|
一、選擇題（共10小題，每小題2分，滿分20分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的）
1．（2分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，2），則此函數(shù)圖象所在的象限是（ ）
A． 一、三 B． 二、四 C． 一、三 D． 三、四
考點： 反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)的性質(zhì)．.
分析： 根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)先求出k的取值范圍，再確定圖象所在的象限．
解答： 解：由反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點（1，2），
可得k=2＞0，則它的圖象在一、三象限．
故選A．
點評： 此題主要考查反比例函數(shù)y= 的圖象性質(zhì)：（1）k＞0時，圖象是位于一、三象限．（2）k＜0時，圖象是位于二、四象限．
2．（2分）在函數(shù)y= 中，自變量x的取值范圍是（ ?。?BR style="PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; PADDING-LEFT: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-TOP: 0px"> A． x＞0 B． x≠0 C． x＞1 D． x≠1
考點： 函數(shù)自變量的取值范圍．.
分析： 根據(jù)分母不等于0列式計算即可得解．
解答： 解：根據(jù)題意得，x≠0．
故選B．
點評： 本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：
（1）當(dāng)函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
（2）當(dāng)函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．
3．（2分）（2011?張家界）順次連接任意四邊形四邊中點所得的四邊形一定是（ ?。?BR style="PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; PADDING-LEFT: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-TOP: 0px"> A． 平行四邊形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
考點： 平行四邊形的判定；三角形中位線定理．.
分析： 順次連接任意四邊形四邊中點所得的四邊形，一組對邊平行并且等于原來四邊形某一對角線的一半，說明新四邊形的對邊平行且相等．所以是平行四邊形．
解答： 解：根據(jù)三角形中位線定理，可知邊連接后的四邊形的兩組對邊相等，再根據(jù)平行四邊形的判定可知，四邊形為平行四邊形．故選A．
點評： 本題用到的知識點為：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
4．（2分）技術(shù)員小張為考察某種小麥長勢整齊的情況，從中抽取了20株麥苗，并分別測量了苗高，則小張最需要知道這些麥苗高的（ ?。?BR style="PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; PADDING-LEFT: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-TOP: 0px"> A． 平均數(shù) B． 方差 C． 中位數(shù) D． 眾數(shù)
考點： 統(tǒng)計量的選擇；方差．.
分析： 根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)及眾數(shù)的定義求解．
解答： 解：∵為考察某種小麥長勢整齊的情況，
∴應(yīng)該需要知道這些麥苗的方差，
故選B．
點評： 本題考查了統(tǒng)計量的選擇及平均數(shù)、方差、中位數(shù)及眾數(shù)的定義，方差能反映一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定情況，方差越大，越不穩(wěn)定．
5．（2分）（2007?長沙）下列說法正確的是（ ?。?BR style="PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; PADDING-LEFT: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-TOP: 0px"> A． 有兩個角為直角的四邊形是矩形 B． 矩形的對角線互相垂直
C． 等腰梯形的對角線相等 D． 對角線互相垂直的四邊形是菱形
考點： 等腰梯形的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定與性質(zhì)．.
分析： 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)逐一判斷即可得到答案．
解答： 解：A、直角梯形有兩個角為直角，就不是矩形；
B、矩形的對角線互相平分而不一定垂直；
C、正確；
D、對角線互相垂直的平行的四邊形是菱形．
故選C．
點評： 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)解答．
6．（2分）下列從左到右的變形過程中，等式成立的是（ ?。?BR style="PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; PADDING-LEFT: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-TOP: 0px"> A． = B． = C． = D． =
考點： 分式的基本性質(zhì)．.
