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神奇的數(shù)字排列 神秘的”7“字之謎 看完讓你愛上數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)竟然是如此神奇的東西/網(wǎng)絡(luò) 圓周率之源 數(shù)學(xué)之騷美 | 不懂?dāng)?shù)學(xué)也能明白傅里葉分析和感受數(shù)學(xué)之美 為什么圓是360度，震驚世界的解釋數(shù)學(xué)如此簡單!老師為什么沒這么教?(留著以后教孩子) 
神奇的數(shù)字排列  公元1514年，一位青年把一個(gè)正方形分成16個(gè)相等的小正方形，然后將1、2、3……14、15、16等十六個(gè)數(shù)字，分別寫在每一個(gè)小方格里。他寫了又擦、擦了再寫，最后寫成了這個(gè)樣子。  他高興得發(fā)狂，因?yàn)樗晒α?！他寫出了一個(gè)神奇的數(shù)學(xué)魔板。不信，你把每一個(gè)橫排的數(shù)字相加起來，每一排的結(jié)果都是34。  你再把每一個(gè)豎排的數(shù)字相加起來，每一列的結(jié)果也都是34。  還有奇怪的是：你把大方塊對角線方向的四個(gè)數(shù)相加，結(jié)果也是34。  大方塊另一個(gè)對角線方向的四個(gè)數(shù)相加，其結(jié)果依然等于34。 你把這四個(gè)帶顏色的數(shù)字相加一下，看看結(jié)果是不是34？ 你再轉(zhuǎn)一個(gè)方向把四個(gè)帶顏色的數(shù)字相加一下，結(jié)果還是34。 改變一下，你把這四個(gè)帶顏色的數(shù)字相加一下，看看結(jié)果是不是34？ 你再轉(zhuǎn)一個(gè)方向把四個(gè)帶顏色的數(shù)字相加一下，結(jié)果還是34。 原來1+2+3+……+14+15+16=136；把136平均分成四份，每份就是34。
圓周率之源 圓周率的故事 圓，是人類最早認(rèn)識的一種曲線，也是用途最廣的一種曲線。還在遙遠(yuǎn)的古代，火紅的太陽、皎潔的月亮、清晨的露珠，以及動物的眼睛，水面的波紋，都給人以圓的啟示?，F(xiàn)代，從滾動的車輪到日常用品，從旋轉(zhuǎn)的機(jī)器到航天飛船，到處都有圓的身影。人們的生活與圓早已結(jié)下了不解之緣。圓，以它無比美麗的身影帶給人們無限美好的遐想。圓滿、團(tuán)圓，這些美妙的詞語寄托了人們多少美好和幸福的憧憬！ 圓周率是圓的靈魂，是圓的化身，可是這位仙子，卻遲遲不肯揭開她那神秘的面紗。 人們對圓周率的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的歷史歲月，許多數(shù)學(xué)家為此獻(xiàn)出了畢生的精力。現(xiàn)在，就讓我們穿過時(shí)間隧道，與這些偉大的數(shù)學(xué)家作一次親密接觸吧！ 早在三千多年以前的周朝，我們的祖先就從實(shí)踐中認(rèn)識到圓的周長大約是直徑的3倍，所以在距今2000多年前的西漢初年，在我國最古老的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》里就有了“周三徑一”的記載。 隨著生產(chǎn)的發(fā)展和文明的進(jìn)步，對圓周率精確度的要求越來越高。西漢末年，數(shù)學(xué)家劉歆提出把圓周率定為3.1547。到了東漢，張衡——就是那位發(fā)明候風(fēng)地動儀的天文學(xué)家，建議把圓周率定為3.1622。但是，這兩種建議都因?yàn)槿狈茖W(xué)依據(jù)而很少有人采用。一直到了公元263年，三國時(shí)期魏國的劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，才使圓周率的計(jì)算走上了科學(xué)的道路。 什么是割圓術(shù)呢？原來，劉徽在整理我國古老的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》時(shí)發(fā)現(xiàn)，所謂的“周三徑一”，實(shí)質(zhì)上是把圓的內(nèi)接正6邊形的周長作為圓的周長的結(jié)果。于是他想到：如果用圓的內(nèi)接正12邊形、24邊形、48邊形、96邊形……的周長作為圓的周長，豈不是更加精確。這就是割圓術(shù)。用他自己的話說就是：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！钡?，因?yàn)橛?jì)算過程隨著邊數(shù)的增加越來越復(fù)雜，限于當(dāng)時(shí)的條件，劉徽只計(jì)算到圓的內(nèi)接正96邊形，使圓周率精確到兩位小數(shù)，得到3.14。后來，劉徽又算到圓的內(nèi)接正3072邊形，使圓周率精確到四位小數(shù)，得到3.1416。還記得，我們那一代人上小學(xué)的時(shí)候，圓周率用的就是這個(gè)值。 又過了大約200年，到了南北朝的時(shí)候，我國出了一位大數(shù)學(xué)家，也是天文歷算學(xué)家祖沖之。祖沖之于公元429年4月20日，出生于范陽郡遒縣（現(xiàn)在的河北省淶水縣）。他小時(shí)候沒上過什么學(xué)，也沒得到過什么名師指點(diǎn)，但是他自學(xué)非?？炭?，尤其是對天文、數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣。他廣泛搜集認(rèn)真閱讀了前人有關(guān)天文、數(shù)學(xué)的許多著作，卻從來不盲目接受，總要親自進(jìn)行測量和推算。公元460年，他采用劉徽的割圓術(shù)，一直算到圓的內(nèi)接12288邊形，推算出圓周率應(yīng)該在3.1415926到3.1415927之間。同時(shí)，他還提出用兩個(gè)分?jǐn)?shù)作為圓周率的近似值，一個(gè)是22/7，叫“疏率” ，約等于3.142857；另一個(gè)是355/113，叫“密率”，約等于3.1415929。祖沖之對圓周率的計(jì)算，開創(chuàng)了一項(xiàng)世界紀(jì)錄，比歐洲早了一千多年。國際上為了紀(jì)念這位偉大的中國數(shù)學(xué)家，把3.1415926稱為“祖率”，并把月球上的一座環(huán)形山命名為“祖沖之山”。這是我們中華民族的驕傲。 向往完美，向往精確是人類的天性。盡量把圓周率算得準(zhǔn)確一點(diǎn)，一直成為人們的不懈追求。 在古希臘，人們也是把圓周率取為3。后來也發(fā)現(xiàn)了疏率22/7，直到1573年，德國數(shù)學(xué)家奧托才發(fā)現(xiàn)了密率355/113，比祖沖之晚了1113年。 