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0、 最近在啃一本數(shù)學(xué)書（GTM228, A First Course in Modular Forms，強推），第一次領(lǐng)略到了整個數(shù)學(xué)大廈的壯麗宏偉，特此記錄一例，希望能與你分享到同樣的風(fēng)景。本來這種學(xué)術(shù)文我是想在Blog上打的，但是那就意味著我得精益求精的打一篇文章，這工作量太大了，所以就在人人上粗糙的打一下吧……
1、 拉格朗日證明了每個正整數(shù)都可以表示成4個整數(shù)的平方和（我記得這段歷史似乎還和費馬有關(guān)，但記得依稀不那么真切了=.=），現(xiàn)在我們考慮這樣一個問題：若要將正整數(shù)n寫成4個整數(shù)的平方和，有多少種寫法呢？ 更一般的，若要將n寫成k個整數(shù)的平方和（有序，正負算2個），有多少種寫法呢？ 比如1 = 0^1+1^2 = 0^2 + (-1) ^2 = 1^2 + 0^2 = (-1)^2 + 0^2，共有4種寫法。 表面看上去，這是一個純粹的數(shù)論問題，而且似乎無從下手。然而數(shù)學(xué)家的工作就是揭示抽象世界的內(nèi)在聯(lián)系，這個問題也最終通過一個看似風(fēng)馬牛不相及的方法得到了解決。沿途，無數(shù)idea閃耀，各個數(shù)學(xué)分支交錯縱橫融會貫通，回頭看來著實壯麗。
**************************************************************************************** Warning：以下部分很數(shù)學(xué)，患有數(shù)學(xué)恐懼癥的孩子請快速掃一眼感受一下后，直接跳到后面的標(biāo)記處…… ****************************************************************************************
1.1、 首先，我們記r(n,k)為把正整數(shù)n寫成k個整數(shù)平方的和的方法數(shù)，我們就是要求它。不難發(fā)現(xiàn)，r(n,k)等于所有r(s,i)r(t,j)的和，其中i+j=k固定，s+t=n取遍所有正整數(shù)。
注意到這個關(guān)系很像多項式乘法，所以我們考慮構(gòu)造一個函數(shù)，所謂生成函數(shù)：
這里\tau（人人不能打latex真是著急=.=）是變量，k是參數(shù)。其中變量\tau取值在上半（復(fù)）平面。等式右邊是展開成的Fourier級數(shù)。如果我們能通過另一種方法再得到這個函數(shù)的Fourier展開的話，對比一下系數(shù)，r(n,k)就求出來了。 下面的劇情就真的像神一樣展開了。我不太相信數(shù)學(xué)家是因為這個問題而發(fā)展出下面一套理論的，反過來，應(yīng)該是理論建立好后發(fā)現(xiàn)可以解決上面那個小問題。所以我這里的敘述應(yīng)該和歷史是反的。 首先，由之前r(n,k)與r(s,i)r(t,j)的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)如下等式成立（當(dāng)然嚴謹?shù)淖C明，需要證明那個級數(shù)是絕對收斂的，不然不能交換次序，不過這里就不涉及技術(shù)細節(jié)了）：
所以，如果我們把\theta(\tau, 1)求出來后，\theta(\tau, n)也就知道了，或至少有一定信息了。 下面，我們考察一下函數(shù)\theta，看看它有什么不變性。 一個不難發(fā)現(xiàn)的等式是：
另一個很難發(fā)現(xiàn)的等式是：
從而
對于偶數(shù)k，上述兩個性質(zhì)立刻會讓人想到一個東西：所謂模形式，modular form。
