方差分析是用于兩個及兩個以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗。由于各種因素的影響，研究所得的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)波動狀，造成波動的原因可分成兩類，一是不可控的隨機(jī)因素，另一是研究中施加的對結(jié)果形成影響的可控因素。^[1]

方差分析是從觀測變量的方差入手，研究諸多控制變量中哪些變量是對觀測變量有顯著影響的變量。

方差分析的基本原理是認(rèn)為不同處理組的均數(shù)間的差別基本來源有兩個：

(1) 隨機(jī)誤差，如測量誤差造成的差異或個體間的差異，稱為組內(nèi)差異，用變量在各組的均值與該組內(nèi)變量值之偏差平方和的總和表示， 記作SSw，組內(nèi)自由度dfw。

(2) 實驗條件，實驗條件，即不同的處理造成的差異，稱為組間差異。用變量在各組的均值與總均值之偏差平方和表示，記作SSb，組間自由度dfb。

總偏差平方和 SSt = SSb + SSw。

組內(nèi)SSw、組間SSb除以各自的自由度(組內(nèi)dfw =n-m，組間dfb=m-1，其中n為樣本總數(shù)，m為組數(shù))，得到其均方MSw和MSb，一種情況是處理沒有作用，即各組樣本均來自同一總體，MSb/MSw≈1。另一種情況是處理確實有作用，組間均方是由于誤差與不同處理共同導(dǎo)致的結(jié)果，即各樣本來自不同總體。那么，MSb>>MSw(遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于)。

MSb/MSw比值構(gòu)成F分布。用F值與其臨界值比較，推斷各樣本是否來自相同的總體。^[1]

方差分析的基本思想是：通過分析研究不同來源的變異對總變異的貢獻(xiàn)大小，從而確定可控因素對研究結(jié)果影響力的大小。^[1]

通過分析研究中不同來源的變異對總變異的貢獻(xiàn)大小，從而確定可控因素對研究結(jié)果影響力的大小。

下面我們用一個簡單的例子來說明方差分析的基本思想：

如某克山病區(qū)測得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：

患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87

問該地克山病患者與健康人的血磷值是否不同？

從以上資料可以看出，24個患者與健康人的血磷值各不相同，如果用離均差平方和（SS）描述其圍繞總均值的變異情況，則總變異有以下兩個來源：

組內(nèi)變異，即由于隨機(jī)誤差的原因使得各組內(nèi)部的血磷值各不相等；

組間變異，即由于克山病的影響使得患者與健康人組的血磷值均值大小不等。

而且：SS總=SS組間+SS組內(nèi) v總=v組間+v組內(nèi)

如果用均方（離差平方和除以自由度）代替離差平方和以消除各組樣本數(shù)不同的影響，則方差分析就是用組間均方去除組內(nèi)均方的商（即F值）與1相比較，若F值接近1，則說明各組均值間的差異沒有統(tǒng)計學(xué)意義，若F值遠(yuǎn)大于1，則說明各組均值間的差異有統(tǒng)計學(xué)意義。實際應(yīng)用中檢驗假設(shè)成立條件下F值大于特定值的概率可通過查閱F界值表（方差分析用）獲得。

利用統(tǒng)計學(xué)軟件分析結(jié)果如下：

data a;

input type num @@;

cards;

1 0.84 1 1.05 1 1.20 1 1.20 1 1.39 1 1.53 1 1.67 1 1.80 1 1.87 1 2.07 1 2.11

2 0.54 2 0.64 2 0.64 2 0.75 2 0.76 2 0.81 2 1.16 2 1.20 2 1.34 2 1.35 2 1.48 2 1.56 2 1.87

;

run;

proc anova;

class type;

model num=type;

means type;

run;

方差分析主要用途：①均數(shù)差別的顯著性檢驗，②分離各有關(guān)因素并估計其對總變異的作用，③分析因素間的交互作用，④方差齊性檢驗。^[1]

在科學(xué)實驗中常常要探討不同實驗條件或處理方法對實驗結(jié)果的影響。通常是比較不同實驗條件下樣本均值間的差異。例如醫(yī)學(xué)界研究幾種藥物對某種疾病的療效；農(nóng)業(yè)研究土壤、肥料、日照時間等因素對某種農(nóng)作物產(chǎn)量的影響；不同化學(xué)藥劑對作物害蟲的殺蟲效果等，都可以使用方差分析方法去解決。^[1]

一個復(fù)雜的事物，其中往往有許多因素互相制約又互相依存。方差分析的目的是通過數(shù)據(jù)分析找出對該事物有顯著影響的因素，各因素之間的交互作用，以及顯著影響因素的最佳水平等。方差分析是在可比較的數(shù)組中，把數(shù)據(jù)間的總的“變差”按各指定的變差來源進(jìn)行分解的一種技術(shù)。對變差的度量，采用離差平方和。方差分析方法就是從總離差平方和分解出可追溯到指定來源的部分離差平方和，這是一個很重要的思想。