在古埃及的紙草書（以草為紙寫的書）中，有一道計(jì)算圓形土地面積的題目，所用的方法是：圓的面積等于直徑減去直徑的1/9，然后再平方。如果我們假設(shè)半徑為1，直徑就是2，圓的面積就是2÷9×8再平方，約等于3.16，也就是說圓周率約等于3.16。（因?yàn)?/span>S＝πr2，當(dāng)r＝1時(shí)，S＝π。） 1593年，荷蘭數(shù)學(xué)家羅梅，用割圓術(shù)把圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后15位，雖然打破了祖沖之的紀(jì)錄，但是已時(shí)隔1133年。 1610年，德國數(shù)學(xué)家盧道夫，用割圓術(shù)使π值精確到小數(shù)點(diǎn)后第35位，幾乎耗費(fèi)了他一生的大部分心血。 隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們又陸續(xù)發(fā)明了另外一些計(jì)算圓周率的方法。 1737年，經(jīng)過瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉的倡導(dǎo)，人們開始廣泛地使用希臘字母π表示圓周率。 1761年，德國數(shù)學(xué)家蘭伯特證明了π是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。 1873年，英國的向克斯，用了20年的精力，把π值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后707位?？上Ш髞碛腥擞秒娔X證明，向克斯的計(jì)算結(jié)果，在小數(shù)點(diǎn)后第528位上發(fā)生了錯(cuò)誤，以致后面的179位毫無意義。一個(gè)數(shù)字之差使向克斯白白耗費(fèi)了十多年的精力！他的失誤警示人們，科學(xué)上容不得半點(diǎn)疏忽。這個(gè)教訓(xùn)值得我們永遠(yuǎn)記取。 隨著電腦的不斷升級換代，π值的計(jì)算不斷向前推進(jìn)，早在上個(gè)世紀(jì)80年代末，日本人金田正康已將π值算到了小數(shù)點(diǎn)后133554000位。當(dāng)代，π 值的計(jì)算已經(jīng)成為評價(jià)電子計(jì)算機(jī)性能的指標(biāo)之一。 最后，還有兩件與圓周率有關(guān)的趣事不能不談。 第一件：1777年，法國數(shù)學(xué)家布豐，用他設(shè)計(jì)的，看似與圓周率毫無關(guān)系的“投針試驗(yàn)”，求出圓周率的近似值是3.12。1901年，意大利數(shù)學(xué)家拉茲瑞尼，用“布豐投針試驗(yàn)”求出圓周率的近似值是3.1415929。至于什么是“布豐投針試驗(yàn)”，請看拙文“布豐投針試驗(yàn)的故事”。 第二件：用普通的電子計(jì)算器，就能算出圓周率的高精度近似值。算式是： 1.09999901×1.19999911×1.39999931×1.69999961≈3.141592573… 這幾個(gè)小數(shù)很好記，如果不看小數(shù)點(diǎn)的話，四個(gè)因數(shù)都是對稱的，中間是5個(gè)9，前面兩位分別是10、11、13、16，后面兩位分別是01、11、31、61。至于是什么道理，不清楚。據(jù)我猜測，很可能是某位有心人，殫精竭慮編出的一道趣味數(shù)學(xué)題。 無獨(dú)有偶，下面這些由十個(gè)不同數(shù)字組成的算式，也可以算出圓周率的高度近似值。 76591÷24380 95761÷30482 39480÷12567 97468÷31025 37869÷12054 95147÷30286 49270÷15683 83159÷26470 78960÷25134 顯然，這些題目中的數(shù)字是湊出來的，滲透了創(chuàng)編者的良苦用心。 在分享了上面這些算式帶給我們的驚喜和啟迪之余，不禁要對這兩位數(shù)學(xué)愛好者，表示崇高的敬意！ 幾千年來，圓周率精確值，不斷推進(jìn)的過程，反映了人類崇高的科學(xué)精神，閃爍著人類智慧的光芒，同時(shí)也讓熱愛數(shù)學(xué)、甘愿為數(shù)學(xué)獻(xiàn)身的人們，充分感受到數(shù)學(xué)的無比美妙，享受到數(shù)學(xué)給予他們的無限幸福。 在相當(dāng)長的一段歷史時(shí)期內(nèi)，人們往往用圓周率的精確程度，作為衡量一個(gè)國家、一個(gè)民族數(shù)學(xué)發(fā)展水平的標(biāo)志。我國古代數(shù)學(xué)一直處于世界領(lǐng)先的地位，作為炎黃子孫，我們一定要繼承祖先的光榮傳統(tǒng)。而作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，一定要教育我們的學(xué)生，學(xué)無止境，科學(xué)的發(fā)展也沒有止境，一座座科學(xué)高峰正等待著他們?nèi)ヅ实?。劉徽、祖沖之、盧道夫……這些光輝的名字，永遠(yuǎn)是鼓舞全人類前進(jìn)的榜樣。 數(shù)學(xué)之騷美 | 不懂?dāng)?shù)學(xué)也能明白傅里葉分析和感受數(shù)學(xué)之美 這篇文章的核心思想就是： 要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。 傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕。老實(shí)說，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。（您把教材寫得好玩一點(diǎn)會死嗎？會死嗎？）所以我一直想寫一個(gè)有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會有新的發(fā)現(xiàn)。 ————以上是定場詩———— 下面進(jìn)入正題： 抱歉，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來更加輕松，充滿樂趣。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址，心里想著：以后有時(shí)間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒有再打開這個(gè)頁面。無論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開心得多…… 一、嘛叫頻域 從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。 先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過的例子： 在你的理解中，一段音樂是什么呢？
