相似形知識總結(jié)

成比例線段：

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做(成)比例線段.

比例性質(zhì)

⑴基本性質(zhì)(比例式與等積式相互變形)

  如果a:b=c:d，那么ad=bc；反之亦成立

  如果a:b=b:c，那么b²=ac；反之亦成立

 *等積式先變4個比例式→上下顛倒或左右互換

同時更換內(nèi)外項③ ；更換外項② ；

⑵合并性質(zhì)(在分子上進行加或減)

  如果 ，那么①

②

           ①÷②得

平行線分三角形兩邊成比例

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例.【如圖，∵DE∥BC，

∴           及其變形書寫】

⑶等比性質(zhì)

 如果 ( )，那么

.

黃金分割

點C把線段AB分成兩條線段AC、BC，且滿足AC²=AB·BC(或BC²=AC·AB)，則點C即為線段AB的黃金分割點，AC:AB=BC:AC(或BC:AB)即為黃金比.

相似三角形的判定

預備定理：平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的三角形與原三角形相似.(∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC)

作EF∥AB，證口BDEF，∴DE=BF；

判定定理1: 兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似.

判定定理2：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.

判定定理3：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.

判定結(jié)論4：斜邊、直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

基本圖形及變化圖——給出一對角相等證相似

∠ADE=∠ABC 或∠AED=∠ACB，證平行得相似

或：根據(jù)所給條件(同上)加上隱含條件(公共角或?qū)斀窍嗟?證相似

特殊圖形——雙垂直

∵∠ACB=90°，CD⊥AB

∴△ACD∽△CDB∽△ABC

射影定理

⑴△ACD∽△CDB→AC:BC=AD:CD=CD:BD→CD²=AD·BD

⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC=CD:BC→AC²=AD·AB

⑶△CDB∽△ABC→CD:AB=BC:AC=BD:BC→BC²=BD·AB

結(jié)論：⑵÷⑶得AC²:BC²=AD:BD

結(jié)論：面積法得AB·CD=AC·BC→比例式

特殊圖形——∠ACD=∠B(∠A=∠A)

△ABC∽△ACD→CD:BC=AC:AB=AD:AC→AC²=AD·AB

相似三角形的性質(zhì)

⑴相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；

⑵相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；

⑶相似三角形周長的比等于相似比；

⑷相似三角形面積的比等于相似比的平方.

注：相似多邊形有類似的性質(zhì)

證明等積式(比例式)策略

1、直接法：通過證明三角形相似

觀察比例式分子中兩條線段(三個頂點字母)與分母中兩條線段是否在兩個(相似)三角形中；

變化：等號同側(cè)的分子與分母組成三角形

2、間接法：

⑴3種代換

 ①等線段代換； ②等比代換；  ③等積代換；

⑵創(chuàng)造條件

   ①添加平行線——創(chuàng)造“A”字型、“X”字型

   ②先證其它三角形相似——創(chuàng)造邊、角條件

典型例題

1、如圖，AD是△ABC的角平分線.

求證：AB:AC=BD:CD.

(1)過D作DE∥AC交AB于E，

則∠2=∠3，BE:EA=BD:DC

且△BDE∽△BCA，

∴BE:BA=DE:AC即BE:ED=BA:AC

∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴EA=ED

∴AB:AC=BD:DC

(2)過B作BE∥AC交AD的延長線于E，

則∠2=∠E，且△BDE∽△CDA，

∴BE:AC=BD:DC

∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2

∴∠1=∠E，∴AB=BE

∴AB:AC=BD:DC

(3) 過C作CE∥AD交BA的延長線于E，

則AB:AE=BD:DC，∠1=∠E，∠2=∠3

∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2

∴∠3=∠E，∴AC=AE

∴AB:AC=BD:DC

方法總結(jié)：根據(jù)平行或相似寫比例式的區(qū)別；

區(qū)別：平行線可寫(上:下，全:下)，相似不可以；

相似可寫(橫:橫)即平行線段本身，平行不可以；

相同：均可寫(上：全)

練習1：如圖，在△ABC中，AB=AC，

過AB的延長線上一點D，作直線DE

交BC于F，交AC于E.

