一、基礎(chǔ)知識(shí)

在本章中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角，a, b, c分別表示它們所對(duì)的各邊長(zhǎng)，為半周長(zhǎng)。

1．正弦定理：=2R（R為△ABC外接圓半徑）。

推論1：△ABC的面積為S_△ABC=

推論2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.

推論3：在△ABC中，A+B=，解a滿足，則a=A.

正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以S_△ABC=；再證推論2，因?yàn)?/span>B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推論3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等價(jià)于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等價(jià)于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因?yàn)?/span>0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得證。

2．余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，下面用余弦定理證明幾個(gè)常用的結(jié)論。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點(diǎn)，BD=p，DC=q，則AD²=      （1）

【證明】  因?yàn)?/span>c²=AB²=AD²+BD²-2AD·BDcos，

所以c²=AD²+p²-2AD·pcos       ①

同理b²=AD²+q²-2AD·qcos，      ②

因?yàn)?/span>ADB+ADC=，

所以cosADB+cosADC=0，

所以q×①+p×②得

qc²+pb²=(p+q)AD²+pq(p+q)，即AD²=

注：在（1）式中，若p=q，則為中線長(zhǎng)公式

（2）海倫公式：因?yàn)?sub>b²c²sin²A=b²c² (1-cos²A)= b²c² [(b+c)-a²][a²-(b-c) ²]=p(p-a)(p-b)(p-c).

這里

所以S_△ABC=

二、方法與例題

1．面積法。

例1  （共線關(guān)系的張角公式）如圖所示，從O點(diǎn)發(fā)出的三條射線滿足，另外OP，OQ，OR的長(zhǎng)分別為u, w, v，這里α，β，α+β∈(0, )，則P，Q，R的共線的充要條件是

【證明】P，Q，R共線

(α+β)=uwsinα+vwsinβ

，得證。

2．正弦定理的應(yīng)用。

例2  如圖所示，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。

求證：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

【證明】  過點(diǎn)P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分別為D，E，F，則P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三組四點(diǎn)共圓，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由題設(shè)及BPC+CPA+APB=360⁰可得BAC+CBA+ACB=180⁰。

所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=60⁰。

所以EDF=60⁰，同理DEF=60⁰，所以△DEF是正三角形。

所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，兩邊同時(shí)乘以△ABC的外接圓直徑2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得證：

例3  如圖所示，△ABC的各邊分別與兩圓⊙O₁，⊙O₂相切，直線GF與DE交于P，求證：PABC。

【證明】  延長(zhǎng)PA交GD于M，

因?yàn)?/span>O₁GBC，O₂DBC，所以只需證

由正弦定理，

所以

另一方面，，

所以，

所以，所以PA//O₁G，

即PABC，得證。

3．一個(gè)常用的代換：在△ABC中，記點(diǎn)A，B，C到內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y.

例4  在△ABC中，求證：a²(b+c-a)+b²(c+a-b)+c²(a+b-c) ≤3abc.

【證明】  令a=y+z, b=z+x, c=x+y，則

abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a²(b+c-a)+b²(c+a-b)+c²(a+b-c)-2abc.

所以a²(b+c-a)+b²(c+a-b)+c²(a+b-c) ≤3abc.

4．三角換元。

例5  設(shè)a, b, c∈R⁺，且abc+a+c=b，試求的最大值。

【解】  由題設(shè)，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,

則tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos²γ≤，

當(dāng)且僅當(dāng)α+β=，sinγ=，即a=時(shí)，P_max=

例6  在△ABC中，若a+b+c=1，求證: a²+b²+c²+4abc<

【證明】  設(shè)a=sin²αcos²β, b=cos²αcos²β, c=sin²β, β.

因?yàn)?/span>a, b, c為三邊長(zhǎng)，所以c<, c>|a-b|，

從而，所以sin²β>|cos²α·cos²β|.

因?yàn)?/span>1=(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca),

所以a²+b²+c²+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).

又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)

=sin²βcos²β+sin²αcos²α·cos⁴β·cos2β

=[1-cos²2β+(1-cos²2α)cos⁴βcos2β]

=+cos2β(cos⁴β-cos²2αcos⁴β-cos2β)

>+cos2β(cos⁴β-sin⁴β-cos²β)=.

所以a²+b²+c²+4abc<

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．在△ABC中，邊AB為最長(zhǎng)邊，且sinAsinB=，則cosAcosB的最大值為__________.

2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，則的取值范圍是__________.