這是我們對音樂最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：
是的，其實(shí)這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已。 現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的。 將以上兩圖簡化： 時(shí)域：
頻域：
在時(shí)域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符。 所（前方高能！~~~~~~~~~~~非戰(zhàn)斗人員退散~~~~~~~） 以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能預(yù)警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~） 你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。 ?。ū娙耍弘u湯滾出知乎?。?/p> 抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個(gè)例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。 而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起。 二、傅里葉級數(shù)(Fourier Series) 還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。 如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶 90 度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：
第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波 cos（x） 第二幅圖是 2 個(gè)賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x) 第三幅圖是 4 個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加 第四幅圖是 10 個(gè)便秘的正弦波的疊加 隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理？ ?。ㄖ灰?，彎的都能掰直?。?/p> 隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個(gè)。（上帝：我能讓你們猜著我？） 不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開始有意思起來了。 還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個(gè)角度來看看：
在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個(gè)正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。 這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。 好了，關(guān)鍵的地方來了??！ 如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。 對于我們最常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。 ?。ê冒?，數(shù)學(xué)稱法為——基。在那個(gè)年代，這個(gè)字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會說嗎?） 時(shí)域的基本單元就是“1 秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為 有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。 接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。
正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓
以及這里： File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif 點(diǎn)出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。 介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了：
這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實(shí)教科書只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——
再清楚一點(diǎn)：
可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。
動圖請戳： File:Fourier series and transform.gif 老實(shí)說，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個(gè)譜——相位譜。 但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個(gè)什么畫面呢？ 我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實(shí)話，這種對人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級數(shù)…… 數(shù)學(xué)如此簡單!老師為什么沒這么教?(留著以后教孩子) |
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