求證：DF:FE=BD:CE.

練習2：如圖，在△ABC中，AB>AC，D為AB

上一點，E為AC上一點，AD=AE，

直線DE和BC的延長線交于點P，

求證：BP:CP=BD:CE.

練習3：如圖，在△ABC中，BF交AD于E.

(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC；

(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.

2、如圖，AD是△ABC的角平分線，EF垂直平分AD，

交BC的延長線于E，交AB于F.

求證： DE²=BE·CE.

分析：等積式先化成比例式

DE:BE=CE:DE

由于上述線段在同一直線上，無法形成三角形；

由垂直平分線性質(zhì)聯(lián)想：連結(jié)AE，則AE=DE，等線段代換后需證AE:BE=CE:AE，則可通過證明△ACE與△BAE相似得到.

3、已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E為AC的中點，ED的延長線與AB的延長線交于F.

求證：AB·AF=AC·DF

分析：欲證等積式，需證比例式AB:AC=DF:AF，再看這四條線段能否所屬(分配)兩個可能相似的三角形中，發(fā)現(xiàn)這四條線段分別在△ADF和△ABC中，但形狀不相似，即直接證相似不可能. 但AB:AC是“雙垂直”三角形的邊，可以考慮等比代換；猜想BD:AD可以作為中間比——與DF:AF比值相等，而且可以證明兩個三角形相似(△DBF∽△ADF).

4、如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求證：AE:AF=AC:AB.

分析：如果直接證△AEF∽△ACB存在困難，觀察發(fā)現(xiàn)圖中有兩個“雙垂直”三角形，且AD是公共邊，由射影定理可知AD²=AE·AB，AD²=AF·AC，即通過等積代換，再化成比例式.

5、如圖，D、E分別在△ABC的AC、AB邊上，

且AE·AB=AD·AC，BD、CE交于點O.

求證：△BOE∽△COD.

分析：欲證△BOE∽△COD，發(fā)現(xiàn)圖形中有隱含條件(對頂角相等)，而題目所給等積式條件化成比例式后再結(jié)合隱含條件(公共角)可證明△ABD∽△ACE，從而得出∠ABD=∠ACE.再用兩角對應(yīng)相等證相似.

即證兩次相似，第一次相似為第二次相似提供條件

常見相似圖形補充：

如圖，△ABC是等邊三角形，∠DAE=120°，

由于∠1+∠2=60°，∠1+∠D=60°，∠E+∠2=60°，

∴∠1=∠D，∠2=∠E，

又∠DAE=∠ABD=∠ACE=120°，

∴△ADB∽△EAC∽△EDA

動點問題：

(1)如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，點P從A點開始沿AB向點B以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒△PBQ與△ABC相似？

(2)如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從點A出發(fā)沿AB以每秒4cm的速度向點B移動，同時點Q從點C出發(fā)沿CA以每秒3cm的速度向點A運動，設(shè)運動時間為x 秒.

(1)當x為何值時，PQ∥BC?

(2)△APQ能否與△CQB相似？

若能，求出AP的長；

若不能，說明理由.

如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E為DC邊上的動點，EF⊥AE交BC于F，連結(jié)AF. 在△ADE與△CEF、△ADE與△ABF、△ADE與△AEF中，

(1)如果一定相似，請證明；

(2)如果一定不相似，請說明理由；

(3)如果不一定相似，請指出當點E在什么位置時相似.

“雙垂直”中的計算：

如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D.

(1)已知AB=29，AD=4，求CD和AC；

(2)已知BC=5， CD=4，求AD和BD；

(3)已知BC=10，AD=6，求BD和AC；

(4)已知CD=10，AD=4，求BC和AC.