分析： 根據(jù)分式的基本性質(zhì)分別對每一項進行分析即可．
解答： 解：A、 = ，故本選項正確；
B、 = ，故本選項錯誤；
C、 = ，（c≠0），故本選項錯誤；
D、 = ，（x≠0），故本選項錯誤；
故選A．
點評： 此題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同時乘以或除以同一個部位0的數(shù)或式子，分式的值不變．
7．（2分）某班學(xué)生理化生實驗操作測試成績的統(tǒng)計結(jié)果如下表：
成績/分 3 4 5 6 7 8 9 10
人數(shù) 1 1 2 2 11 13 15 12
則這些學(xué)生成績的眾數(shù)值等于（ ?。?BR style="PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; PADDING-LEFT: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-TOP: 0px"> A． 15 B． 10 C． 13 D． 9
考點： 眾數(shù)．.
分析： 根據(jù)眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，求解即可．
解答： 解：這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的為：9，
故眾數(shù)為9．
故選D．
點評： 本題考查了眾數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是掌握一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
8．（2分）一項市政工程，需運送土石方106米3，某運輸公司承辦了這項運送土石方的工程，則運送公司平均每天的工作量y（米3/天）與完成運送任務(wù)所需時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（ ?。?BR style="PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; PADDING-LEFT: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-TOP: 0px"> A． B． C． D．
考點： 反比例函數(shù)的應(yīng)用；反比例函數(shù)的圖象．.
分析： 首先根據(jù)題意列出兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定函數(shù)的圖象．
解答： 解：∵xy=106米3，
∴y= （x＞0，y＞0）
∴函數(shù)是反比例函數(shù)且其圖象位于第一象限，
故選A．
點評： 本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用及反比例函數(shù)的圖象，正確的列出反比例函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，AE=6cm，且∠B=60°．則下列說法中錯誤的是（ ?。?BR style="PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; PADDING-LEFT: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-TOP: 0px">
A． △ABE是等邊三角形 B． 四邊形AECD是菱形
C． E不一定為BC的中點 D． CD的長必為6cm
考點： 等腰梯形的性質(zhì)．.
分析： 根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可以得到△ABE是等邊三角形，而四邊形AECD是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的定義，即可作出判斷．
解答： 解：∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，
又∵AE∥CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形．
∴AE=CD，
∵AB=CD，
∴AB=AE=CD=6，故D正確．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等邊三角形．故A正確；
E不一定為BC的中點正確，
則AE=EC不一定成立，故C正確，B錯誤．
故選B．
點評： 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)以及平行四邊形、等邊三角形的判定定理，理解△ABE是等邊三角形是關(guān)鍵．
10．（2分）矩形紙片ABCD的邊長AB=8，AD=4，將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在某一面著色（如圖），則著色部分的面積為（ ?。?BR style="PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; PADDING-LEFT: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-TOP: 0px">
A． 16 B． C． 22 D． 8
考點： 翻折變換（折疊問題）．.
分析： 根據(jù)折疊的性質(zhì)可知著色部分的面積等于S矩形ABCD﹣S△CEF，應(yīng)先利用勾股定理求得FC的長，進而求得△CEF的面積，代入求值即可．
解答： 解：由折疊的性質(zhì)可得：CG=AD=4，GF=DF=CD﹣CF，∠G=90°，
則△CFG為直角三角形，
在Rt△CFG中，F(xiàn)C2﹣CG2=FG2，
即FC2﹣42=（8﹣FC）2，
解得：FC=5，
∴S△CEF= FC?AD= ×5×4=10，
則著色部分的面積為：S矩形ABCD﹣S△CEF=AB?AD﹣10=8×4﹣10=22．
故選C．
點評： 本題通過折疊變換考查學(xué)生的邏輯思維能力，解決此類問題，應(yīng)結(jié)合題意，由折疊得到相等的邊，相等的角，并利用勾股定理求解，要求同學(xué)們熟練掌握矩形和三角形的面積公式以及圖形面積的轉(zhuǎn)換．
二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）
11．（3分）計算30= 1?。?/P>
考點： 零指數(shù)冪．.
分析： 根據(jù)零指數(shù)冪：a0=1（a≠0）進行運算即可．
解答： 解：30=1．
故答案為：1．
點評： 本題考查了零指數(shù)冪的運算，掌握零指數(shù)冪的運算法則是關(guān)鍵．
12．（3分）當(dāng)x= 0 時，分式 的值是零．
考點： 分式的值為零的條件．.