1.2、 在這之前，先還要介紹兩個概念：群和線性空間，我本想偷懶繞開他們，但發(fā)現(xiàn)繞不開=.=。 粗糙的說，所謂一個群，就是一個元素間可以做運算的集合。比如集合{黃瓜，蘋果}，就是光禿禿的一個集合。但如果我們定義：黃瓜@蘋果=黃瓜，黃瓜@黃瓜=黃瓜，蘋果@蘋果=蘋果，那么這個集合就在“@運算”下構(gòu)成了一個群。當(dāng)然這個運算是要滿足一些性質(zhì)的，這里就不多說了。 所謂線性空間——我們這里就只考慮復(fù)數(shù)（域）上的線性空間吧——首先它本身是一個群（應(yīng)該是交換群，就是群上的運算滿足交換律），然后它還能跟復(fù)數(shù)做乘法，得到的結(jié)果還在那個群里。比如所有復(fù)數(shù)值的n個分量的向量，就構(gòu)成了一個復(fù)數(shù)域上的線性空間。關(guān)于線性空間最關(guān)鍵的一點是，它有一組基，使得其中所有元素都能用這組基表達出來。這組基的個數(shù)稱作空間的維數(shù)。比如(1,0),(0,1)就是實數(shù)域上2維實數(shù)值向量構(gòu)成的線性空間的一組基。 粗略介紹了如上兩個概念后，我們來介紹模形式。 模形式的定義細節(jié)有3條，兩條是說函數(shù)在上半平面全純（不解釋=.=，就理解成“性質(zhì)很好”吧）以及在無窮點全純。剩下一條描述了其在一個矩陣群作用下的“幾乎不變性”：
其中SL2(Z)是所有元素取整數(shù)、行列式為1的矩陣的集合，\Gamma是它的一個滿足一定條件的子集，具體滿足什么條件這里也先不著急說。。。 我們把滿足上述條件的f稱作關(guān)于\Gamma的k階模形式，它們在\Gamm的作用下幾乎不變，僅僅是多了一個系數(shù)。將它們的全體構(gòu)成的集合記做
不妨稱之為模形式空間（或嚴密地說，關(guān)于\Gamma的k階模形式空間）。 我們發(fā)現(xiàn)任意兩個M_k(\Gamma)中的元素f,g，它們的和也在其中，且任意一個復(fù)數(shù)z乘上f后，zf也在其中。所以我們發(fā)現(xiàn)M_k(\Gamma)構(gòu)成了一個復(fù)數(shù)域上的線性空間。 在回到之前求r(n,k)的問題。在那里事實上我們發(fā)現(xiàn)了\theta(\tau,k)在如下四個矩陣的作用下滿足k/2階模形式的要求：
所以\theta(\tau,k)關(guān)于這兩個元素“生成”的群成為了k/2階模形式。 所謂由幾個元素生成的群，就是將所有能通過這些元素間的運算得到的東西匯集在一起構(gòu)成的集合，它在原運算下仍然是一個群。比如這里，就是這四個矩陣隨意做乘法，求逆，再乘法，再求逆等等，最后將所有得到的結(jié)果放在一起，構(gòu)成一個群。 那么由這4個矩陣生成的群究竟是什么呢？可以證明它是下面這個東西：
就是SL2(Z)中所有左下角元素為4的倍數(shù)的那些矩陣構(gòu)成的群。 出于之后將會明了的原因（for the reason which will be clear soon...=.=），我們再考慮下面這個特殊一點的子群：
由上面的分析，我們有
前面已經(jīng)說過，模形式空間是一個線性空間，所以若果能找到它們的維數(shù)，以及相應(yīng)的一組基，就能表達出\theta了，進而就能知道每一個Fourier展開的系數(shù)是什么了，從而r(n,k)就知道了！而之所以這里考慮\Gamma_1而不是\Gamma_0，是后來發(fā)現(xiàn)關(guān)于\Gamma_1的空間的維數(shù)公式和基都能有很漂亮的表達式。 那么，要怎么求出模形式空間的維數(shù)和基呢？ 這又是一段信息量極大的跌宕起伏的故事……
1.3、 如果下把下文中出現(xiàn)的所有名詞一一解釋，那本文篇幅就將無限長了，所以如果你碰到了沒見過的名詞，就默認它很高端，然后跳過就好了=.=。。。 首先，注意到對于0階模形式，它實際上就是在\Gamma中元素作用下不變的函數(shù)，這樣一來，雖然這樣的函數(shù)f是定義在上半平面H上的，我們可以將其視為定義在H模掉\Gamma的商空間上的。 我覺得這個思想非常漂亮，這里解釋一下什么叫“模掉”（厄，至少我這么讀，但愿正規(guī)讀法也是這樣=.=）。比如我們有一個函數(shù)f，定義域是6個人：S={韓旭，韓九，韓日，小明，小花，小草}，然后碰巧f的取值滿足f(韓旭)，f(韓九)，f(韓日)都等于0，f(小明)，f(小花)，f(小草)都等于1，那么我們可以將f視為作用在兩個“東西”上，一個是姓韓的人全體，一個是姓小的人全體，這個新的函數(shù)的定義域就是S模掉{姓}。總之，當(dāng)你需要將一堆東西視為一個整體時，就模掉一個關(guān)系。當(dāng)然，具體的數(shù)學(xué)表述沒這么粗糙，涉及到一些概念，就不詳述了。 我們記
