這篇文章的核心思想就是：

要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。

傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來(lái)太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來(lái)就懵圈并從此對(duì)它深惡痛絕。老實(shí)說(shuō)，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。（您把教材寫(xiě)得好玩一點(diǎn)會(huì)死嗎？會(huì)死嗎？）所以我一直想寫(xiě)一個(gè)有意思的文章來(lái)解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會(huì)到通過(guò)傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對(duì)于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。

————以上是定場(chǎng)詩(shī)————

下面進(jìn)入正題：

抱歉，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來(lái)就不是易事，我寫(xiě)這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來(lái)更加輕松，充滿樂(lè)趣。但是千萬(wàn)！千萬(wàn)不要把這篇文章收藏起來(lái)，或是存下地址，心里想著：以后有時(shí)間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒(méi)有再打開(kāi)這個(gè)頁(yè)面。無(wú)論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開(kāi)心得多……

一、嘛叫頻域

從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人的身高、汽車(chē)的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái)。但如果我告訴你，用另一種方法來(lái)觀察世界的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會(huì)不會(huì)覺(jué)得我瘋了？我沒(méi)有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。

先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過(guò)的例子：

在你的理解中，一段音樂(lè)是什么呢？

這是我們對(duì)音樂(lè)最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相信對(duì)于樂(lè)器小能手們來(lái)說(shuō)，音樂(lè)更直觀的理解是這樣的：

好的！下課，同學(xué)們?cè)僖?jiàn)。

是的，其實(shí)這一段寫(xiě)到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂(lè)在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂(lè)在頻域的樣子。所以頻域這一概念對(duì)大家都從不陌生，只是從來(lái)沒(méi)意識(shí)到而已。

現(xiàn)在我們可以回過(guò)頭來(lái)重新看看一開(kāi)始那句癡人說(shuō)夢(mèng)般的話：世界是永恒的。

將以上兩圖簡(jiǎn)化：

時(shí)域：

頻域：

在時(shí)域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)，就如同一支股票的走勢(shì)；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符。

所（前方高能！~~~~~~~~~~~非戰(zhàn)斗人員退散~~~~~~~）

以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能預(yù)警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）

你眼中看似落葉紛飛變化無(wú)常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂(lè)章。

（眾人：雞湯滾出知乎?。?/p>

抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個(gè)例子里我們可以理解為，利用對(duì)不同琴鍵不同力度，不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊，可以組合出任何一首樂(lè)曲。

而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說(shuō)的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡(jiǎn)單的開(kāi)始談起。

二、傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)

還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。

如果我說(shuō)我能用前面說(shuō)的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶 90 度角的矩形波來(lái)，你會(huì)相信嗎？你不會(huì)，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：

第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波 cos（x）

第二幅圖是 2 個(gè)賣(mài)萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅圖是 4 個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加

第四幅圖是 10 個(gè)便秘的正弦波的疊加

隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？

（只要努力，彎的都能掰直?。?/p>

隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無(wú)窮多個(gè)。（上帝：我能讓你們猜著我？）

不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。這是沒(méi)有接觸過(guò)傅里葉分析的人在直覺(jué)上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開(kāi)始有意思起來(lái)了。

還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個(gè)角度來(lái)看看：

在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開(kāi)來(lái)，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說(shuō)，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。

這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。

好了，關(guān)鍵的地方來(lái)了??！

如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。

對(duì)于我們最常見(jiàn)的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。

（好吧，數(shù)學(xué)稱法為——基。在那個(gè)年代，這個(gè)字還沒(méi)有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會(huì)說(shuō)嗎?）

時(shí)域的基本單元就是“1 秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波 cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是。

有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無(wú)限長(zhǎng)的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。

接下來(lái)，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。

正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓

以及這里：

File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

點(diǎn)出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫(xiě)的哪有這里的文章這么沒(méi)節(jié)操是不是。

介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了：

這是什么奇怪的東西？

這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來(lái)了？教科書(shū)一般就給到這里然后留給了讀者無(wú)窮的遐想，以及無(wú)窮的吐槽，其實(shí)教科書(shū)只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——

再清楚一點(diǎn)：

可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。

動(dòng)圖請(qǐng)戳：

File:Fourier series and transform.gif

老實(shí)說(shuō)，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒(méi)有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會(huì)加入維基沒(méi)有表示出來(lái)的另一個(gè)譜——相位譜。

但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說(shuō)過(guò)的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對(duì)這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫(huà)面呢？

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無(wú)數(shù)的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無(wú)規(guī)律的在幕布前表演，卻無(wú)法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說(shuō)來(lái)有些宿命論的感覺(jué)。說(shuō)實(shí)話，這種對(duì)人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)……