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)分式的值為零的條件得到x=0且x+2≠0，易得x=0．
解答： 解：∵分式 的值是零，
∴x=0且x+2≠0，
∴x=0．
故答案為0．
點評： 本題考查了分式的值為零的條件：當(dāng)分式的分子為零并且分母不為零時，分式的值為零．
13．（3分）如圖是某電器商場五月份對甲、乙、丙三種品牌空調(diào)銷售量所做的統(tǒng)計圖，則所銷售的甲種品牌空調(diào)數(shù)占總銷售量的百分?jǐn)?shù)為 45% ．
考點： 條形統(tǒng)計圖．.
分析： 用甲種品牌空調(diào)除以三種品牌的電腦的臺數(shù)的和即可求得其占總銷售量的百分?jǐn)?shù)；
解答： 解：觀察條形統(tǒng)計圖知甲品牌電腦銷售45臺，乙品牌銷售25臺，丙品牌電腦銷售30臺，
故甲種品牌空調(diào)數(shù)占總銷售量的百分?jǐn)?shù)為 ×100%=45%，
故答案為：45%
點評： 本題考查了條形統(tǒng)計圖，能根據(jù)條形統(tǒng)計圖得到各種品牌電腦的銷售量是解決本題的關(guān)鍵．
14．（3分）（2008?巴中）如圖，將一平行四邊形紙片ABCD沿AE，EF折疊，使點E，B′，C′在同一直線上，則∠AEF= 90 度．
考點： 翻折變換（折疊問題）；平行四邊形的性質(zhì)．.
分析： 利用翻折和平角定義易得組成∠AEF的兩個角的和等于平角的一半，也就求得了所求角的度數(shù)．
解答： 解：根據(jù)沿直線折疊的特點，△ABE≌△AB′E，△CEF≌△C′EF，
∴∠AEB=∠AEB′，∠CEF=∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF=180°，
∴∠AEB′+∠C′EF=90°，
∵點E，B′，C′在同一直線上，
∴∠AEF=90度．
故答案為90．
點評： 已知折疊問題就是已知圖形的全等，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．
15．（3分）如圖，是由四個直角邊分別為3和4全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”，那么陰影部分面積為 1?。?BR style="PADDING-BOTTOM: 0px; MARGIN: 0px; PADDING-LEFT: 0px; PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-TOP: 0px">
考點： 勾股定理的證明．.
分析： 求出陰影部分的正方形的邊長，即可得到面積．
解答： 解：∵四個全等的直角三角形的直角邊分別是3和4，
∴陰影部分的正方形的邊長為4﹣3=1，
∴陰影部分面積為1×1=1．
故答案為1．
點評： 本題考查了“趙爽弦圖”，正方形的面積，熟悉“趙爽弦圖”中小正方形的邊長等于四個全等的直角三角形中兩直角邊的差是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOB=60°，若AB=5cm，則BD= 10cm ．
考點： 矩形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．.
分析： 根據(jù)矩形性質(zhì)得出AO=BO，BD=2BO，得出等邊三角形AOB，推出AB=BO=5cm，即可得出答案．
解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴BO=OA=AB=5cm，
∴BD=2BO=10cm，
故答案為：10cm．
點評： 本題考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：矩形的對角線相等且互相平分．
17．（3分）小強欲用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別為1000牛頓和0.5米，則當(dāng)動力臂為1米時，撬動石頭至少需要的力為 500 牛頓．
考點： 反比例函數(shù)的應(yīng)用．.