經(jīng)過方差分析若拒絕了檢驗假設(shè)，只能說明多個樣本總體均值不相等或不全相等。若要得到各組均值間更詳細(xì)的信息，應(yīng)在方差分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行多個樣本均值的兩兩比較。

多個樣本均值間兩兩比較常用q檢驗的方法，即Newman-keuls法，其基本步驟為：建立檢驗假設(shè)-->樣本均值排序-->計算q值-->查q界值表判斷結(jié)果。

多個實驗組與一個對照組均值間兩兩比較，若目的是減小第II類錯誤，最好選用最小顯著差法（LSD法）；若目的是減小第I類錯誤，最好選用新復(fù)極差法，前者查t界值表，后者查q'界值表。

根據(jù)資料設(shè)計類型的不同，有以下兩種方差分析的方法：

1、對成組設(shè)計的多個樣本均值比較，應(yīng)采用完全隨機(jī)設(shè)計的方差分析，即單因素方差分析。

2、對隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的多個樣本均值比較，應(yīng)采用配伍組設(shè)計的方差分析，即兩因素方差分析。

兩類方差分析的基本步驟相同，只是變異的分解方式不同，對成組設(shè)計的資料，總變異分解為組內(nèi)變異和組間變異（隨機(jī)誤差），即：SS總=SS組間+SS組內(nèi)，而對配伍組設(shè)計的資料，總變異除了分解為處理組變異和隨機(jī)誤差外還包括配伍組變異，即：SS總=SS處理+SS配伍+SS誤差。

整個方差分析的基本步驟如下：

1、建立檢驗假設(shè)；

H0：多個樣本總體均值相等；

H1：多個樣本總體均值不相等或不全等。

檢驗水準(zhǔn)為0.05。

2、計算檢驗統(tǒng)計量F值；

3、確定P值并作出推斷結(jié)果。

1. 方差分析的假定條件為：

（1）各處理條件下的樣本是隨機(jī)的。

（2）各處理條件下的樣本是相互獨(dú)立的，否則可能出現(xiàn)無法解析的輸出結(jié)果。

（3）各處理條件下的樣本分別來自正態(tài)分布總體，否則使用非參數(shù)分析。

（4）各處理條件下的樣本方差相同，即具有齊效性。

2. 方差分析的假設(shè)檢驗

假設(shè)有K個樣本，如果原假設(shè)H0樣本均數(shù)都相同，K個樣本有共同的方差σ ，則K個樣本來自具有共同方差σ和相同均值的總體。

如果經(jīng)過計算，組間均方遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于組內(nèi)均方，則推翻原假設(shè)，說明樣本來自不同的正態(tài)總體，說明處理造成均值的差異有統(tǒng)計意義。否則承認(rèn)原假設(shè)，樣本來自相同總體，處理間無差異。

應(yīng)用條件：

3. 各樣本的總體方差相等，即具有方差齊性

4.在不滿足正態(tài)性時可以用非參數(shù)檢驗^[2]

（一）單因素方差分析概念理解步驟

是用來研究一個控制變量的不同水平是否對觀測變量產(chǎn)生了顯著影響。這里，由于僅研究單個因素對觀測變量的影響，因此稱為單因素方差分析。

例如，分析不同施肥量是否給農(nóng)作物產(chǎn)量帶來顯著影響，考察地區(qū)差異是否影響婦女的生育率，研究學(xué)歷對工資收入的影響等。這些問題都可以通過單因素方差分析得到答案。

單因素方差分析的第一步是明確觀測變量和控制變量。例如，上述問題中的觀測變量分別是農(nóng)作物產(chǎn)量、婦女生育率、工資收入；控制變量分別為施肥量、地區(qū)、學(xué)歷。

單因素方差分析的第二步是剖析觀測變量的方差。方差分析認(rèn)為：觀測變量值的變動會受控制變量和隨機(jī)變量兩方面的影響。據(jù)此，單因素方差分析將觀測變量總的離差平方和分解為組間離差平方和和組內(nèi)離差平方和兩部分，用數(shù)學(xué)形式表述為：SST=SSA+SSE。