3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB，則△ABC的面積為__________.

4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，則=__________.

5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________條件.

6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，則角A的取值范圍是__________.

7．在△ABC中，sinA=，cosB=，則cosC=__________.

8．在△ABC中，“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan”的__________條件.

9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是__________.

10．在△ABC中，tanA·tanB>1，則△ABC為__________角三角形.

11．三角形有一個(gè)角是60⁰，夾這個(gè)角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12，求這個(gè)三角形的面積。

12．已知銳角△ABC的外心為D，過A，B，D三點(diǎn)作圓，分別與AC，BC相交于M，N兩點(diǎn)。求證：△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。

13．已知△ABC中，sinC=，試判斷其形狀。

四、高考水平訓(xùn)練題

1．在△ABC中，若tanA=, tanB=，且最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1，則最短邊長(zhǎng)為__________.

2．已知n∈N₊，則以3，5，n為三邊長(zhǎng)的鈍角三角形有________個(gè).

3．已知p, q∈R⁺, p+q=1，比較大?。?/span>psin²A+qsin²B__________pqsin²C.

4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則△ABC 為__________角三角形.

5．若A為△ABC 的內(nèi)角，比較大?。?/span>__________3.

6．若△ABC滿足acosA=bcosB，則△ABC的形狀為__________.

7．滿足A=60⁰，a=, b=4的三角形有__________個(gè).

8．設(shè)為三角形最小內(nèi)角，且acos²+sin²-cos²-asin²=a+1，則a的取值范圍是__________.

9．A，B，C是一段筆直公路上的三點(diǎn)，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北30⁰方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。

10．求方程的實(shí)數(shù)解。

11．求證：

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．在△ABC中，b²=ac，則sinB+cosB的取值范圍是____________.

2．在△ABC中，若，則△ABC 的形狀為____________.

3．對(duì)任意的△ABC，-(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為____________.

4．在△ABC中，的最大值為____________.

5．平面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，其中A，B為定點(diǎn)，|AB|=，C，D為動(dòng)點(diǎn)，且|AD|=|DC|=|BC|=1。記S_△ABD=S，S_△BCD=T，則S²+T²的取值范圍是____________.

6．在△ABC中，AC=BC，，O為△ABC的一點(diǎn)，，ABO=30⁰，則ACO=____________.

7．在△ABC中，A≥B≥C≥，則乘積的最大值為____________，最小值為__________.

8．在△ABC中，若c-a等于AC邊上的高h，則=____________.

9．如圖所示，M，N分別是△ABC外接圓的弧，AC中點(diǎn)，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的內(nèi)心為I，求證：Q，I，R三點(diǎn)共線。

10．如圖所示，P，Q，R分別是△ABC的邊BC，CA，AB上一點(diǎn)，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。

11．在△ABC外作三個(gè)等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一點(diǎn)，試判斷△ABC的形狀。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點(diǎn)為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點(diǎn)D和G，EF與半圓相切，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過E作AB的垂線，過F作AC的垂線，兩垂線相交于P，作PQBC，Q為垂足。求證：，此處=B。

2．設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M和N分別是AD和BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H₁，H₂（不重合）分別是△AOB與△COD的垂心，求證：H₁H₂MN。

3．已知△ABC，其中BC上有一點(diǎn)M，且△ABM與△ACM的內(nèi)切圓大小相等，求證：，此處(a+b+c), a, b, c分別為△ABC對(duì)應(yīng)三邊之長(zhǎng)。

4．已知凸五邊形ABCDE，其中ABC=AED=90⁰，BAC=EAD，BD與CE交于點(diǎn)O，求證：AOBE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是對(duì)角線BD與AC的交點(diǎn)，過點(diǎn)G作EF與上、下底平行，點(diǎn)E和F分別在AB和CD上，求證：AFB=90⁰的充要條件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一個(gè)圓中的四條弦，已知PAQ=QAR=RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

7．已知一凸四邊形的邊長(zhǎng)依次為a, b, c, d，外接圓半徑為R，如果a²+b²+c²+d²=8R²，試問對(duì)此四邊形有何要求？

8．設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，BA和CD延長(zhǎng)后交于點(diǎn)R，AD和BC延長(zhǎng)后交于點(diǎn)P，A，B，C指的都是△ABC的內(nèi)角，求證：若AC與BD交于點(diǎn)Q，則

9．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P至BC，CA，AB的垂線分別為PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求證：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并討論等號(hào)成立之條件。