為上半平面模掉\Gamma后得到的東西?？梢詾樗缴弦粋€拓撲（不解釋=.=），變成一個拓撲空間。 我們可以證明，這個空間是Hausdorff的（不解釋=.=），且可以附上一個atlas（不解釋=.=），從而它便成為了一個黎曼流形（不解釋=.=）（似乎作為流形還需要滿足第二可數(shù)性（不解釋=.=），不過由于上半平面顯然是滿足的，所以這一點沒有問題）。 可是這個流形并不讓人滿意，因為它不是緊的（不解釋=.=）。不過沒關(guān)系，我們可以將它緊化（不解釋=.=），得到一個緊的黎曼流形，記為
為什么要費這么大周折呢？因為關(guān)于緊的黎曼流形，有一堆很好的性質(zhì)，以及一堆現(xiàn)成的結(jié)論可以利用。其中一個我們將要用到的是所謂Riemann-Roch定理。在敘述它之前，我們還得先引入一些概念=.=（for the reason will be clear soon =.=） 首先，在一個緊黎曼流形X上定義一個所謂divisor的東西，它是如下的有限的“形式和”，即一個沒有任何意義的和式：
對于每一個定義在一個緊黎曼流形上的非零的半純（不解釋=.=，簡單地說，就是可以取值為無窮的函數(shù)）函數(shù)f，我們都可以定義出一個divisor：
其中v_x(f)是f在每一個點處的階（不解釋=.=）。由復(fù)分析我們知道，f只有在其零點（值為0的點）和極點（值為無窮的點）處有非零的階，而緊的黎曼流形上，半純函數(shù)的零點和極點必為有限個，所以上面的div(f)是well-defined的。 在X上的兩個divisor之間，我們可以定義一個序關(guān)系（就是可以比較大?。?，我們說D1>=D2，指的是D1的每一個n_x都大于D2的相應(yīng)的n_x。以及一個加法，就是對應(yīng)的n_x加起來。 進而，對于每一個X上的divisor D，我們考慮如下這個集合：
其中C(X)表示X上的半純函數(shù)全體。不難發(fā)現(xiàn)，這個L(D)是一個復(fù)數(shù)域上的線性空間，這一點和模形式空間是一樣的哦…… 我們記
表示D的“度” 現(xiàn)在我們站到比模形式空間稍微大一點的空間中去看一下，所謂automorphic form（我不知道怎么翻譯了=.=）。它和模形式的不同在于，它僅要求半純而不是全純，符號用A而不是M來表示。 不難發(fā)現(xiàn)，如果f,g是X上的同階的automorphic form，那它們的商f/g是就是0階的automorphic form，進而就是X上的半純函數(shù)，反之亦然。所以我們得到：
而顯然M_k是A_k的一個子集，那是滿足什么條件的子集呢？對于半純函數(shù)，其在每一點的階是整數(shù)（可能為負數(shù)，即為極點）。但對于全純函數(shù)，其在每一點的階是非負整數(shù)，反之亦然。所以
其中關(guān)于divisor的向下取整是對每一個n_x取整，至于為什么要取整，是為了用到后面將要利用的定理。 這里的f是X(\Gamma)上的一個給定的automorphic form?？赡苣阕⒁獾搅艘粋€問題，前面說過，當(dāng)f是0階模形式（這里是automorphic form，不過結(jié)論一樣）時，它在X(\Gamma)上是良定義的。但是對一般的k階形式，它卻不是良定義的，怎么能定義div(f)呢？不用怕，雖然整個f是無法定義的，但是f在緊黎曼流形X(\Gamma)上每一點的“階”是可以well-defined的，所以還是可以寫出div(f)。而這已經(jīng)足夠了。 總之，我們得到了一個很漂亮的結(jié)論（這里的同構(gòu)是復(fù)線性空間的同構(gòu)）：
于是，求M_k的維數(shù)，就變成了求右邊的空間的維數(shù)了。其中這里的f是任意給定的。