單因素方差分析的第三步是通過比較觀測變量總離差平方和各部分所占的比例，推斷控制變量是否給觀測變量帶來了顯著影響。

容易理解：在觀測變量總離差平方和中，如果組間離差平方和所占比例較大，則說明觀測變量的變動主要是由控制變量引起的，可以主要由控制變量來解釋，控制變量給觀測變量帶來了顯著影響；反之，如果組間離差平方和所占比例小，則說明觀測變量的變動不是主要由控制變量引起的，不可以主要由控制變量來解釋，控制變量的不同水平?jīng)]有給觀測變量帶來顯著影響，觀測變量值的變動是由隨機(jī)變量因素引起的。

1、提出原假設(shè)：H0——無差異；H1——有顯著差異

2、選擇檢驗統(tǒng)計量：方差分析采用的檢驗統(tǒng)計量是F統(tǒng)計量，即F值檢驗。

3、計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值和概率P值：該步驟的目的就是計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值和相應(yīng)的概率P值。

4、給定顯著性水平，并作出決策

在完成上述單因素方差分析的基本分析后，可得到關(guān)于控制變量是否對觀測變量造成顯著影響的結(jié)論，接下來還應(yīng)做其他幾個重要分析，主要包括方差齊性檢驗、多重比較檢驗。

是對控制變量不同水平下各觀測變量總體方差是否相等進(jìn)行檢驗。

前面提到，控制變量不同水平下觀測變量總體方差無顯著差異是方差分析的前提要求。如果沒有滿足這個前提要求，就不能認(rèn)為各總體分布相同。因此，有必要對方差是否齊性進(jìn)行檢驗。

SPSS單因素方差分析中，方差齊性檢驗采用了方差同質(zhì)性（homogeneity of variance）檢驗方法，其原假設(shè)是：各水平下觀測變量總體的方差無顯著差異。

單因素方差分析的基本分析只能判斷控制變量是否對觀測變量產(chǎn)生了顯著影響。如果控制變量確實對觀測變量產(chǎn)生了顯著影響，進(jìn)一步還應(yīng)確定控制變量的不同水平對觀測變量的影響程度如何，其中哪個水平的作用明顯區(qū)別于其他水平，哪個水平的作用是不顯著的，等等。

例如，如果確定了不同施肥量對農(nóng)作物的產(chǎn)量有顯著影響，那么還需要了解10公斤、20公斤、30公斤肥料對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響幅度是否有差異，其中哪種施肥量水平對提高農(nóng)作物產(chǎn)量的作用不明顯，哪種施肥量水平最有利于提高產(chǎn)量等。掌握了這些重要的信息就能夠幫助人們制定合理的施肥方案，實現(xiàn)低投入高產(chǎn)出。

多重比較檢驗利用了全部觀測變量值，實現(xiàn)對各個水平下觀測變量總體均值的逐對比較。由于多重比較檢驗問題也是假設(shè)檢驗問題，因此也遵循假設(shè)檢驗的基本步驟。

LSD方法稱為最小顯著性差異（Least Significant Difference）法。最小顯著性差異法的字畫就體現(xiàn)了其檢驗敏感性高的特點，即水平間的均值只要存在一定程度的微小差異就可能被檢驗出來。

正是如此，它利用全部觀測變量值，而非僅使用某兩組的數(shù)據(jù)。LSD方法適用于各總體方差相等的情況，但它并沒有對犯一類錯誤的概率問題加以有效控制。

S-N-K方法是一種有效劃分相似性子集的方法。該方法適合于各水平觀測值個數(shù)相等的情況，

在多重比較檢驗中，如果發(fā)現(xiàn)某些水平與另外一些水平的均值差距顯著，如有五個水平，其中x1、x2、x3與x4、x5的均值有顯著差異，就可以進(jìn)一步分析比較這兩組總的均值是否存在顯著差異，即1/3(x1+x2+x3)與1/2(x4+x5)是否有顯著差異。這種事先指定各均值的系數(shù)，再對其線性組合進(jìn)行檢驗的分析方法稱為先驗對比檢驗。通過先驗對比檢驗?zāi)軌蚋_地掌握各水平間或各相似性子集間均值的差異程度。

當(dāng)控制變量為定序變量時，趨勢檢驗?zāi)軌蚍治鲭S著控制變量水平的變化，觀測變量值變化的總體趨勢是怎樣的，是呈現(xiàn)線性變化趨勢，還是呈二次、三次等多項式變化。通過趨勢檢驗，能夠幫助人們從另一個角度把握控制變量不同水平對觀測變量總體作用的程度。

（一）多因素方差分析基本思想

多因素方差分析用來研究兩個及兩個以上控制變量是否對觀測變量產(chǎn)生顯著影響。這里，由于研究多個因素對觀測變量的影響，因此稱為多因素方差分析。多因素方差分析不僅能夠分析多個因素對觀測變量的獨(dú)立影響，更能夠分析多個控制因素的交互作用能否對觀測變量的分布產(chǎn)生顯著影響，進(jìn)而最終找到利于觀測變量的最優(yōu)組合。

