本期題目介紹

第二十七章　相似

27．1 圖形的相似

概述

　　如果兩個(gè)圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個(gè)圖形相似。（相似的符號(hào)：∽）

判定

　　如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似。

相似比

　　相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形全等。

性質(zhì)

　　相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比。

相似多邊形的面積比等于相似比的平方。

27．2 相似三角形

判定

　　1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等

　　2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等

　　3.三邊對(duì)應(yīng)成比例

　　4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

例題

∵∠A=∠A'; ∠B=∠B'

∴△ABC∽△A'B'C'

性質(zhì)

　　1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。

　　2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方

27．3 位似

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。

性質(zhì)

　　位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。

位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。

位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。

位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。

　　根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱。

　　注意

　　1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；

　　2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；

　　3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；

　　4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似；

5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。

第二十八章　銳角三角函數(shù)

28．1 銳角三角函數(shù)

銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。

　　正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，

　　余弦（cos）等于鄰邊比斜邊

　　正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；

　　余切（cot）等于鄰邊比對(duì)邊

　　正割（sec)等于斜邊比鄰邊

　　余割 (csc)等于斜邊比對(duì)邊

正切與余切互為倒數(shù)

互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.

同角三角函數(shù)間的關(guān)系

　　平方關(guān)系：

　　sin^2(α)+cos^2(α)=1

　　tan^2(α)+1=sec^2(α)

　　cot^2(α)+1=csc^2(α)

　　·積的關(guān)系：

　　sinα=tanα·cosα

　　cosα=cotα·sinα

　　tanα=sinα·secα

　　cotα=cosα·cscα

　　secα=tanα·cscα

　　cscα=secα·cotα

　　·倒數(shù)關(guān)系：

　　tanα·cotα=1

　　sinα·cscα=1

　　cosα·secα=1

　　直角三角形ABC中,

　　角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,

　　余弦等于角A的鄰邊比斜邊

　　正切等于對(duì)邊比鄰邊,

余切等于鄰邊比對(duì)邊

三角函數(shù)值

　　（1）特殊角三角函數(shù)值

　?。?）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。

　?。?）銳角三角函數(shù)值的變化情況

　　（i）銳角三角函數(shù)值都是正值

　?。╥i）當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，

　　正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?/span>

　　余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?/span>

　　正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）

　　余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）

　?。╥ii）當(dāng)角度在0°≤α≤90°間變化時(shí)，

　　0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,

　　當(dāng)角度在0°<α<90°間變化時(shí)，

　　tanα>0, cotα>0.

　　特殊的三角函數(shù)值

　　0° 30° 45° 60° 90°

　　0 1 ← sinα

　　1 0 ← cosα

　　0 1 None ← tanα

None 1 0 ← cotα

28．2 解直角三角形

勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”）

　　a^2+b^2=c^2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

　　勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。

常見的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；等等.

直角三角形的特征

⑴直角三角形兩個(gè)銳角互余；

⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

⑶直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a²+b²=c²；

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個(gè)三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a²+b²=c²，則∠C＝90°；

⑹射影定理：AC²=ADAB,BC²=BDAB,CD²=DADB．

銳角三角函數(shù)的定義：

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

則sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a

特殊角的三角函數(shù)值：（并會(huì)觀察其三角函數(shù)值隨的變化情況）

	sin	cos	tan	cot
30°
45°			1	1
60°

1．

解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）

⑴三邊之間的關(guān)系：a²+b²=c²．

⑵兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°．．

⑶邊角之間的關(guān)系：sinA=,cosA=．

tanA=,cotA=．

⑷解直角三角形中常見類型：

①已知一邊一銳角．

②已知兩邊．

③解直角三角形的應(yīng)用．

第二十九章　投影與視圖

29．1　投影

一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影（projection），照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。

有時(shí)光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影（parallelprojection).

由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源發(fā)出的光線）形成的投影叫做中心投影（centerprojection)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。

投影線平行于投影面產(chǎn)生的投影叫做平行投影。

物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)。

29．2　三視圖

三視圖是觀測(cè)者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形。

　　將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對(duì)著物體看過去，將所見物體的輪廓用正投影法繪制出來該圖形稱為視圖。一個(gè)物體有六個(gè)視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖——能反映物體的前面形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖——能反映物體的上面形狀，從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖——能反映物體的左面形狀，

還有其它三個(gè)視圖不是很常用。三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總稱。

特點(diǎn)：一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν粋€(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。

主視、俯視 長(zhǎng)對(duì)正

物體的投影

主視、左視 高平齊

左視、俯視 寬相等

　　在許多情況下，只用一個(gè)投影不加任何注解，是不能完整清晰地表達(dá)和確定形體的形狀和結(jié)構(gòu)的。如圖所示，三個(gè)形體在同一個(gè)方向的投影完全相同，但三個(gè)形體的空間結(jié)構(gòu)卻不相同?？梢娭挥靡粋€(gè)方向的投影來表達(dá)形體形狀是不行的。一般必須將形體向幾個(gè)方向投影，才能完整清晰地表達(dá)出形體的形狀和結(jié)構(gòu)。

　　一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν粋€(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。

畫法：根據(jù)各形體的投影規(guī)律，逐個(gè)畫出形體的三視圖。畫形體的順序：一般先實(shí)（實(shí)形體）后空（挖去的形體）；先大（大形體）后?。ㄐ⌒误w）；先畫輪廓，后畫細(xì)節(jié)。畫每個(gè)

形體時(shí)，要三個(gè)視圖聯(lián)系起來畫，并從反映形體特征的視圖畫起，再按投影規(guī)律畫出其他兩個(gè)視圖。對(duì)稱圖形、半圓和大于半圓的圓弧要畫出對(duì)稱中心線，回轉(zhuǎn)體一定要畫出軸線。對(duì)稱中心線和軸線用細(xì)點(diǎn)劃線畫出。