分析： 根據(jù)杠桿平衡條件F1L1=F2L2、代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可．
解答： 解：由杠桿平衡條件可知：
F1L1=F2L2，
即：F1×1m=100N×0.5m，
F1=500N
答案為：500．
點評： 本題考查學(xué)生對杠桿平衡條件的理解和靈活運用，屬于基礎(chǔ)題目．
18．（3分）我市某中學(xué)開展了以“熱愛家鄉(xiāng)，與環(huán)境友好；牽手幸福，與健康同行”為主題的遠(yuǎn)足訓(xùn)練活動，師生到距學(xué)校18千米的森林公園并沿途撿拾垃圾，李老師因有事晚出發(fā)2個小時，為追趕師生隊伍李老師騎自行車走近路比師生隊伍少走了6千米，結(jié)果早到達48分鐘，已知李老師騎自行車的平均速度是師生步行平均速度的3倍，設(shè)師生步行的平均速度為x千米/時，則根據(jù)題意可列出方程為： = +2+ ?。ㄖ苯佑梅匠讨械臄?shù)據(jù)，不必化簡）
考點： 由實際問題抽象出分式方程．.
分析： 設(shè)師生步行的平均速度為x千米/時，則李老師騎自行車的平均速度是3x千米/時，根據(jù)“李老師因有事晚出發(fā)2個小時，為追趕師生隊伍李老師騎自行車走近路比師生隊伍少走了6千米，結(jié)果早到達48分鐘”得出等量關(guān)系：師生步行18千米的時間=李老師騎自行車12千米的時間+2小時+48分鐘，據(jù)此列出方程即可．
解答： 解：設(shè)師生步行的平均速度為x千米/時，則李老師騎自行車的平均速度是3x千米/時．
由題意， = +2+ ．
故答案為 = +2+ ．
點評： 本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題用到的等量關(guān)系為：時間=路程÷速度．
三、解答題（共8小題，滿分76分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（8分）計算： ﹣ ．
考點： 分式的加減法．.
專題： 計算題．
分析： 原式利用同分母分式的減法法則計算，約分即可得到結(jié)果．
解答： 解：原式= = = ．
點評： 此題考查了分式的加減法，分式的加減運算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡公分母．
20．（8分）解分式方程： ．
考點： 解分式方程．.
分析： 觀察可得最簡公分母是x（x+2），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
解答： 解：方程的兩邊同乘x（x+2），得：3（x+2）=5x，
解得：x=3．
檢驗：把x=3代入x（x+2）=15≠0．
故原方程的解為：x=3．
點評： 此題考查了分式方程的求解方法．此題難度不大，注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意分式方程需檢驗．
21．（8分）如圖，已知E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊AD、BC上的點，且AE= AD，CF= BC．求證：四邊形AECF是平行四邊形．
考點： 平行四邊形的判定與性質(zhì)．.
專題： 證明題．
分析： 由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，AD=BC，進而得到AE=CF，又因為AE∥FC，所以四邊形AECF是平行四邊形．
解答： 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC即AE∥FC，AD=BC，
又AE= AD，CF= BC，
∴AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
點評： 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．
22．（8分）某公司員工工資情況統(tǒng)計表如下：
月工資/元 5000 4000 2000 1500 1000 700
員工人數(shù) 2 4 8 20 8 7
請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）已知該公司員工工資的平均數(shù)1800元，其中位數(shù)為 1500 元，眾數(shù)為 1500 元；
（2）該公司在宣傳材料中稱，該公司員工工資平均待遇是較高的，你認(rèn)為宣傳材料中所說公司員工工資平均待遇是平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中的哪一個數(shù)？
（3）補全反應(yīng)公公司員工工資情況的條形統(tǒng)計圖．
考點： 條形統(tǒng)計圖；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．.