例如：

分析不同品種、不同施肥量對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響時，可將農(nóng)作物產(chǎn)量作為觀測變量，品種和施肥量作為控制變量。利用多因素方差分析方法，研究不同品種、不同施肥量是如何影響農(nóng)作物產(chǎn)量的，并進(jìn)一步研究哪種品種與哪種水平的施肥量是提高農(nóng)作物產(chǎn)量的最優(yōu)組合。

（二）多因素方差分析的其他功能

1、均值檢驗

在SPSS中，利用多因素方差分析功能還能夠?qū)Ω骺刂谱兞坎煌较掠^測變量的均值是否存在顯著差異進(jìn)行比較，實現(xiàn)方式有兩種，即多重比較檢驗和對比檢驗。多重比較檢驗的方法與單因素方差分析類似。對比檢驗采用的是單樣本t檢驗的方法，它將控制變量不同水平下的觀測變量值看做來自不同總體的樣本，并依次檢驗這些總體的均值是否與某個指定的檢驗值存在顯著差異。其中，檢驗值可以指定為以下幾種：

觀測變量的均值（Deviation）;

第一水平或最后一個水平上觀測變量的均值（Simple）;

前一水平上觀測變量的均值（Difference）;

后一水平上觀測變量的均值（Helmert）。

2、控制變量交互作用的圖形分析

控制變量的交互作用可以通過圖形直觀分析。

在上述案例中，已經(jīng)對廣告形式、地區(qū)對銷售額的影響進(jìn)行了多因素方差分析，建立了飽和模型。由分析可知：廣告形式與地區(qū)的交互作用不顯著，先進(jìn)一步嘗試非飽和模型，并進(jìn)行均值比較分析、交互作用圖形分析。

1、建立非飽和模型

2、均值比較分析

3、控制變量交互作用的圖形分析

協(xié)方差分析：

（一）協(xié)方差分析基本思想

通過上述的分析可以看到，不論是單因素方差分析還是多因素方差分析，控制因素都是可控的，其各個水平可以通過人為的努力得到控制和確定。但在許多實際問題中，有些控制因素很難人為控制，但它們的不同水平確實對觀測變量產(chǎn)生了較為顯著的影響。例如，在研究農(nóng)作物產(chǎn)量問題時，如果僅考察不同施肥量、品種對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響，不考慮不同地塊等因素而進(jìn)行方差分析，顯然是不全面的。因為事實上有些地塊可能有利于農(nóng)作物的生長，而另一些卻不利于農(nóng)作物的生長。不考慮這些因素進(jìn)行分析可能會導(dǎo)致：即使不同的施肥量、不同品種農(nóng)作物產(chǎn)量沒有產(chǎn)生顯著影響，但分析的結(jié)論卻可能相反。

再例如，分析不同的飼料對生豬增重是否產(chǎn)生顯著差異。如果單純分析飼料的作用，而不考慮生豬各自不同的身體條件（如初始體重不同），那么得出的結(jié)論很可能是不準(zhǔn)確的。因為體重增重的幅度在一定程度上是包含諸如初始體重等其他因素的影響的。

（二）協(xié)方差分析的原理

協(xié)方差分析將那些人為很難控制的控制因素作為協(xié)變量，并在排除協(xié)變量對觀測變量影響的條件下，分析控制變量（可控）對觀測變量的作用，從而更加準(zhǔn)確地對控制因素進(jìn)行評價。

協(xié)方差分析仍然沿承方差分析的基本思想，并在分析觀測變量變差時，考慮了協(xié)變量的影響，人為觀測變量的變動受四個方面的影響：即控制變量的獨(dú)立作用、控制變量的交互作用、協(xié)變量的作用和隨機(jī)因素的作用，并在扣除協(xié)變量的影響后，再分析控制變量的影響。

方差分析中的原假設(shè)是：協(xié)變量對觀測變量的線性影響是不顯著的；在協(xié)變量影響扣除的條件下，控制變量各水平下觀測變量的總體均值無顯著差異，控制變量各水平對觀測變量的效應(yīng)同時為零。檢驗統(tǒng)計量仍采用F統(tǒng)計量，它們是各均方與隨機(jī)因素引起的均方比。

（三）協(xié)方差分析的應(yīng)用舉例

為研究三種不同飼料對生豬體重增加的影響，將生豬隨機(jī)分成三組各喂養(yǎng)不同的飼料，得到體重增加的數(shù)據(jù)。由于生豬體重的增加理論上會受到豬自身身體條件的影響，于是收集生豬喂養(yǎng)前體重的數(shù)據(jù)，作為自身身體條件的測量指標(biāo)。