是由于公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現(xiàn)代數(shù)學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經(jīng)觸及甚至掌握了黃金分割。

公元前4世紀，古希臘數(shù)學家歐多克索斯第一個系統(tǒng)研究了這一問題，并建立起比例理論。他認為所 謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，。..后二數(shù)之比2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...近似值的。

黃金分割在文藝復興前后，經(jīng)過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為"金法"，17世紀歐洲的一位數(shù)學家，甚至稱它為"各種算法中最可寶貴的算法"。這種算法在印度稱之為"三率法"或"三數(shù)法則"，也就是我們現(xiàn)在常說的比例方法。

公元前300年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。

中世紀后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)學家帕喬利稱中外比為神圣比例，并專門為此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神圣分割。

到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數(shù)有許多有趣的性質(zhì)，人類對它的實際應用也很廣泛:最著名的例子是優(yōu)選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數(shù)學家基弗于1953年首先提出的，70年代由華羅庚提倡在中國推廣。

已知線段AB，按照如下方法作圖：

（1）經(jīng)過點B作BD⊥AB，使BD= AB/2。

（2）連接AD，在DA上截取DE=DB。

（3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點。

黃金分割點是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。　利用線段上的兩個黃金分割點，可以作出正五角星，正五邊形等。

做黃金分割的一種方法

設一條線段AB的長度為a，C點在靠近B點的黃金分割點上且AC為b　AC/AB=BC/AC　b^2=a×(a-b)　b^2=a^2-ab　a^2-ab+(1/4)b^2=(5/4)×b^2　(a-b/2)^2=(5/4)b^2　a-b/2=（√5/2）×b　a-b/2=(√5)b/2　a=b/2+(√5)b/2　a/b=(√5+1)/2　∴b/a=2/(√5+1)　b/a=2(√5-1)/(√5+1)(√5-1)　b/a=2(√5-1)/4　b/a=(√5-1)/2

通常用希臘字母φ表示這個值。

黃金分割奇妙之處，在于其比例與其倒數(shù)是一樣的。例如：1.618的倒數(shù)是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。

確切值為(根號5-1)/2

黃金分割數(shù)是無理數(shù)，前面的2000位為：

0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 : 50

2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 : 100

8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 : 150

7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 : 200

0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 : 250

1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 : 300

8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 : 350

2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 : 400

3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 : 450

1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 : 500

1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 : 550

7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 : 600

8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 : 650

8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 : 700

7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 : 750

1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 : 800

3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 : 850

9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 : 900

7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 : 950

9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 : 1000

1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 : 1050

5022953094 2312482355 2122124154 4400647034 0565734797 : 1100

6639723949 4994658457 8873039623 0903750339 9385621024 : 1150

2369025138 6804145779 9569812244 5747178034 1731264532 : 1200

2041639723 2134044449 4873023154 1767689375 2103068737 : 1250

8803441700 9395440962 7955898678 7232095124 2689355730 : 1300

9704509595 6844017555 1988192180 2064052905 5189349475 : 1350

9260073485 2282101088 1946445442 2231889131 9294689622 : 1400

0023014437 7026992300 7803085261 1807545192 8877050210 : 1450

9684249362 7135925187 6077788466 5836150238 9134933331 : 1500

2231053392 3213624319 2637289106 7050339928 2265263556 : 1550

2090297986 4247275977 2565508615 4875435748 2647181414 : 1600

5127000602 3890162077 7322449943 5308899909 5016803281 : 1650

1219432048 1964387675 8633147985 7191139781 5397807476 : 1700

1507722117 5082694586 3932045652 0989698555 6781410696 : 1750

8372884058 7461033781 0544439094 3683583581 3811311689 : 1800

9385557697 5484149144 5341509129 5407005019 4775486163 : 1850

0754226417 2939468036 7319805861 8339183285 9913039607 : 1900

2014455950 4497792120 7612478564 5916160837 0594987860 : 1950

0697018940 9886400764 4361709334 1727091914 3365013715 : 2000

因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，采用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建筑物中某些線段的比就科學采用了黃金分割，舞臺上的報幕員并不是站在舞臺的正中央，而是偏在臺上一側(cè)，以站在舞臺長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規(guī)律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優(yōu)選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數(shù)找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建筑、文藝、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學實驗中有著廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。

黃金分割(Golden Section)是一種數(shù)學上的比例關系。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。應用時一般取0.618 ，就像圓周率在應用時取3.14一樣。

