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用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值

 紫曦唯冪1 2014-05-08

用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值                                                         摘要:一、利用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值 例1 如圖1,E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點

一、利用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值

例1 如圖1,E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點,求∠EAF的正切值。

圖1

解:連結EF,作FG⊥AE,垂足為G

設正方形的邊長為2,則BE=CE=CF=FD=1

中,由勾股定理,得

在△AEF中,

易證:△ABE≌△ADF,∴AF=AE=

在Rt△AFG中

評注:本例考查了勾股定理、全等三角形等知識,要求銳角三角函數(shù)值必須在直角三角形進行,通過添加輔助線將非直角三角形轉化為直角三角形,為解決問題創(chuàng)造了有利條件,使所求問題化歸為利用三角形面積橋來解決。

例2 如圖2,AB是圓O的直徑,CD⊥AB于P,若BP=2,CD=12,求cos∠CAD的值。

圖2

解:∵AB是圓O的直徑,AB⊥CD

∴點P是弦CD的中點

∴PD=PC=6

由相交弦定理,得

PA·PB=PD·PC=PD2

中,由勾股定理,得

摘要:易證: 過點D作DEAC,垂足為E 在 中, 評注:本例考查了圓中的相交弦定理、垂徑定理,還考查了勾

易證:

過點D作DE⊥AC,垂足為E

中,

評注:本例考查了圓中的相交弦定理、垂徑定理,還考查了勾股定理、全等三角形等知識,通過添加輔助線,構造直角三角形,利用三角形面積橋的特殊條件,提高了解題效率與為解決某些問題搭起了平臺作用。

二、利用三角形的面積橋求點到直線的距離

例3 如圖3,已知圓與圓外切于點C,AB是兩圓的外公切線,A、B是切點,點A在圓上,點B在圓上。若AC、BC是關于x的方程的兩個實數(shù)根,△ABC的周長為30,求點C到直線AB的距離。

圖3

解:過點C作兩圓的公切線交AB于點P,則AP=PC=PB

,即

∴△ABC是直角三角形。

設BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)題意及根與系數(shù)的關系,得

將①代入③,得 ④

根據(jù)勾股定理,得

摘要:將①、②、④代入⑤,得 , 經(jīng)整理,得 ,解得 又 都能使原方程有實根。 當 時代入④,得 ,不合題

將①、②、④代入⑤,得

,

經(jīng)整理,得

,解得

都能使原方程有實根。

時代入④,得

,不合題意,舍去。

時,代入④,得

∴當時,代入②,得

設點C到直線AB的距離為h

評注:本例由兩圓外切來判斷三角形的形狀,將方程中的根與系數(shù)的關系和判別式,以及勾股定理,配方法、方程等知識點串聯(lián)在一起,綜合性較強,所考查的知識點頗多,涉及面廣,拓寬了對相關知識點的考查;同時合理構建方程組模型,利用方程的知識和三角形的面積橋是解決問題的關鍵;利用整體求值法,避免了求邊長,提高了解題速度,有利于培養(yǎng)學生將所學過的掌握的相關知識轉化為解決實際問題的能力,核心是應用能力,本例形成了較好的考查知識鏈。

三、利用三角形的面積橋求三角形的內(nèi)切圓面積

例4 在△ABC中,AC=4,BC=5,AB=6,求△ABC的內(nèi)切圓面積。

解:如圖4所示,過點A作AD⊥BC,設BD=x,CD=y,則

圖4

摘要:中,由勾股定理,得 ② 解①,②,得 設△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,因為三角形的內(nèi)切圓圓心到三邊的距離

中,由勾股定理,得

解①,②,得

設△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,因為三角形的內(nèi)切圓圓心到三邊的距離相等。

的內(nèi)切圓面積為面積單位)。

評注:本例充分利用方程知識和三角形的面積橋,使所求問題無從下手,到;柳暗花明;,使所求問題迎刃而解。

四、利用三角形的面積橋解決其他問題

例5 在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,點P為BC邊上的任一點不與B、C重合),PE⊥AB,PF⊥AC,E、F為垂足,求3PE+4PF的值。

解:如圖5過點B作BD⊥AC,垂足為D

圖5

 ①

中,由勾股定理,得

摘要:即 ② 解①,②,得 連結AP,則 即 評注:本例是2004年全國高考試題改編,在解題過程中,利用了

 ②

解①,②,得

連結AP,則

評注:本例是2004年全國高考試題改編,在解題過程中,利用了方程思想,實現(xiàn)了幾何代數(shù)化,由方程知識和三角形的面積橋,使解題思路清晰,解題方法躍然紙上,簡潔明快,所以三角形的面積橋為提高解題質量和技巧提供了便捷通道。

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