分析： （1）利用中位數(shù)及眾數(shù)的定義求解即可；
（2）比較平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)后即可得到答案；
（3）根據(jù)每個檔次的員工的人數(shù)補全條形統(tǒng)計圖即可．
解答： 解：（1）該公司共有49人，中位數(shù)應(yīng)該是排序后第25人的工資數(shù)，
∵第25人的工資數(shù)是1500，
∴中位數(shù)為1500元；
∵1500元出現(xiàn)了20次，最多，
∴眾數(shù)為1500元；
（2）∵平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三個統(tǒng)計量中平均數(shù)最高，
∴宣傳材料中所說公司員工工資平均待遇是平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中的平均數(shù)；
（3）補全統(tǒng)計圖為：
點評： 本題考查了統(tǒng)計圖及有關(guān)統(tǒng)計量的知識，解題的關(guān)鍵是結(jié)合學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活中實際問題進行定量（計算統(tǒng)計量）和定性（估計、判斷和預(yù)測）分析，用以考查同學(xué)們對統(tǒng)計基本思想的理解和用數(shù)學(xué)的意識．
23．（10分）已知反比列函數(shù)y= 的圖象在每一條曲線上，y都隨x的增大而增大，
（1）求k的取值范圍；
（2）在曲線上取一點A，分別向x軸、y軸作垂線段，垂足分別為B、C，坐標(biāo)原點為O，若四邊形ABOC面積為12，求此函數(shù)的解析式．
考點： 反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．.
分析： （1）直接根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可，k＜0；
（2）直接根據(jù)k的幾何意義可知：過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，所以|k|=12，而k＜0，則k=﹣12．
解答： 解：（1）∵反比列函數(shù)y= 的圖象在每一條曲線上，y都隨x的增大而增大，
∴k＜0；
（2）設(shè)A（x，y），由已知得，|xy|=|k|=12，
∵k＜0，
∴k=﹣12，
所以，反比例函數(shù)的解析式為y=﹣ ．
點評： 主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．
24．（10分）（2010?路南區(qū)三模）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上．
請按要求完成下列各題：
（1）畫AD∥BC（D為格點），連接CD；
（2）試判斷△ABC的形狀？請說明理由；
（3）若E為BC中點，F(xiàn)為AD中點．四邊形AECF是什么特殊的四邊形？請說明理由．
考點： 勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四邊形的判定；作圖—基本作圖．.
分析： （1）把BC看成左下角的直角三角形斜邊，作一個直角三角形與這個三角形全等，使A與B對應(yīng)，D與C對應(yīng)，則AD∥BC；
（2）分別計算三邊長度，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷；
（3）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半證明四邊相等判斷是菱形．
解答： 解：（1）如圖，AD為所求作的平行線；
（2）△ABC是直角三角形．
∵AB2=12+22=5；AC2=22+42=20；BC2=32+42=25，
∴BC2=AB2+AC2，
∴△ABC為直角三角形；
（3）四邊形AECF為菱形．
由作法知BC平行且對于AD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴△ACD為直角三角形．
∵F是AD的中點，
∴CF=AF=2.5．
又∵E是BC中點，
∴AE=EC=2.5．
∴AE=EC=CF=AF．
∴四邊形AECF是菱形．
點評： 此題考查直角三角形的判定和性質(zhì)、特殊四邊形的判定及作圖能力，綜合性較強．
25．（12分）上海世博會開館前，某禮品經(jīng)銷商預(yù)測甲、乙兩種禮品能夠暢銷，用16500元購進了甲種禮品，用44000元購進了乙種禮品，由于乙種禮品的單價是甲種禮品單價的4倍，實際購得甲種禮品的數(shù)量比乙種禮品的數(shù)量多100個．
（1）求購進甲、乙兩種禮品的單價各多少元？
（2）如果要求每件商品在銷售時的利潤為20%，那么甲、乙兩種禮品每件的售價各是多少元？
（3）在（2）的條件下，如果甲種禮品的進價降低了，但售價保持不變，從而使銷售甲種禮品的利潤率提高了5%，那么此時每個甲種禮品的進價是多少元？（直接寫出結(jié)果）（利潤=售價﹣進價，利潤率= ×100%．）
考點： 分式方程的應(yīng)用．.