。并且人們認為如果符合這一比例的話，就會顯得更美、更好看、更協(xié)調(diào)。在生活中，對“黃金分割”有著很多的應用。

最完美的人體：肚臍到腳底的距離/頭頂?shù)侥_底的距離=0.618

最漂亮的臉龐：眉毛到脖子的距離/頭頂?shù)讲弊拥木嚯x=0.618

在企業(yè)經(jīng)營管理中，從經(jīng)驗來看，資產(chǎn)負債率（即負債總額除資產(chǎn)總額）應以黃金分割點為臨界點，如果高于這個點就可能面臨較大經(jīng)營風險（當然象銀行這類企業(yè)可以例外），目前正在進行科學論證中。

舉例與應用

這個數(shù)值的作用不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。

讓我們首先從一個數(shù)列開始，它的前面幾個數(shù)是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…。.這個數(shù)列的名字叫做"菲波那契數(shù)列"，這些數(shù)被稱為"菲波那契數(shù)"。特點是即除前兩個數(shù)（數(shù)值為1）之外，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和。

菲波那契數(shù)列與黃金分割有什么關系呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個菲波那契數(shù)的比值是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→1.618…。由于菲波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數(shù)。但是當我們繼續(xù)計算出后面更大的菲波那契數(shù)時，就會發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實是非常接近黃金分割比的。

一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什么？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。

由于五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為2Sin18度。

植物葉子 ，千姿百態(tài)，生機盎然，給大自然帶來了美麗的綠色世界。盡管葉子形狀隨種而異，但它在莖上的排列順序(稱為葉序)，卻是極有規(guī)律的。

你從植物莖的頂端向下看，經(jīng)細心觀察，發(fā)現(xiàn)上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5°角。如果每層葉子只畫一片來代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5°，以后二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這個角度數(shù)。植物學家經(jīng)過計算表明：這個角度對葉子的采光、通風都是最佳的。葉子的排布，多么精巧！

今人驚訝的是，人體自身也和0.618密切相關。對人體解剖很有研究的意大利畫家達·芬奇發(fā)現(xiàn)，人的肚臍位于身長的0.618處?？茖W家們還發(fā)現(xiàn)，當外界環(huán)境溫度為人體溫度的0.618倍時，人會感到最舒服。

古希臘帕提依神廟由于高和寬的比是0.618，成了舉世聞名的完美建筑。建筑師們發(fā)現(xiàn)，按這樣的比例來設計殿堂，殿堂更加雄偉、壯麗；去設計別墅，別墅將更加舒適、美麗。連一扇門窗若設計為黃金矩形都會顯得更加協(xié)調(diào)和令人賞心悅目。 高雅的藝術殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡。畫家們發(fā)現(xiàn)，按0.618∶1來設計腿長與身高的比例，畫出的人體身材最優(yōu)美，而現(xiàn)今的女性，腰身以下的長度平均只占身高的0.58，因此古希臘維納斯女塑像及太陽神阿波羅的形象都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創(chuàng)造藝術美。難怪許多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演員則在翩翩起舞時，不時地踮起腳尖。

音樂家發(fā)現(xiàn)，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1時，奏出來的音調(diào)最和諧、最悅耳。

只要留心，到處都可發(fā)現(xiàn)黃金數(shù)這位美的“使者”的足跡。運用于科學實驗和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的優(yōu)選法中的0.618法，還能給我們帶來巨大的經(jīng)濟效益呢！黃金數(shù)0.618，真是一件造福人類的絢麗瑰寶!

希臘古城雅典有一座用大理石砌成的神廟，神廟大殿中央的女神像是用象牙和黃金雕成的。女神的體態(tài)輕柔優(yōu)美，引人入勝。經(jīng)專家研究發(fā)現(xiàn)，她的身體從腳跟到肚臍間的距離與整個身高的比值，恰好是0.618。不僅雅典娜女神身材如此美好，其他許多希臘女神的身體比例也是如此。人們所熟悉的米洛斯“維納斯”，太陽神阿波羅的形象，海姑娘――阿曼等一些名垂千古的雕像，都可以找到0.618的比值。

1483年左右，達芬奇畫的一副未完成的油畫，包圍著圣杰羅姆軀體的黑線，就是一個黃金分割的矩形，當時達芬奇似乎有意利用這一黃金分割的比值?！皺z閱”是法國印象派畫家舍勒特的一副油畫，它的畫杠結(jié)構(gòu)比例也正是0.618的比值。英國在畫家斐拉克曼的名著《希臘的神話和傳說》一書中，工繪有96幅美人圖。每一幅畫上的美人都嫵媚無比婀娜多姿。如果仔細量一下她們的比例也都和雅典娜相似。

