傅里葉變換 | 小組 | 果殼網(wǎng) 科技有意思

土豆地蛋 2014-09-20

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讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉是電子、熱力、數(shù)學(xué)人的噩夢(mèng)，他和拉格朗日（he）、拉普拉斯（hehe）是一個(gè)時(shí)期的著名學(xué)者，因?qū)鳠崂碚摰呢暙I(xiàn)當(dāng)選巴黎科學(xué)院院士，2013年的美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽的A題核心思想就是傅里葉定律，樓主深深地被絆了一跤。

電子類學(xué)科中廣泛運(yùn)用的則是傅里葉變換，傅里葉變換傳奇就傳奇在它解決了兩個(gè)物理量的隔閡，任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以在傅里葉變換的基礎(chǔ)上表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無限疊加。

根據(jù)原信號(hào)的不同，可以將傅里葉變換分為

非周期連續(xù)信號(hào)傅里葉變換，連續(xù)傅里葉變換——Fourier Transform
周期性連續(xù)信號(hào)傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)——Fourier Series
非周期離散信號(hào)離散時(shí)域傅里葉變換，離散時(shí)間傅里葉變換——Discrete Time Fourier Transform
周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅里葉變換，離散傅里葉變換——Discrete Fourier Transform

傅里葉變換公式

傅里葉變換性質(zhì)

(線性性質(zhì)是將任意信號(hào)分解為不同頻率的正弦信號(hào)的理論基礎(chǔ)，有了這個(gè)性質(zhì)，才能將不同頻率的信號(hào)進(jìn)行線性疊加而不影響變換后的信號(hào)的屬性。)

兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各變換之和，數(shù)學(xué)描述：
若函數(shù) $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里葉變換 $F(f)$ 和 $F(g)$ 都存在， $\alpha$ 和 $\beta$ 為任意常系數(shù)，則 $F(\alpha f+\beta g)=\alpha F(f)+ \beta F(g)$

若函數(shù) $f(x)$ 存在傅里葉變換，則對(duì)任意實(shí)數(shù) $w_0$ ，函數(shù) $f(x)e^{jw_0x}$ 也存在傅里葉變換，且有 $\mathcal {F}$ 。式中花體
是傅里葉變換的作用算子，平體 $F$ 表示變換的結(jié)果（復(fù)函數(shù)）， $e$ 為自然對(duì)數(shù)的底， $j$ 為虛數(shù)單位 $\sqrt {-1}$ 。

若函數(shù) $f(x)$ 當(dāng) $|x|→\infty$ 時(shí)的極限為0，而其導(dǎo)函數(shù) $f'(x)$ 的傅里葉變換存在，則有 $\mathcal {F}$ ，即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子 $jw$ 。更一般地，若 $f(\pm\infty)=f'(\pm \infty)=...f^{k-1}(\pm\infty)$ ，且存在 $\mathcal {F}$ ，則 $\mathcal {F}$ ，即 $k$ 階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子 $(jw)^{k}$ 。

若函數(shù) $f(x)$ 及 $g(x)$ 都在 $(-\infty,+\infty)$ 上絕對(duì)可積，則卷積函數(shù) $f*g=\int_{-\infty}^{+infty}f(x-\xi)g(\xi)d\xi$ （或者 $f*g=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)g(x-\xi)d\xi$ ）的傅里葉變換存在，且 $\mathcal {F}$ 。卷積性質(zhì)的逆形式為 $\mathcal {F}^{-1}$ ，即兩個(gè)函數(shù)卷積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的乘積乘以 $2\pi$ 。

例子（來自維基百科：卷積）

圖示兩個(gè)方形脈沖波的卷積。其中函數(shù) " $g$ " 首先對(duì) $\tau =0$ 反射，接著平移 " $t$ " ，成為 $g(t-\tau)$ 。那么重疊部份的面積就相當(dāng)于 " $t$ " 處的卷積，其中橫坐標(biāo)代表待積變量 $\tau$ 以及新函數(shù) $f*g$ 的自變量 " $t$ " 。

圖示方形脈沖波和指數(shù)衰退的脈沖波的卷積（后者可能出現(xiàn)于 RC電路中），同樣地重疊部份面積就相當(dāng)于 " $t$ " 處的卷積。注意到因?yàn)?" $g$ " 是對(duì)稱的，所以在這兩張圖中，反射并不會(huì)改變它的形狀。

若函數(shù) $f(x)$ 可積且平方可積，則 $\int_{-\infty}^{+\infty}f^{2}(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(w)|^{2}dw$ 。其中 $F(w)$ 是 $f(x)$ 的傅里葉變換。
更一般化而言，若函數(shù) $f(x)$ 和 $g(x)$ 皆平方可積，則 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)g^*(x)dx= \frac {1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}F(w)G^*(w)dw$ 。其中 $F(w)$ 和 $G(w)$ 分別是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里葉變換, $*$ 代表復(fù)共軛。

存在意義

將某個(gè)函數(shù)表示成為三角函數(shù)或者其積分的線性組合，最初是用來作為解析熱過程的工具
傅里葉變換屬于諧波分析
傅里葉變換的逆變換很容易求出，有時(shí)候有的公式并不帶上 $2\pi$ ，但是實(shí)際上表示的效果都是一樣的，只是單位系數(shù)不匹配，其形式與正變換非常相似
正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使線性微分方程的求解轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程求解
頻率是固有屬性，系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合對(duì)其不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來獲取
離散形式傅里葉變換通過FFT實(shí)現(xiàn)，并相應(yīng)產(chǎn)生了各種高速處理器

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