不同的時刻而改變他自己的值，是不是很神奇！

2、公式

首先，我們先要引入一個離散控制過程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個線性隨機微分方程（Linear Stochastic Difference equation）來描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 
再加上系統(tǒng)的測量值：
Z(k)=H X(k)+V(k) 
上兩式子中，X(k)是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時刻對系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃?。Z(k)是k時刻的測量值，H 是測量系統(tǒng)的參數(shù)，對于多測量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表示過程和測量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(White Gaussian Noise)，他們的covariance 分別是Q，R（這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化）。

對于滿足上面的條件(線性隨機微分系統(tǒng)，過程和測量都是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器。下面我們來用他們結(jié)合他們的covariances 來估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出（類似上一節(jié)那個溫度的例子）。

首先我們要利用系統(tǒng)的過程模型，來預(yù)測下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k，根據(jù)系統(tǒng)的模型，可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預(yù)測出現(xiàn)在狀態(tài)：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一狀態(tài)預(yù)測的結(jié)果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。

到現(xiàn)在為止，我們的系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了，可是，對應(yīng)于X(k|k-1)的covariance還沒更新。我們用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式 (2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)對應(yīng)的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對應(yīng)的 covariance，A’表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過程的covariance。式子1，2就是卡爾曼濾波器5個公式當中的前兩個，也就是對系統(tǒng)的預(yù)測。

現(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)測結(jié)果，然后我們再收集現(xiàn)在狀態(tài)的測量值。結(jié)合預(yù)測值和測量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k)的最優(yōu)化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg為卡爾曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k)。但是為了要另卡爾曼濾波器不斷的運行下去直到系統(tǒng)過程結(jié)束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 為1的矩陣，對于單模型單測量，I=1。當系統(tǒng)進入k+1狀態(tài)時，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。這樣，算法就可以自回歸的運算下去。

3、例子

根據(jù)第二節(jié)的描述，把房間看成一個系統(tǒng)，然后對這個系統(tǒng)建模。當然，我們見的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個房間的溫度是跟前一時刻的溫度相同的，所以A=1。沒有控制量，所以U(k)=0。因此得出：
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

因為測量的值是溫度計的，跟溫度直接對應(yīng)，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)

現(xiàn)在我們模擬一組測量值作為輸入。假設(shè)房間的真實溫度為25度，我模擬了200個測量值，這些測量值的平均值為25度，但是加入了標準偏差為幾度的高斯白噪聲（在圖中為藍線）。

為了令卡爾曼濾波器開始工作，我們需要告訴卡爾曼兩個零時刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他們的值不用太在意，隨便給一個就可以了，因為隨著卡爾曼的工作，X會逐漸的收斂。但是對于P，一般不要取0，因為這樣可能會令卡爾曼完全相信你給定的X(0|0)是系統(tǒng)最優(yōu)的，從而使算法不能收斂。我選了 X(0|0)=1度，P(0|0)=10。