1.4、 現(xiàn)在我們終于來看一看為什么要考慮上面這一堆天馬行空的東西了，只為了能夠應(yīng)用這個定理，所謂Riemann-Roch定理（這里說它的一個特殊形式）：令X為一個緊的黎曼流形，虧格（不解釋=.=）為g，那么對于X上的任意一個divisor D，如果deg(D)>2g-2，我們有
其中l(wèi)(D)表示線性空間L(D)的維數(shù)。 令D等于[div(f)]，我們便可以得到M_k的維數(shù)了！ 當(dāng)然，具體怎么求deg([div(f)])呢？這將又是一篇長篇大論，我是在是。。打。打不動。了。。了。 所以。此處省略幾千字吧。 總之，最后我們可以得出，
1.5、 再回到最初的那個整數(shù)平方和的問題，別忘了
（就以它為例吧，因為這個空間是1維的）所以只要找到右邊這個1維空間的一個基，特別的，就是其中的一個非零函數(shù)，\theta(\tau, 2)與它最多相差一個復(fù)系數(shù)！ 至于怎么找到這一組基呢？這又是一篇長篇大論，涉及無數(shù)人命函數(shù)以及巧妙的構(gòu)造，就不詳述了，下面僅列出一些其中用到的人名函數(shù)來膜拜一下…… Eisenstein series:
Riemann zeta function:
Hurwitz zeta function:
Mobius function:
Dirichlet character: 一個乘法群的同態(tài)
Gamma function:
Dirichlet L-function:
Weierstrass sigma-function
……實在是列不動了。。。 總之，經(jīng)過這些神一樣的人物神一樣的“注意到”，“考慮如下”，構(gòu)造、運算、化簡之后，我們終于能給出M_1(\Gamma_1(4))的一個基了（別忘了，它是一維的。）:
這是什么玩意？ 這是一個函數(shù)，指數(shù)是兩個Dirichlet character，第二個是平凡homomorphism。它的一般定義是這樣的：
別怕，我們只要關(guān)注非常數(shù)項就好了，因為r(n,k)中的n是從1開始的。它的定義是
由這一個基E和之前r(n,2)的生成函數(shù)，對比系數(shù)我們便得到
其中C為一個復(fù)常數(shù)，由r(1,2)可以定出。
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最終，經(jīng)過不繁但是讓人望而生畏的計算后，我們得到
同樣我們還能得到（對k=4有快一點的辦法）
對于更大的（偶數(shù)）k呢。。。當(dāng)然也可以算啦。。你有興趣就算去唄。。算去唄。。去唄。。唄。。。
2、 打的我真要吐血了。終于把數(shù)學(xué)部分打完了。 我一直以來有一個想法，希望能將高深的數(shù)學(xué)通俗的介紹給大眾，讓大家能欣賞到數(shù)學(xué)的美。 為什么呢。 因為整個中國初等教育，只讓人們看到了數(shù)學(xué)最丑的一面。 這一點在之前一篇《中國人為什么數(shù)學(xué)不算厲害》（類似的名字，具體的我忘了=.=）中表達的很好了。我就不多說了。 很多人苦于解方程，算行列式，求導(dǎo)求積分，背定理背公式，等等?？嗖豢把浴?/p> 特別是期末考試期間，無數(shù)狀態(tài)、日志在吐槽數(shù)學(xué)。。。 我覺得關(guān)鍵在于，整個數(shù)學(xué)教育，沒有讓學(xué)生從宏觀上看到數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，欣賞到其美麗，而只追求細枝末節(jié)的東西。 打個比方，就像爬山。考慮兩種方案： 1）如果我?guī)闩郎街?，先用直升飛機帶你慢慢的飛到山頂，讓你先欣賞一下沿途的風(fēng)景以及從山頂往山下俯瞰的美景，再帶你從頭開始爬。 2）我告訴你我們?nèi)ヅ酪粋€不知名的山吧！然后從山腳開始費力的攀登。 這兩種，哪一種好呢？顯然對于第一種，你會懷有一種期待與激情快樂地努力攀登，而第二種，你根本顧不上欣賞沿途的美景，也不知道前方是什么鬼東西，稍有一點困難可能就想下山了。 教育也是如此。 