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橢圓：到兩定點的距離之和為一常數(shù)的點的軌跡
雙曲線：到兩定點的距離之差為一常數(shù)的點的軌跡 好事的學(xué)夫子學(xué)到這的時候，自然而然就想到：加和減都有了，乘和除會是怎樣？也就是說，我們給出下面的問題： 1：求到兩定點的距離之比是一常數(shù)的點的軌跡 2：求到兩定點的距離之積是一常數(shù)的點的軌跡 我們先看第一個問題 1：這個問題我已經(jīng)在《圓的一個有趣性質(zhì)——類似于圓錐曲線》一文里給出了解答。  如圖所示，A、B為定點，M到A和B的距離之比為k，如果k=1，那么M的軌跡為線段AB的中垂線，如果k≠1，那么M的軌跡為一個圓。這個結(jié)論運(yùn)用解析法就很容易解決，具體就請自己試試，或者參考文章《圓的一個有趣性質(zhì)》。 現(xiàn)在我們來看第二個問題，也是今天的精彩之處 解：我們借助處理圓錐曲線的辦法，設(shè)兩個定點的坐標(biāo)為A(-a,0)好B(a,0),設(shè)動點M=(x,y),M到A和B的距離之和為b2(為何如此設(shè)？后面就會明白)，利用兩點之間的距離公式，然后進(jìn)行一系列化簡，將得到下面的方程式： 這是一個什么圖像的方程？我們以前沒有見過，我在這里先告訴你們答案：這個圖像的形狀取決于k=b/a的比值，當(dāng)k>1，軌跡是一條封閉曲線；當(dāng)k<1，軌跡是兩條不相連的封閉曲線；當(dāng)k=1.圖像是一條雙紐線，就像一個躺著的8字。下面的動畫展示了這樣的圖像，右上角的k值就是b/a的值。這個曲線叫做卡西尼卵形線  |
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