分析： （1）根據(jù)購買兩種禮品的總錢數(shù)以及單價之間的關(guān)系，結(jié)合購買數(shù)量得出等式求出即可；
（2）利用（1）中所求的進價，利用利潤=售價﹣進價，求出即可；
（3）根據(jù)已知得出甲種禮品的利潤為25%，進而假設(shè)出進價得出等式求出即可．
解答： 解：（1）設(shè)購進甲種禮品的單價為x元，則購進乙種禮品的單價為4x元，
由題意得： ﹣ =100，
解這個方程，得：x=55，
經(jīng)檢驗，x=55是所列方程的根．4x=220．
所以購進甲、乙兩種禮品的單價分別為55元和220元．
（2）∵55×20%=11，220×20%=44，
∴55+11=66（元），220+44=264（元），
所以甲、乙兩種禮品的售價分別為66元和264元．
（3）設(shè)每個甲種禮品的進價是x元，根據(jù)題意得出：
x（1+25%）=66，
解得：x=52.8，
答：此時每個甲種禮品的進價是52.8元．
點評： 此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及利潤率的求法，根據(jù)已知得出進價與售價關(guān)系是解題關(guān)鍵．
26．（12分）如圖，在某小區(qū)的休閑廣場有一個正方形花園ABCD，為了便于觀賞，要在AD、BC之間修一條小路，在AB、DC之間修另一條小路，使這兩條小路等長．設(shè)計師給出了以下幾種設(shè)計方案：
①如圖1，E是AD上一點，過A作BE的垂線，交BE于點O，交CD于點H，則線段AH、BE為等長的小路；
②如圖2，E是AD上一點，過BE上一點O作BE的垂線，交AB于點G，交CD于點H，則線段GH、BE為等長的小路；
③如圖3，過正方形ABCD內(nèi)任意一點O作兩條互相垂直的直線，分別交AD、BC于點E、F，交AB、CD于點G、H，則線段GH、EF為等長的小路；
根據(jù)以上設(shè)計方案，解答下列問題：
（1）你認(rèn)為以上三種設(shè)計方案都符合要求嗎？
（2）要根據(jù)圖1完成證明，需要證明△ ABE ≌△ DAH ，進而得到線段 BE = AH ；
（3）如圖4，在正方形ABCD外面已經(jīng)有一條夾在直線AD、BC之間長為EF的小路，想在直線AB、DC之間修一條和EF等長的小路，并且使這條小路的延長線過EF上的點O，請畫草圖（加以論述），并給出詳細(xì)的證明．
考點： 四邊形綜合題．.
分析： （1）通過證明三角形全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可以判斷以上三種設(shè)計方案都符合要求；
（2）在圖1中，先由正方形的性質(zhì)得出∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，根據(jù)同角的余角相等得出∠ABE=∠DAH，再利用ASA證明△ABE≌△DAH，進而由全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出BE=AH；
（3）先過點O作EF的垂線，分別交AB、DC的延長線于點G、H，則線段GH、EF為等長的小路．再進行證明：過點H作HN⊥AB交AB的延長線于點P，過點E作EP⊥BC交BC的延長線于點P，利用AAS證明△GHN≌△FEP，即可得出GH=EF．
解答： 解：（1）以上三種設(shè)計方案都符合要求；
（2）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，
又∵BE⊥AH，
∴∠ABE=∠DAH=90°﹣∠BAH．
在△ABE與△DAH中，
，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴BE=AH；
（3）如圖，過點O作EF的垂線，分別交AB、DC的延長線于點G、H，則線段GH為所求小路．理由如下：
過點H作HN⊥AG于N，過點E作EP⊥BC交BC的延長線于點P，則∠GNH=∠FPE=90°．
∵AB∥CD，HN⊥AB，CB⊥AB，
∴NH=BC，
同理，EP=DC．
∵BC=DC，∴NH=EP．
∵GO⊥EF，∴∠MFO+∠FMO=90°，
∵∠BGM+∠GMB=90°，∠FMO=∠GMB，
∴∠BGM=∠MFO．
在△GHN與△FEP中，
，
∴△GHN≌△FEP（AAS），
∴GH=EF．
故答案為：ABE，DAH，BE，AH．
點評： 本題考查了數(shù)學(xué)知識在實際生活中的應(yīng)用，其中涉及到正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度不大．體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識來源于生活，并且為生活服務(wù)，能夠激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情．
|