當(dāng)然你可以說數(shù)學(xué)教育有其特殊性，很多因果關(guān)系必須反過來講，比如一個定義的出現(xiàn)是由后面的一堆“考慮”導(dǎo)致的，而那些“考慮”還真沒辦法先說。的確，我在打第一部分的時候也糾結(jié)過這個問題。但讓學(xué)生提前知曉一個大的方向，知道最終要做什么，或至少舉一個應(yīng)用的例子，我想總是可以做到。比如就是那個求r(n,k)的例子，支撐著我耐著性子看完了一堆密密麻麻的積分號和sigma，如果沒有它，我早就把書一扔不干了。 另外，我不得不承認，跟一個外行講數(shù)學(xué)的確太難了。 若要和一個新手完整的介紹一個概念，比如域上的線性空間，我得先介紹Abel群，以及域。于是我還得先介紹群……這還算好的，要是一個更大一點的概念，比如流形，那預(yù)備知識將是指數(shù)級的=.=。 另外，有一些東西，懂的人能明明感覺到其精髓，但是要真解釋清楚著實不易。 比如上文的那個divisor，我覺得它無非就是為了描述一個函數(shù)在每個點的degree，創(chuàng)造的一個方便的工具。但要是真的把另一個人講懂，著實不易，所以很多數(shù)學(xué)書只羅列定理定義恐怕尤其原因吧。 超出語義所能表達的界限的東西，才是智慧所在。 正如維特根斯坦所說，凡不可說者，我們必須保持沉默。 所以把數(shù)學(xué)通俗的介紹給大眾，不知能不能做到。
3、 我們兜了一大圈，足跡遍布數(shù)論、復(fù)分析、幾何、拓撲、代數(shù)，終于得到了最初的那一個問題的答案。 但是請回過頭來想一想，“問出”這一個問題，需要些什么？ 需要數(shù)論，需要復(fù)分析，需要幾何，需要拓撲，需要代數(shù)，嗎？ 完全不需要！需要的就是一個最基本的東西——每個人生而熟知的——自然數(shù)。 一個小孩，只要它能數(shù)數(shù)，能認知到2個皮球和3個皮球合到一起是5個皮球——當(dāng)然他不一定讀做2、3、5，它就能提出文章開頭的問題。你可能要說他不會算平方??！可是平方無非就是正方形數(shù)——歐幾里得他們不都是這樣來看待這些數(shù)的嘛。 甚至一個會數(shù)數(shù)的狗（事實上我們?nèi)祟愒趺茨芸隙ü凡粫?shù)數(shù)呢），也能提出相同的問題，只不過它可能會把1讀成“汪”。 這說明什么？ 說明人類與生俱來的（關(guān)于數(shù)的）認知本身中有著其intrinsic的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)。而整個數(shù)學(xué)，特別是那些“純”數(shù)學(xué)，就是在以人類卑微的智慧來試圖破解這其中的奧秘。 數(shù)學(xué)家們花了上千年，在不同方向上建立了風(fēng)格迥異的數(shù)學(xué)分支。但到頭來它們竟然能融會貫通，縱橫交錯，聯(lián)合在一起給出了關(guān)于整數(shù)的一個最基本的問題的答案，這又說明什么？ 說明： 1）數(shù)學(xué)家們的工作似乎沒做錯。不然兩個分支撞在一起矛盾了就麻煩了。 2）整個數(shù)學(xué)并沒有還原出那個與生俱來的intrinsic的結(jié)構(gòu)的本來面貌?？隙ㄟ€有一個更基本更底層的結(jié)構(gòu)不為人所知。 或許整個宇宙就是被設(shè)計成我們只能生活在其中，或許有天才還沒有出生。 猶記得以前看過一篇文章，說代數(shù)里的所謂魔群和另一個分支里（忘了是什么了）的一個東西聯(lián)系在一起，最終在物理的超弦理論中合二為一。 我想這正反映出了上述觀點：我們的整個理論并不是基本的，僅僅是浮于表面的一塊塊補丁，在銜接處幸運的接合的很好。
4、 最后。相信你肯定會忍不住要問： 你算出了r(n,k)有什么用?。繛槭裁匆闼?？ 的確，它能賺錢嗎？ 不能。 它能幫你換到房子，搞到車子嗎？ 不能。 它能幫你找到妹子嗎？ 不能。T.T 那為什么要研究它呢？？！！
為了人類心智的榮耀。
趁現(xiàn)在衣食無憂，不用為生計發(fā)愁，多欣賞欣賞吧。無論什么學(xué)科。 不知道幾年后，還有沒有時間、精力和心情啃一本書了。
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