建筑：早在公元前五世紀，希臘建筑家就知道0.618的比值是協(xié)調(diào)，平衡的結(jié)構(gòu)。文明古國埃及的金字塔，形似方錐，大小各異。但這些金字塔底面的邊長與高之比都接近于0.618。古時候的一些神廟，在建筑時高和寬也是按黃金數(shù)的比來建立，他們認為這樣的長方形看來是較美觀。黃金律是建筑藝術必須遵循的規(guī)律。在建筑造型上，人們在高塔的黃金分割點處建樓閣或設計平臺，便能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩。

據(jù)研究，從猿到人的進化過程中，骨骼方面以頭骨和腿骨變化最大，軀體外形由于近似黃金而矩形變化最小，人體結(jié)構(gòu)中有許多比例關系接近0.618，從而使人體美在幾十萬年的歷史積淀中固定下來。人類最熟悉自己，勢必將人體美作為最高的審美標準，由物及人，由人及物，推而廣之，凡是與人體相似的物體就喜歡它，就覺得美。于是黃金分割律作為一種重要形式美法則，成為世代相傳的審美經(jīng)典規(guī)律，至今不衰！近年來，在研究黃金分割與人體關系時，發(fā)現(xiàn)了人體結(jié)構(gòu)中有14個“黃金點”，12個“黃金矩形”和2個“黃金指數(shù)” 黃金點：(1)肚臍：頭頂－足底之分割點；(2)咽喉：頭頂－肚臍之分割點；(3)、(4)膝關節(jié)：肚臍－足底之分割點；(5)、(6)肘關節(jié)：肩關節(jié)－中指尖之分割點；(7)、(8)乳頭：軀干乳頭縱軸上這分割點；(9)眉間點：發(fā)際－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(10)鼻下點：發(fā)際－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(11)唇珠點：鼻底－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點；(12)頦唇溝正路點：鼻底－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點；(13)左口角點：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點；(14) 右口角點：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點。 面部黃金分割律 面部三庭五眼 黃金矩形：(1)軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均數(shù)為寬，肩峰至臀底的高度為長；(2)面部輪廓：眼水平線的面寬為寬，發(fā)際至頦底間距為長；(3)鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長；(4)唇部輪廓：靜止狀態(tài)時上下唇峰間距為寬，口角間距為長；(5)、(6)手部輪廓：手的橫徑為寬，五指并攏時取平均數(shù)為長；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側(cè)切牙、尖牙（左右各三個）輪廓：最大的近遠中徑為寬，齒齦徑為長。

（二）比例關系 是用數(shù)字來表示人體美，并根據(jù)一定的基準進行比較。用同一人體的某一部位作為基準，來判定它與人體的比例關系的方法被稱為同身方法（見中圖）。分為三組：系數(shù)法，常指頭高身長指數(shù)，如畫人體有坐五、立七，即身高在坐位時為頭高的五倍、立位時為7或7.5倍；百分數(shù)法，將身長視為100%，身體各部位在其中的比例；兩分法：即把人體分成大小兩部分，大的部分從腳到臍，小的部分為臍到頭頂。標準的面型，其長寬比例協(xié)調(diào)，符合三停五眼（見右圖）。三停是指臉型的長度，從頭部發(fā)際到下頦的距離分為三等分，即從發(fā)際到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下頦各分為一等分，各稱一停共三停；五眼是指臉型的寬度，雙耳間正面投影的長度為五只眼裂的長度，除眼裂外、內(nèi)此間距為一眼裂長度、兩側(cè)外眥角到耳部各有一眼裂長度，其是五眼長度稱五眼。

（三）角度關系 從不同的角度觀察，所反映的人體形態(tài)也各不相同。Belt和Campen等人提出的側(cè)角學說，就是通過角度來體現(xiàn)人體形體美的。其中Campen的學說是以鼻下點與耳孔點的直線連線為基準，來測量側(cè)面觀察時額頭的傾斜角度的方法，這樣可以把復雜的立體感的頭部，用簡單的輪廓線進行描述－被稱為側(cè)面定性分析方法。用連接鼻尖點和頦下點的直線來觀察唇的突出度，評價面下部的美丑。鼻尖、下唇紅前緣、頦下點在同一條直線上，稱為Ricketts美學平面，是一種美的標志。