§6.5空間幾何體及投影

一、知識導(dǎo)學(xué)

1.     了解投影（投影線通過物體，向選定的面透射，并在該面上得到圖形的方法）、中心投影（投射線交于一點的投影稱為中心投影）、平行投影（投影線互相平行的投影稱為平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正對著投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正對著投影面的投影）的概念.

2.     了解三視圖的有關(guān)概念（視圖是指將物體按正投影向投影面投　射所得到的圖形.光線自物體的前面向后面投射所得的投影稱之為主視圖或正視圖，自上而下的稱為俯視圖，自左向右的稱為左視圖，用這三種視圖刻畫空間物體的結(jié)構(gòu)，稱之為三視圖）;了解三視圖畫法規(guī)則，能作出物體的三視圖.

3.     注意投影和射影的關(guān)系，以及在解題中的作用.

二、疑難知識導(dǎo)析

1．三視圖間基本投影關(guān)系的三條規(guī)律：主視圖與俯視圖長對正，主視圖與左視圖高平齊，俯視圖與左視圖寬相等.概括為“長對正，高平齊，寬相等”；看不見的畫虛線.

2．主視圖的上、下、左、右對應(yīng)物體的上、下、左、右；俯視圖的上、下、左、右對應(yīng)物體的后、前、左、右；左視圖的上、下、左、右對應(yīng)物體的上、下、后、前.

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]如圖，該物體的俯視圖是（?。?

錯解：B.

錯因：投影方向不對.

正解：C.

[例2] 如圖所示的正方體中，E、F分別是AA₁,D₁C₁的中點，G是正方形BDB₁D₁的中心，則空間四邊形AGEF在該正方體面上的投影不可能是（ ）

A                B              C               D

錯解：C.

正解：D

 [例3]水平放置的△ABC有一邊在水平線上，它的直觀圖是正△A₁B₁C₁，則△ABC是（   ）

A. 銳角三角形　　B. 直角三角形　　　C. 鈍角三角形   　D. 任意三角形

錯解：B.

錯因：不熟悉斜二側(cè)畫法的規(guī)則.

正解:C.

[例4] 正方體的全面積是a²，它的頂點都在球面上，這個球的表面積是（  ）.

A.         B.         C.             D.

錯解：A.

錯因：對正方體和球的關(guān)系理解不清.

正解:B.正方體的對角線就是球的直徑.

[例5]（06年江西卷）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S₁，S₂，則必有（   ）

A.S₁<S₂B.S₁>S₂C.S₁=S₂D.S₁，S₂的大小關(guān)系不能確定

解：連OA、OB、OC、OD

則V_A－BEFD＝V_O－ABD＋V_O－ABE＋V_O－BEFD

V_A－EFC＝V_O－ADC＋V_O－AEC＋V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故S_ABD＋S_ABE＋S_BEFD＝S_ADC＋S_AEC＋S_EFC又面AEF公共，故選C

 [例6]正三棱臺A₁B₁C_1-ABC的側(cè)面與底面成45°角，求側(cè)棱與底面所成角的正切值.

解：解法一　　如圖，設(shè)O₁，O為上下底面正三角形的中心，連接O₁O，A₁O₁交A₁B₁于D₁，AO交AB于D.連接D₁D.易證A₁O₁⊥B₁C₁，AD⊥BC，D₁D⊥BC，過A₁，D₁分別作A₁E⊥底面ABC，D₁F⊥底面ABC，易證E、F在AD上.

因為正三棱臺A₁B₁C_1-ABC的側(cè)面與底面成45°的二面角，所以∠D₁DA=45°.因此A₁E=O₁O=D₁F=FD.設(shè)該正三棱臺上下底面的邊長為a,b,則AD=b,A₁D₁=a.

所以  A₁E=O₁O=D₁F=FD=b-= (b-a).

AE=(b-a).

所以  tan∠A₁AE=.

解法二　如圖，延長AA₁，BB₁，CC₁，則AA₁，BB₁，CC₁相交于一點S.顯然點S在DD₁的延長線上.由解法一得知，∠SDA為二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°.

所以  在RtΔSOD中，SO=OD，

因為  AO=2·OD，所以  tan∠SAO=.

點評:由此例可以看出，在解決棱臺的問題時，“還臺為錐”利用棱錐的性質(zhì)來解決棱臺問題是一種快捷方便的方法.

 [例7] 粉碎機(jī)的下料斗是正四棱臺形，如圖所示，它的兩底面邊長分別是80 mm和440 mm，高是200 mm，計算：

（1）這個下料斗的體積；

（2）制造這樣一個下料斗所需鐵板的面積（保留兩個有效數(shù)字）？

分析：要求下料斗所需鐵板的面積，就是求正四棱臺的側(cè)面積.正四棱臺的側(cè)面積公式是S_側(cè)＝（c＋c＇）h＇.

解：（1）因為S_上＝440²mm²，S_下＝80² mm²，h＝200 mm

（2）下底面周長c＇＝4×80＝320mm，

      下底面周長c＝4×440＝1760mm，

      斜高h(yuǎn)＇＝

      S_{正棱臺側(cè)}＝（c＋c＇）h＇＝（1760＋320）×269≈2.8×10⁵（mm²）

答：這個下料斗的體積約為1.6×10⁷mm³，制造這樣一個下料斗需鐵板約2.8×10⁵mm².

點評：對于實際問題，須分清是求幾何體的表面積，還是求側(cè)面積，還是求側(cè)面積與一個底面面積的和，還是求體積.

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1．一個直立在水平面上圓柱體的主視圖、俯視圖、左視圖分為（?。?/p>

A．長方形、圓、矩形             B．矩形、長方形、圓

C．圓、長方形、矩形             D．長方形、矩形、圓

2．直角三角形繞它最長邊（即斜邊）旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為（?。?/p>

3.下列平面圖中不能圍成立方體的是（?。?

4．從七邊形的某個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把七邊形分成_____個三角形．

5. 在球心同側(cè)有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積.